Operace s vektory 2

1. Název projektu: Moderní škola Operace s vektory 2 Mgr. Martin Krajíc 15.2.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Operace s vektory - součin • rozlišujeme tři druhy součinu dvou vektorů: • skalární součin • vektorový součin • smíšený součin

3. Operace s vektory – skalární součin Skalární součin: • !! výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je číslo !! • označujeme u.v nebo uv • pro skalární součin vektorů u = (u1, u2), v = (v1, v2) platí: u.v = u1v1 + u2v2 • pro skalární součin vektorů u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) platí: u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3

4. Operace s vektory – skalární součin Př: Vypočtěte skalární součin daných vektorů: • u = (3, -4), v = (-1, -7) u.v = u1v1 + u2v2 = 3.(-1) + (-4).(-7) = -3 + 28 = 25 • u = (2, -9), v = (0, -8) u.v = u1v1 + u2v2 = 2.0 + (-9).(-8) = 0 + 72 = 72 • u = ( , ), v = ( , ) u.v = u1v1 + u2v2 = . + .( ) = - = • u = (3, -4), v = (8, 6) u.v = u1v1 + u2v2 = 3.8 + (-4).6 = 24 – 24 = 0 !Skalární součin dvou nenulových vektorů může být roven nule!

5. Operace s vektory – skalární součin Je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory navzájem kolmé. Př: Určete, zda jsou vektory v předchozích úlohách kolmé: cvičení a,b,c – nejsou kolmé cvičení d – jsou kolmé Př: Určete číslo x tak, aby vektory u,v byly navzájem kolmé: u = (x, 2, -1), v = (1, -x, 3) u.v= u1v1 + u2v2 = 0 x.1 + 2.(-x) + (-1).3 = 0 x – 2x – 3 = 0 -x = 3 x = -3

6. Operace s vektory – úhel vektorů Úhel vektorů: • umístíme-li dva vektory u = PU, v = PV tak, že mají společný počáteční bod, pak velikost konvexního úhlu UPV nazveme úhlem vektorů u, v V v U u P • mají-li vektory u,v stejný směr, velikost jejich úhlu je rovna 0

7. Operace s vektory – úhel vektorů • pro úhel dvou vektorů existuje vzorec, dokážeme si ho • umístíme vektory u = PU, v = PV tak, že jejich počáteční bod leží v počátku soustavy souřadnic, vektor u leží na kladné ose x • pro souřadnice vektorů u = (u1, u2) platí: u1 = ׀u׀, u2 = 0 • pro souřadnice vektorů v = (v1, v2) platí: v1 = ׀v׀.cos, v2= ׀v׀.sin • pak pro skalární součin vektorů u,v platí: • u.v = u1v1 + u2v2 • u.v = ׀u׀. ׀v׀cos + 0. ׀v׀sin • u.v = ׀u׀. ׀v׀cos • odtud: cos = y v2V v  P v1uU x

8. Operace s vektory – úhel vektorů Př: Vypočtěte velikost úhlu  v trojúhelníku ABC, jestliže: A[0, 1], B[-1, 2], C[1, 3]. • označíme u = BA, v = BC • souřadnice: u = A – B = (1, -1), v = C – B = (2, 1) • velikost: ׀u׀ = = , ׀v׀ = = • skalární součin: u.v = u1v1 + u2v2 = 1.2 + (-1).1 = 2 – 1 = 1 • vzorec: cos = = = =  = 71,5º

9. Operace s vektory – samostatná práce Př: Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Seneca: „Špatnostem se lze naučit i ....... učitele.” 1) Vypočtěte skalární součin vektorů u= (1, 0, 1), v = (0, 2, -1). a) V = 1 b) B = -1 2) Určete vektor v= (v1, v2) tak, aby měl velikost 10 a byl kolmý k vektoru u = (-1, 2). a) E = (4 , 2 ) b) Í = (4, 2) 3) Vypočtěte velikost úhlu  v trojúhelníku ABC, jestliže A[2, -1, 3], B[1, 1, 1], C[0, 0, 5]. a) Z = 45º b) C = 55º

10. Operace s vektory – správné řešení Seneca: „Špatnostem se lze naučit i ............ učitele.” BEZ

11. Operace s vektory – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-02-15].