1 / 12

Operace s vektory 5

Název projektu: Moderní škola. Operace s vektory 5. Mgr. Martin Krajíc 16.3.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie. Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika

kasa
Download Presentation

Operace s vektory 5

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Název projektu: Moderní škola Operace s vektory 5 Mgr. Martin Krajíc 16.3.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

  2. Operace s vektory - součin • rozlišujeme tři druhy součinu dvou vektorů: • skalární součin • vektorový součin • smíšený součin

  3. Operace s vektory – geometrický význam vektorového součinu • v minulé hodině jsme si ukázali, že vektorový součin dvou vektorů u, v neležících na jedné přímce je vektor w, pro který platí: ׀w׀ = ׀u׀. ׀v׀. sin, kde  je úhel vektorů u, v • ukážeme si geometrický význam čísla ׀u׀. ׀v׀. sin • vektory u, v posuneme tak, aby měly společný počáteční bod, doplníme na rovnoběžník, výšku označíme x • pro výšku rovnoběžníku platí: sin  = • po úpravě: x = ׀v׀. sin • obsah rovnoběžníku vypočteme jako součin strany a výšky, tento obsah určuje číslo ׀u׀. ׀v׀. sin • Poznámka: 1) pro obsah rovnoběžníku platí S = ׀u x v׀ 2) pro obsah trojúhelníku platí S = = ׀v׀. sin v x  u

  4. Operace s vektory – geometrický význam vektorového součinu Př: Vypočtěte obsah trojúhelníku KLM, jestliže pro dané body platí K[1, 3, 1], L[4, 1, 3], M[1, 4, -1]. • zvolíme u = KL, v = KM • vypočteme souřadnice vektorů: u = L – K = (3, -2, 2) v = M – K = (0, 1, -2) • vypočteme vektorový součin: u x v = (2, 6, 3) • vypočteme velikost vektorového součinu: ׀ u x v׀= = = 7 • velikost vektorového součinu vydělíme dvěma: ( ) • obsah trojúhelníku KLM je ( )

  5. Operace s vektory – smíšený součin Smíšený součin: • smíšený součin vektorů u, v, w vypočteme: (u x v).w (kombinace vektorového a skalárního součinu) • výsledkem smíšeného součinu dvou vektorů je číslo • smíšený součin je definován jen pro vektory v prostoru • při vložení výsledku smíšeného součinu do absolutní hodnoty nezávisí na pořadí vektorů: (u x v).w = (u x w).v = (v x w).u Poznámka: • (u, v, w) pravotočivá báze, výsledek je kladný • (u, v, w) levotočivá báze, výsledek je záporný

  6. Operace s vektory – smíšený součin Př: Vypočtěte smíšený součin vektorů u = (3, 2, 2), v = (5, 1, 2) a w = (2, 3, 2). • vypočteme vektorový součin vektorů u, v: u x v = (3, 2, 2) x (5, 1 ,2) = (2, 4, -7) • vypočteme skalární součin vypočteného vektorového součinu a vektoru w: (2, 4, -7).(2, 3, 2) = 2.2 + 4.3 + (-7).2 = 2 • smíšený součin vektorů u, v, w je roven číslu 2. • Poznámka: vypočítáme smíšený součin daných vektorů se zaměněným pořadím: (u x w).v = ((3,2,2) x (2,3,2)) . (5,1,2) = (-2,-2,5) . (5,1,2) = -2 (v x w).u = ((5,1,2) x (2,3,2)) . (3,2,2) = (-4,-6,13) . (3,2,2) = 2

  7. Operace s vektory – geometrický význam smíšeného součinu • smíšený součin využijeme při výpočtu objemu rovnoběžnostěnu • pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí: • V = (u x v).w pokud je báze (u, v, w) pravotočivá (obr. 1) • V = - (u x v).wpokud je báze (u, v, w) levotočivá (obr. 2) H G H G E F E F w D C w D C v u A u B A v B obr. 1 obr. 2

  8. Operace s vektory – geometrický význam smíšeného součinu Př: Určete objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, pro jehož vrcholy platí A[0, -1, 1], B[2, 3, 2], D[-2, 3, 5], E[1, 0, -6]. • zvolíme u = AB, v = AD, w = AE • vypočteme souřadnice vektorů: u = B – A = (2, 4, 1) v = D – A = (-2, 4, 4) w = E – A = (1, 1, -7) • báze (u, v, w) je levotočivá, objem vypočteme V = - (u x v).w V = - ((2, 4, 1) x (-2, 4, 4)) . (1, 1, -7) = - (12, -10, 16) . (1, 1, -7) V = - (-110) = 110 ( ) • objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH je roven 110 ( )

  9. Operace s vektory – geometrický význam smíšeného součinu Př: Určete objem čtyřstěnu KLMN, pro jehož vrcholy platí K[1, 2, -1], L[3, -1, 1], M[1, 1, 3], N[-1, 2, 0]. Poznámka: objem čtyřstěnu vypočteme V = (u x v).w • zvolíme u = KL, v = KM, w = KN • vypočteme souřadnice vektorů: u = L – K = (2, -3, 2) v = M – K = (0, -1, 4) w = N – K = (-2, 2, 1) • báze (u, v, w) je pravotočivá, objem vypočteme V = (u x v).w V = [((2,-3,2) x (0,-1,4)) . (-2,2,1)] = [(-10,-8,-2) . (-2,2,1)] V = . 2 = ( ) • objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH je roven ( )

  10. Operace s vektory – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Jan Amos Komenský:„Naši učitelé nesmějí být podobni sloupům u cest, jež pouze ukazují, kam ….. , ale samy nejdou“. Př: Dány body K[1, 3, -2], L[3, -2, 5], M[0, 1, 7], N[8, 0, 3]. • Vypočtěte obsah podstavy KLM: a) J = 20,41 b) B = 25,41 • Vypočtěte obsah stěny KMN: a) Ě = 46,06 b) Í = 36,06 • Vypočtěte objem čtyřstěnu KLMN: a) T = 31,17 b) Ž = 41,17

  11. Operace s vektory – správné řešení Jan Amos Komenský: „Naši učitelé nesmějí být podobni sloupům u cest, jež pouze ukazují, kam …….. ,ale samy nejdou“. JÍT

  12. Operace s vektory – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-03-16].

More Related