Geometrijski niz

1. Geometrijski niz • Razred Treći razred srednje škole • Vreme trajanja 45 minuta • Autori Grupa profesora Elektrotehničke škole „Nikola Tesla“

2. Uvodni deo - primeri • Nekada davno u Persiji je živeo kralj čiju je kćer miljenicu oteo razbojnik. Kralju nikako nije uspevalo da spase kćer dok se nije pojavio, naravno, siromašni seljački sin. Kralju je kao nagradu za spasavanje kćeri zatražio onoliko pšenice koliko staje na šahovsku tablu i to na sledeći način: na prvo polje jedno zrno, na drugo polje dva zrna, na treće četiri, na četvrto osam itd. Kralj je, ne znajući za geometrijski niz, lakomisleno pristao na pogodbu misleći kako je jeftino prošao. Međutim, kada je kćer bila spašena i kada je siromah došao po svoju pšenicu, ispostavilo se da ne bi bilo dovoljno ni nekoliko godišnjih žetvi u celoj Persiji da isplati spasioca svoje ljubimice. Naime, ukupna količina pšenice je bila jednaka zbiru geometrijskog niza od člana količnika sa početnim članom , tj. ukupan broj zrna pšenice bi bio: Ako se prisetimo da je već ,a onda je jasno da bi traženi broj bio veći od milijardu milijardi! Pošto kralj nije mogao da ispuni pogodbu, navodno je umesto pšenice dao siromahu spasenu kćer za ženu.

3. Uvodni deo - primeri • Zamislite da Ahil trči protiv kornjače. Ahil trči 10 puta brže, ali počinje od tačke A, 100 metara iza kornjače koja je u tački K1 (kornjači, koja je sporija je data prednost). Da bi prestigao kornjaču, Ahil mora prvo doći do tačke K1. Međutim, kada je Ahil stigao do tačke K1, kornjača je prešla 10 metara i sad je u tački K2. Ponovo Ahil trči do K2. Ali, kao i ranije, kornjača je metar ispred njega u tački K3. Koliko god nastavili tu trku dalje, kornjača će uvek imati prednost nad Ahilom ( ma koliko mala ona bila ) i Ahil nikada neće stići kornjaču! • Ovo je jedan od tzv. Zenonovih paradoksa o kretanju koje je opisao još Aristotel. U stvari se opet radi o geometrijskom nizu, doduše beskonačnom.

4. Uvodni deo - primeri • Šta znači da supstanca ima vreme poluraspada od n godina? To znači da svakih n godina polovina njene količine nestaje. Posle prvih n godina, polovina količine ostaje, nakon sledećih n polovina od te polovine, dakle četvrtina ukupne količine ostaje. Zatim posle sledećih n godina polovina te količine, odnosno osmina početne i tako dalje. • Dakle, posle mn godina, ukoliko je početna količina supstance x, količina koja ostaje je (0,5)mx, što je opet primena geometrijskog niza.

5. Uvodni deo - primeri • Ulaganjem određene količine para G u banku sa kamatnom stopom p, nakon prve godine svota u banci iznosi: G · ( 1 + p ) , nakon druge: G · ( 1 + p ) · ( 1 + p ), a nakon n-te: G · ( 1 + p )n • Dakle, opet geometrijski niz

6. Glavni deo – definicija niza • Opšti član niza • Vrste nizova • Rastući, ako je q> 1 • Opadajući , ako je q< 1 • Konstantan, ako je q= 1 • Suma niza

7. Glavni deo – primeri • Nakon završene osnovne škole, kao nagradu za Vukovu diplomu, stric je Milanu oročio 1000 evra na 4 godine u banci gde je kamatna stopa 6 %. Koliko će para imati Milan kada krene na fakultet? • Ako je vreme poluraspada plastike 300 godina, koliko je vremena potrebno da od jednog kilograma plastike ostane 125 grama?

8. Završni deo – domaći zadatak • U odeljenju od 32 učenika, samo jedan učenik je na pismenom iz matematike rešio peti zadatak. Nakon 10 minuta od početka časa, on je u roku od 5 minuta rešen zadatak poslao dvojici učenika. Svaki od te dvojice je u roku od 5 minuta poslao po dvojici učenika isti zadatak. Oni su u narednih 5 minuta uradili isto. Da li će svi učenici stići da prepišu zadatak do kraja časa?

9. Završni deo – domaći zadatak • Na zemlju je palo 81 jabuka od kojih je u jednoj crv Haralampije. Ptica Gargojla u prvom satu pojede trećinu jabuka i svakog narednog sata trećinu od onoga što je pojela u prethodnom satu. Da li postoji mogućnost da Haralampije preživi nakon 4 sata? kraj