GEOMETRIJSKI ELEMENTI V PROSTORU

1. GEOMETRIJSKI ELEMENTI V PROSTORU 9. razred

2. 1. TOČKA IN PREMICA UPODOBITEV: ravna črta majhen krožec, križec ali črtica na črti p R + A P S T3 premica p ali premica PR OZNAKA: velika tiskana črka (+ indeks) mala pisana črka ali z dvema točkama, ki ležita na premici

3. MEDSEBOJNA LEGA točke in premice: A  p C p Točka A leži na premici p. B Točka B ne leži na premici p. B  p A Točki A in C na premici p določata daljico AC. Premica p je nosilka daljice AC. Velja: ACp Daljica AC leži na premici p. A  AC C  AC Obe krajišči ležita na daljici AC. Skozi eno točko lahko položimo neskončno mnogo premic. šop premic Točki določata premico. Skozi dve točki lahko položimo natanko eno premico.

4. Točke C, D in E so KOLINEARNE, ker ležijo na isti premici. E D Točke C, D in F so NEKOLINEARNE, C F ker ne ležijo na isti premici. Tri NEKOLINEARNE točke določajo ravnino. To so KOMPLANARNE TOČKE. S T ravnina R P ravnina (P,S,T) Vrstni red točk v oklepaju ni pomemben!

5. Ravnino določajo: • Tri nekolinearne točke (na prejšnji strani) • Premica in točka, ki ne leži na premici • Dve vzporednici • Dve vzporednici C • Dve sečnici • Dve sečnici A B

6. 2. MEDSEBOJNA LEGA DVEH PREMIC V PROSTORU SEČNICI p1 R Ležita v isti ravnini. R P p2 R Imata eno skupno točko - presečišče. p2 p1 p1 p2 = { P } Poseben primer sečnic sta pravokotnici. Presečišče imenujemo NOŽIŠČE. VZPOREDNICI R p3 p3 R Ležita v isti ravnini. p4 p4 R p3 p4 =  Nimata nobene skupne točke. p3 p4 = {} ali

7. MIMOBEŽNICI Ne ležita v isti ravnini. p5 p5 p6 = {} p6 Nimata nobene skupne točke. Dve premici sta mimobežni, če skoznju ne moremo postaviti ene ravnine. p R1 R2 q

8. VZPOREDNICI Kot med njima je 0°. KOT MED PREMICAMA SEČNICI MIMOBEŽNICI   Izmerimo manjši kot med sokotoma. Premici najprej vzporedno premaknemo, da postaneta sečnici, nato izmerimo manjši kot med sokotoma.

9. 3. MEDSEBOJNA LEGA PREMICE IN RAVNINE V PROSTORU VZPOREDNICI p1 R Premica in ravnina sta vzporedni: p1 Nimata nobene skupne točke: p1 R= {} R PREMICA LEŽI V (na) RAVNINI R pR p Imata neskončno mnogo skupnih točk - celo premico p. pR = p

10. PREMICA SEKA (PREBADA) RAVNINO Imata eno skupno točko - prebodišče (presečišče, sečišče). pR = { P } p R P Premico p imenujemo sečnica ravnine. Glede na lego ji rečemo POŠEVNICA na ravnino. PRAVOKOTNICA (normala) na ravnino je premica, ki prebada ravnino pod pravim kotom. n Premica je pravokotnica na ravnino, če je pravokotna vsaj na dve premici ravnine skozi NOŽIŠČE. R b a n R  n a  n b b R a R

11. Možne lege premice in ravnine Vzporedna z ravnino Prebada ravnino R Leži v ravnini N B A

12. 4. MEDSEBOJNA LEGA DVEH RAVNIN V PROSTORU RAVNINI STA VZPOREDNI R1 R2 R1 Nimata nobene skupne točke. R1R2= {} R2 RAVNINI SE SEKATA R4 (pod poljubnim kotom ali pravokotno) Imata neskončno mnogo skupnih točk R3 p - premico p. R3R4= p

13. 5. “DELITEV” Premico s točko razdelimo na dva poltraka. izhodišče poltraka B A T premica p poltrak k ali poltrak AB dopolnilni poltrak k’ Izhodišče pripada obema poltrakoma. ali poltrak AT A  k in A  k’

14. Ravnino s premico razdelimo na dve polravnini. dopolnilna polravnina pB B A C polravnina pA ali polravnina pC p Premico p imenujemo rob polravnin. Premica p pripada obema polravninama. p  pA in ppB

15. Prostor z ravnino razdelimo na dva polprostora. “levi” polprostor R “desni” polprostor Ravnina pripada obema polprostoroma.

16. 6. RAZDALJE Razdalja točke od premice T Razdalja točke T od premice je njena pravokotna razdalja p 90° N (nožišče) d(T,p) = d(T,N)

17. Razdalja točke od ravnine T p in q Premica s s Razdalja točke T od ravnine R je njena pravokotna razdalja p 90° R q

18. Razdalja med dvema vzporednicama b N1 a N2 d(a,b) = d(N1,N2) Razdalja med vzporednicama je enaka dolžini daljice, ki jo določata nožišči pravokotnice na vzporednici.