Neurčitý integrál

1. Neurčitý integrál Nad zvládnutím integrálů jsem strávil nejvíce času ze všech matematických oblastí. Pochopení jsem dosáhl pouze kombinací různých zdrojů, z nichž každý vysvětluje látku trochu jinak. Zvláště doporučuji výuku na webu www.mojeskola.cz . Zvláště kroková metoda s kontrolu virtuálního učitele mi něco dala. Řešené příklady J.T. Pozn.: Při řešeních nejsou opakovány všechny použité vzorce.

2. Řešte: x x x x f´(x) = e g(x) = x f(x) = e dx = e g´(x) = (x)´ = 1 x x x xe dx = x = x * e - e * 1 dx = e ( x – 1) + C (f´* g) dx = f * g - f * g´ dx (f´* g) dx = f * g - f * g´ dx 2x 2x 4x 2x 2x 2x 3 3 3 9 3 3 1 1 x x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ½ 2x 3 a + 1 a x x dx = + C a + 1 a * f dx = a f dx xe dx Výběr metody: Per partes 6.1 O.K. Zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek Výběr metody: Per partes Řešte: 9 x ln x dx ½ f´(x) = x g(x) = ln x f(x) = g´(x) = (ln x)´ = 9 x ln x dx = 9 * x ln x dx = 6.2 9 x ln x dx = 9( ) = 9 ( Dx ) = * * lnx - * ln x - = 9 ( ) Dx = 6x lnx – 4x dx = 2x ( 3 ln x - 2 ) + C * ln x - Zadání  Úprava zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek Výsledek ve scriptech: 2x ( 3 ln x - 4 ) + C

3. Výběr metody: Per partes u´ = cos x v = sin x u = sin x v´ = 2 sin x 2 2 3 sin x cos x dx u´v = u * v - u * v´ a * f dx = a f dx = 3 (sin x – 2 * ) = 3 sin x – 2 sin x = sin x + C 3 sin x 3 3 3 3 3 ln t e ln (ln x) x ln (ln x) x f(x) dx = f(t) tx (dx)´ = dt t t t dx = t = ln x  x = e  dt =(e )´ = e * e dt = ln t dt = t * ln t – t = t ( ln t – 1 ) = ln x ( ln (ln x) – 1 ) + C dx Pozor: Tento vzorec není v zakoupených vzorečkách, je stáhnutý z webu a je ověřen zkouškou. ln x dx = x * ln x – x + C t Zadání  Úprava zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek t O.K. Řešte: 3 sin x cos x dx = 3 (sin x * sin x - 2 sin x * sin x dx ) = 3 (sin x – 2 sin x dx ) = 2 2 2 3 2 6.3 Zadání  Úprava zadání (substituce)  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek = O.K. Řešte: 6.4 Substituce

4. 1 x ln x 1 x ln x 2 2 3 3 -2 3 -2 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 – sin x sin x cos x 2 sin x 1 - t t 1 1 - t 2 Výběr metody: Substituce  Přímá integrace t = ln x  x = e  dt =(e )´ = e Řešte: dx t t t 3 -t t dx = e * t * e dt = t dt = 3 t = 3 ln x + C 6.6 Zadání  Úprava zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek O.K. 2 Výběr metody: Substituce přímá integrace Řešte: dx = dx = t = sin x  x = arcsin t  dt = (arcsin t)´ = 2 -½ ½ dt = t dt = * 2 t = sin x + C * 6.8 Zadání  Úprava zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  zpětná substituce  výsledek O.K.

5. 1 2 x ln x 2 x u´ = v = ln x u = x v = x - 1 1 (ln x)´ = x Řešte: dx = Výběr metody: Per partes ½ - 1 -½ = x * ln x - x * x dx = x * ln x - x dx = x * ln x – 2 x = x * ( ln x – 2 ) + C O.K. 6.9 Zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek Substituce t = x  x = t  dt = (t )´ = 2 t Řešte: sin x dx = 2 2 u´ = sin t v = t u = - cos t v´ = 1 = sin t * 2 t dt = 2 sin t * t dx = = 2(- t cos t - - cos t * 1 dt) = 2(- t cos t + cos t dt) = -2 t * cos t + 2 sin t = = 2 sin x – 2 x cos x 6.13 Zadání  substituce  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výpočet  zpětná substituce  výsledek O.K.

6. t 5 1 5 1 5 dt 5 1 5 t 5 1 5 Řešte: ln 5x dx = t = 5x  x =  dt = (t)´ = = ln t = ln t dt = (t * ln t – t) = (ln t – 1) = x (ln 5x – 1) + C O.K. Zadání  Zapsání „vzorcových“ hodnot  dosazení hodnot do vzorce  výsledek 6.10 Řešte: arcsin x dx = (protože neznám vzorec pro integraci funkce arcsinus použiji substituci, i když se nejedná o složenou funkci arcsin x = t  x = sin t  dt = (sin t)´ = cos t u´ = cos t v = t u = - sin t v´ = t = t * cos t dt = = t * (- sin t) - 1 * (- sin t) dt = t * - sin t + sin t dt = t * - sin t + (- cos t) = = - x * arcsin x – cos (arcsin x) + C Výsledek podle script by měl být x * arcsin x - x - 1, ovšem po ověření zkouškou je můj výsledek blíž, protože se liší pouze znaménkem před funkcí. Správně by mělo vyjít buď x * arcsin x – cos (arcsin x) + C nebo x * arcsin x - 1 - x 2 6.12 2