Propriétés de Courbes et Surfaces

Propriétés de Courbes et Surfaces Marc Neveu

tangente a ti ti pi pi + a ti O Vecteur Tangent • courbe p(u). • pu :dérivée par rapport à u • En pi le vecteur tangent est piu • vecteur tangent unitaire • droite passant par pi // à ti : q = pi + a ti

q ti pi Plan Normal • Plan normal à p(u) au point pi : plan passant par pi et orthogonal à ti • équation : (q-pi).ti = 0 q : point qcq du plan normal. • (q-pi).piu = 0 • avec q = (x,y,z)

ti ni piu dpiu=piuu piu+dpiu piu (piuu.piu)/|piu| l ki=piuu-(piuu.piu).piu/|piu|2 (piuu.piu).piu/|piu|2 O piuu m Normale principale • dans le plan normal • pointe sur le centre de courbure • Plan osculateur défini par piu et piuu • Module de la projection de piuu sur piu • on construit le centre de courbure m orthogonal à piu

pi ti ph pj ni Plan osculateur • equation

Plan rectifiant Plan normal Plan osculateur n t ri ni b Vecteur binormal , Plan rectifiant • bi = ti ni • Plan  normale principale • (r-pi).ni=0 • r = pi + u.ti + v.bi

Courbure • ki = 1/ri ri est le rayon de courbure Points d’inflexion

n pv q pu Plan tangent • Normale • Plan tangent (q-p).(pupv) = 0

n pv q pu P k kn dv T du S t Courbure Normale • En p, on construit le plan tangent T, et une droite qcq t passant par p dans ce plan • Tous les plans P coupant T et contenant t coupent la surface  famille de courbes paramétriques. • Toutes ces courbes passent par p et ont t pour tangente en p . • De plus le plan osculateur de n’importe laquelle de ces courbes est le plan P qui contient cette courbe. •  une infinité de courbes non planes de S, passant par p, de tangente t en p qui ont P comme plan osculateur. • Elles ont toutes • le même centre de courbure, • le même rayon de courbure, • le même vecteur de courbure k, • la même normale principale. • La courbe c dans le plan P est une des ces courbes. Courbure Normale : kn : projection du vecteur de courbure k sur n : vecteur de courbure normale à la courbe de la surface en pkn= (k . n)n. La composante de k dans la direction de n est la courbure normale de c en p notée kn ( kn = k . n)

n Courbure Principale • Parmi tous les P possibles : ceux contenant n • Quand on tourne P autour de n, la courbure kn varie 2 valeurs minimale et maximale : courbures normales principales notées k1 et k2. • kn= cte  point ombilical. • courbures principales = solutions de l’équation : • (EG-F2)k2 – (EN+GL-2FM)k + (LN-M2) = 0

Courbure Principale • Pour trouver les lignes de courbure principale: • soit h = du/dv. • (EG-F2)h2 – (EN+GL-2FM)h + (LN-M2) = 0 possède 2 racines (une maximum = une direction et une minimum = une direction ) =>directions de courbure principale. • Formes fondamentales • première forme fondamentale : I = dp.dp= Edu2+Fdudv+Gdv2 • E = pu.pu, F = pu.pv, G = pv.pv (coefficients de la première forme fondamentale). • seconde forme fondamentale : II = -dp.dn = Ldu2+2Mdudv+Ndv2 • L = -pu.nu, M= -1/2(pu.nv+pv.nu), N= -pv.nv (coefficients de la seconde forme fondamentale). • L = puu.n, M = puv.n , N = pvv.n

Courbure Gaussienne, moyenne • On appelle courbure Gaussienne K : • On appelle courbure moyenne H :

Et les maillages? • Seulement C0 ! => Approximation : découpe d'un secteur et recollement Surface résultante (courbure positive) découpe d'un segment et recollement d'un secteur Surface résultante (courbure négative)

Courbure discrète • D’après le Theorema Egregium de Gauss • Défaut angulaire : 2π-i

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