1 / 19

Jednoduchý typovaný λ -calcul

Jednoduchý typovaný λ -calcul. Typy: základné: A, B, … f unkcionálne: t 1 → t 2 ak M:t 1 →t 2 , N:t 1 , potom (M N):t 2 ak x:t 1 , M:t 2 , potom (λx.M):t 1 →t 2 Konvencia: → je asociat ívna doprava t 1 → t 2 → t 3 = t 1 → (t 2 → t 3 ). Jednoduchý λ -calcul, F 1. Termy

katina
Download Presentation

Jednoduchý typovaný λ -calcul

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Jednoduchý typovaný λ-calcul • Typy: • základné: A, B, … • funkcionálne: t1 → t2 • ak M:t1→t2, N:t1, potom (M N):t2 • ak x:t1, M:t2, potom (λx.M):t1→t2 • Konvencia: → je asociatívna doprava • t1→ t2 → t3 = t1→ (t2 → t3)

  2. Jednoduchý λ-calcul, F1 Termy t ::= x | λx.t | (t t) | n | + Typy α, β ::= Int | α→ β {x:α}:Γ├ x:α [VAR] {x:α}:Γ├ N:β [ABS] Γ├ (λx.N):α→β Γ├ M:α→β, Γ├ N:α [APPL] Γ├ (M N):β Γ├n:Int[INT] Γ├ +:Int→Int→Int [PLUS]

  3. Tipujme typy • λx.x • (λxα.xα)β, potom β = α→α • λxy.x • (λxα yβ.xα)δ, potom δ = α→β→α • (λx.x)y • (λxα.xα)β yδ, potom β = α→α, δ = a • [(λxα.xα)α→α yα]α • λxyz.(xz)(yz) • λxαyβzδ.[(xαzδ)η(yβzδ)ε ]θ, α = δ→η, β = δ→ε, η = ε→θ • x:α=δ→(ε→θ), y:β = δ→ε, z:δ • (δ→(ε→θ))→(δ→ε)→δ→θ, výsledok je typu θ • λx.xx • (λxα.(xα xα)β)δ, potom α =?α→β, nemá riešenie... Sústava rovníc

  4. Normálne formy Niektoré λ-termy nie sú otypovateľné,Y= Y = λf.(λx. f(x x)) (λx. f(x x)) :-) Church-Rosserova vlastnosť platí aj pre typovaný λkalkul Typovaný λ-term má normálnu formu (silne normalizovateľný, noetherovský) Neexistuje nekonečné odvodenie...

  5. data LExp = LAMBDA String LExp | ID String | APL LExp LExp | CON String | CN Integer deriving(Show, Read, Eq) data Type = TInteger | Tvar Integer | Type :→ Type deriving(Show, Read, Eq) Type checkingvs. inference checkType :: LExp → Type → Bool Problém: • checkType (A B) T2 = checkType A (T1→T2) && checkType B T1 • ako uhádnuť T1 ??? typeInference:: LExp → Maybe Type = (Just Type | Nothing) Problém: • inferType (λx.M) = T1 → (inferType M) • Ako zistiť typ premennej x, T1 ???

  6. data LExp = LAMBDA StringType LExp | ID String | APL LExp LExp | CON String | CN Integer deriving(Show, Read, Eq) data Type = TInteger | Type :→ Type deriving(Show, Read, Eq) Anotáciepremenných Termy t ::= x | λx:α.t | (t t) | n | + • ak x:T1, M:T2, potom (λx:T1.M): T1→T2 type Context = [(String, Type)] -- premenná a jej typ inferType :: Context → LExp → Maybe Type inferType ctx(ID var) = lookup var ctx -- [VAR] inferType ctx (APL m n) = t2 where -- [APPL] t1 :→ t2 = inferType ctx m -- môže výjsť Nothing, potom propaguj t3 = inferType ctx n-- Nothing aj do výsledku t1 == t3 inferType ctx (LAMBDA x t1 m) = t1 :→ inferType ((x,t1):ctx) m -- [ABS]

  7. data LExp = LAMBDA StringLExp | ID String | APL LExp LExp | CON String | CN Integer deriving(Show, Read, Eq) data Type = TInteger | Tvar Integer | Type :→ Type deriving(Show, Read, Eq) Typové premenné • ak nepoznáme konkrétny typ, zavedieme typovú premennú, • algoritmus zozbiera podmienky (rovnosti) pre typové premenné, • ak máme šťastie, podarí sa nám ich vyriešiť • typové premenné: α, β,δ, η, δ, ε, θ budeme radšej indexovať type Constraints = [(Type,Type)] infer :: Context->LExp->Constraints->Constraints inferType ctx (APL m n)eqs = t2, {t1 = t2}, eqs’’ where -- [APL] t3→t2, eqs’ = inferType ctx meqs t1, eqs’’ = inferType ctx b eqs’ inferType ctx (LAMBDA x m) eqs= t1→t2, eqs’ -- [ABS] -- t1 je nová typová premenná where t2,eqs’ = inferType (x,t1):ctx m inferType ctx (ID var) eqs= lookup var ctx, eqs -- [VAR] Dostaneme sústavu rovníc, ktorú riešime

