Numere reale

1. Numere reale INTERVALE Rădulescu Andreea Iancu Narcisa Măriuța Cosmin Stroe Elvis Budulan Georgiana Cât de bogată este mulțimea numerelor reale? Ce sunt intervalele?

2. Teoremă:Oricărui numĂr real îi corespunde un punct de pe o dreaptă (axa numerelor) OBS! Teorema este valabilă pentru orice mulțime de numere învățate. 5 Numerelor reale -3; 2; ;5,3 li se asociază 2 punctele geometrice A,B,C,D situate pe axa numerelor. 5 ‒3 0 2 5,3 2 A B C u D

3. Reciprocă: Oricărui punct de pe axa îi corespunde un număr real. OBS!Reciproca nu este adevarată pentru nici o altă mulțime de numere învățată! (ℕ,ℤ,ℚ) Contraexemplu: punctului geometric M aflat la mijlocul primului segment unitate îi corespunde numărul 0,5 care nu este natural, deci lui M nu îi corespunde un număr natural. M u 0 0,5 1 Concluzie: Teorema si reciproca ne demostrează faptul că în R există atâtea numere câte puncte geometrice are o dreapta. De aici rezultă bogația numerelor aflate în R.

4. Obs!!!Între două puncte de pe o dreaptă (oricât de apropiate ar fi) există numere REALE! Pentru a demonstra este suficient să considerăm una din mediile cunoscute, de exemplu media aritmetică: Dacă 𝑎< 𝑏 sunt cele două numere se știe că: 𝑎 < < 𝑏 Aplicație: Scrieți două numere reale între și 5) 3) O altă soluție: 1 16 17 1 ⇒ < ; < 6) 3) 6 90 90 5

5. Intervale 1) Intervalele mărginite: Definiția 1: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏. Mulțimea [𝑎;𝑏] ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}se numește interval închis de capete 𝑎 și 𝑏 Dacă a și b sunt abscisele punctelor A, respectiv B, atunci intervalului închis [a,b] îi corespunde pe axă mulțimea punctelor segmentului [AB] A M B 𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏] ⇔ M ∈ [AB] [ ] 𝑎 x 𝑏 Numerele a și b se numesc capetele intervalului [a;b] și se află în interval.

6. Definiția 2: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏. Mulțimea (𝑎; 𝑏) ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}se numește interval deschis de capete 𝑎 și 𝑏. Analog, interpretarea geometrică a intervalului deschis este un segment deschis. A M B 𝑥 ∈ (𝑎 ; 𝑏) ⇔ M ∈ (AB) ( ) 𝑎 x 𝑏 Obs: 1. Capetele intervalului deschis nu se află în interval 𝑎,𝑏 ∉ (𝑎;𝑏) deoarece propozițiile 𝑎<𝑎<𝑏 și 𝑎<𝑏<𝑏 sunt false. 2. (𝑎;𝑏) ∪ {𝑎;𝑏} = [𝑎;𝑏]

7. Folosind diferite semne de inegalitate în definiția intervalului obținem și altfel de intervale mărginite: Definiția 2: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏. Mulțimea [𝑎;𝑏) ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}se numește interval închis la stânga și deschis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏 [ 𝑎 𝑏 Definiția 3: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏. Mulțimea (𝑎;𝑏] ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}se numește interval deschis la stânga și închis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏 ] 𝑎 𝑏

8. 2) Intervalele nemărginite: Definiția 3: Fie 𝑎 un număr real, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimile (‒∞; 𝑎] ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑥 ≤ 𝑎};(‒∞; 𝑎) ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑥 < 𝑎} (𝑎 ; ∞] ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑥 ≥ 𝑎} ;(𝑎 ; ∞) ≝ {𝑥∈ℝ / 𝑥 > 𝑎} se numesc intervale nemărginite Interpretarea geometrică: un astfel de interval este o semidreaptă 𝑎 (‒∞; 𝑎 ] -∞ ∞ (𝑎 ; ∞] Obs: Cu ajutorul noțiunii introduse se poate scrie ℝ sub formă de interval: ℝ = (‒∞ ; ∞ )