Rozdelenia pravdepodobnosti

1. Rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej veličiny

2. Niektoré rozdelenia diskrétnej NV • Alternatívne rozdelenie • Binomické rozdelenie • Poissonovo rozdelenie • Hypergeometrické rozdelenie

3. Niektoré rozdelenia spojitej NV • Normálne rozdelenie • Normované normálne rozdelenie • Rovnomerné rozdelenie • Exponenciálne rozdelenie • Weibullovo rozdelenie • Gama rozdelenie

4. Výberové rozdelenia NV Majú mimoriadny význam pri analýze štatistických údajov, získaných náhodným výberom Sú úzko spojené s normálnym rozdelením • Chí - kvadrát rozdelenie • Studentovo (t – rozdelenie) • F- rozdelenie

5. Alternatívne rozdelenie A(p) Náhodná premenná x má alternatívne rozdelenie s parametrom 0 < p < 1, ak nadobúda len dve hodnoty x = 1 a x = 0, s pravdepodobnosťami a Stredná hodnota

6. Rozptyl náhodnej veličiny z alternatívneho rozdelenia Nazýva sa nula – jednotkové rozdelenie V praxi sa používa pri popise výskytu určitého javu Je zvláštnym prípadom binomického rozdelenia pre n=1

7. Príklad alternatívneho rozdelenia Z dodávky obsahujúcej 10% nekvalitných výrobkov odoberieme jeden. Aká je pravdepodobnosť že to bude nekvalitný výrobok? P(1)=p=0,10 P(0)=q=1-p=1-0,10=0,90

8. Binomické rozdelenie Bi(n,p) Rozdelenie súčtu n vzájomne nezávislých náhodných veličín, riadiacich sa alternatívnym rozdelením Pokusy, v ktorých výsledok neovplyvní pravdepodobnosť výsledkov iných pokusov Jav A môže nastať s pravdepodobnosťou p, a nenastane s pravdepodobnosťou q=1-p Pravdepodobnosť, že sa jav A objaví práve k- krát v n opakovaných pokusoch

9. Hodnoty n a p sú parametre binomického rozdelenia tj. veličiny, ktoré musíme poznať, aby sme mohli ľubovoľnej náhodnej veličine x priradiť jej pravdepodobnosť Stredná hodnota je súčet stredných hodnôt nezávislých náhodných veličín Rozptyl

10. Pravdepodobnostná funkcia binomického rozdelenia

11. Príklady binomického rozdelenia • počet chybných výrobkov zistených vo výbere n výrobkov, pričom výrobok do dávky vraciame • počet prípadov, pri ktorých sa prejavila účinnosť podaného prípravku, skúšaného na n objektoch

12. Nájdite pravdepodobnosť, že z piatich narodených detí budú štyri dievčatá (pravdepodobnosť narodenia oboch pohlaví je 50%)

13. Poissonove rozdelenie Po() Predpokladajme, že počet pokusov n je dostatočne veľký (n>30) a pravdepodobnosť p je veľmi malá (p <0,1), potom môžeme binomické rozdelenie aproximovať Poissonovým rozdelením s parametrom =np Pravdepodobnostná funkcia Poissonovho rozdelenia

14. Riadi sa ním počet javov v priestore alebo počet udalostí v čase • Označuje sa ako zákon vzácnych alebo zriedkavých javov • Napr. počet výskytov vzácneho ochorenia, výskyt porúch zariadenia v čase t, a pod.

15. Stredná hodnota a rozptyl Pre strednú hodnotu a rozptyl náhodnej veličiny platí ich rovnosť, čo sa využíva pri testoch štatistických hypotéz

16. Príklady • počet výskytov vzácneho ochorenia, výskyt porúch zariadenia v čase t, a pod. • počet ťažkých dopravných nehôd v určitom meste za deň • počet telefónnych výziev na určitom aparáte • Pozn. • Každá udalosť, ktorá sa vyskytuje na jednotke plochy (času, objemu a pod.)

17. Pravdepodobnostná funkcia

18. Hypergeometrické rozdelenie Predpokladajme, že v súbore N prvkov má M určitú vlastnosť A. Zo súboru náhodne vyberieme n prvkov, bez toho aby sme ich vrátili späť do pôvodného súboru (výber bez vrátenia). Počet prvkov s vlastnosťou A, ktoré boli vybrané do výberu je náhodná premenná x, ktorá môže nadobúdať hodnoty

19. Ak je rozsah výberu príliš malý, vzhľadom na rozsah základného súboru n/N<0,1, je možné hypergeometrické rozdelenie úspešne nahradiť binomickým rozdelením s parametrami n a p=M/N Hypergeometrické rozdelenie sa používa v štatistickej kontrole kvality

20. Stredná hodnota a variancia • Stredná hodnota • Variancia

22. Rovnomerné rozdelenie Rovnomerným rozdelením sa riadia náhodné veličiny, ktoré majú rovnakú možnosť nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z nejakého konečného intervalu

23. Chí - kvadrát rozdelenie 2(v) • Ak sú u1,u2,...u3 nezávislé náhodné veličiny, z normovaného rozdelenia N(0,1), potom ich súčet štvorcov je veličina ktorá má chí kvadrát rozdelenie s v stupňami voľnosti • Počet stupňov voľnosti je daný počtom nezávislých sčítancov a je jediným parametrom rozdelenia • Má rozsiahle použitie v teórii odhadu, testovaní štatistických hypotéz, pri overovaní nezávislosti javov, ...

24. Studentovo rozdelenie (t-rozdelenie) Nech u a z sú nezávislé náhodné velčiny, z ktorých u má rozdelenie N(0,1) a z má chí kvadrát rozdelenie s v stupňami voľnosti Náhodná veličina t má Studentove rozdelenie s v stupňami voľnosti Počet stupňov voľnosti je jediný parameter tohto rozdelenia. Stretávame sa s ním v teórii odhadu, pri testoch štatistických hypotéz a pod.. :

25. F – rozdelenie (Snedecorove-Fisherove) Ak uvažujeme dve nezávislé náhodné veličiny 12 a 22 s chí-kvadrát rozdelenia potom náhodná veličina má F - rozdelenie s v1 a v2 stupňami voľnosti, čo sú zároveň aj dva parametre tohto rozdelenia Aplikácia: testy hypotéz, ANOVA , ...