  8. Inferencia typu λf.λa.λb.λc.c (f a) (f b):T, Ø, Ø ((c (f a)) (f b)):T4, f:T0,a:T1, b:T2, c:T3, {T=T0→T1→T2→T3→T4} (c (f a)):T5, (f b):T6, f:T0, a:T1, b:T2, c:T3, {T=T0→T1→T2→T3→T4, T5=T6→T4} c:T3, (f a):T8, (f b):T6, f:T0, a:T1, b:T2, c:T3,{T=T0→T1→T2→T3→T4, T5=T6→T4, T3=T8→T5} c:T3, (f a):T8, (f b):T6, f:T0, a:T1, b:T2, c:T3, {T=T0→T1→T2→T3→T4, T5=T6→T4, T3=T8→T5, T0=T1→T8, T0=T2→T6} Sústava rovníc: {T=T0→T1→T2→T3→T4, T5=T6→T4, T3=T8→T5, T0=T1→T8, T0=T2→T6} {T=T0→T1→T2→T3→T4, T5=T6→T4, T3=T8→T5, T0=T1→T8, T2=T1, T8=T6} Riešenie: T=T0→T1→T2→T3→T4 =(T1→T8)→T1→T1→(T8→T5)→T4= (T1→T8)→T1→T1→(T8→T8→T4) →T4

  9. Inferencia typu λxyz.(xz)(yz):T, Ø, Ø λyz.(xz)(yz):T2, x:T1,{T=T1→T2} λz.(xz)(yz):T4, y:T3, x:T1,{T=T1→T2, T2=T3→T4} (xz)(yz):T6, z:T5, y:T3, x:T1,{T=T1→T2, T2=T3→T4, T4=T5→T6} (xz):T7, (yz):T8, z:T5, y:T3, x:T1, {T=T1→T2, T2=T3→T4, T4=T5→T6, T7=T8→T6} x:T9, z:T10, (yz):T8, z:T5, y:T3, x:T1, {T=T1→T2, T2=T3→T4, T4=T5→T6, T7=T8→T6,T9=T10→T7, T9=T1, T10=T5} y:T11, z:T12, z:T5, y:T3, x:T1, {T=T1→T2, T2=T3→T4, T4=T5→T6, T7=T8→T6,T9=T10→T7, T9=T1, T10=T5, T11=T12→T8, T11=T3, T12=T5} Sústava rovníc: {T=T1→T2, T2=T3→T4, T4=T5→T6, T7=T8→T6,T9=T10→T7, T9=T1, T10=T5, T11=T12→T8,T11=T3, T12=T5} {T=T1→T2, T2=T3→T4, T4=T5→T6, T7=T8→T6, T1=T5→T7, T3=T5→T8} Riešenie: T=T1→T2=T1→(T3→T4)=T1→(T3→(T5→T6)= (T5→T8→T6)→(T5→T8)→T5→T6

  10. Unifikácia f(t1, …, tn) = f(s1, …, sn), C → t1 = s1, …, tn = sn,, C f(t1, …, tn) = g(s1, …, sm) → FAIL x=t, C → x=t, C[x:t] if not(xt) [OCCUR CHECK] x=t, C → FAIL if xt x=x, C → C !!! najivný algoritmus je exponenciálny t1=g(t2, t2), t2=g(t3, t3),t3=g(t, t) t1=g(t2, t2), t2=g(g(t, t), g(t, t)),t3=g(t, t) t1=g(g(g(t, t), g(t, t)), g(g(t, t), g(t, t))), t2=g(g(t, t), g(t, t)),t3=g(t, t)

  11. Unifikácia unify [] = [] -- Just [] unify (S=T:C’) | S == T = unify C’ | S == ti && not(ti T) = unify(C’[ti:T]) ++ [ti/T] | T == ti && not(ti S) = unify(C’[ti:S]) ++ [ti/S] | S == S1→S2 and T == T1→T2 = unify(S1=T1:S2=T2:C’) | otherwise = fail -- Nothing • type Subst = [(Type,Type)] • type Constraints = [(Type,Type)] • unify::Constraints→Maybe Subst | S == ti && not(ti Free(T)) = [ti/T] : u where Just u = unify(C’[ti:T])

  12. Unifikácia Type Subst = [(Type,Type)] unify::Type→Type→Maybe Subst unify _ _ Nothing = Nothing unify (a1→b1) (a2→b2) subst = subst2 where subst1 = unify a1 b1 subst subst2 = unify a2 b2 subst1 --dereferencia premennej miesto aplikacie substitúcie unify ti b subst = unify a b subst where a = deref ti subst unify a ti subst = unify a b subst where b = deref ti subst --predpokladáme, že tije dereferencovaná unify ti b subst = (ti,b):subst unify a ti subst = (ti,a):subst – zabránenie vzniku cyklu unify ti tj subst | i < j = (ti , tj):subst | j < i = (tj , ti):subst | otherwise subst

  13. Polymorfický λ-kalkul, druhorádový λ-kalkul,System F2 V jednoducho-typovanom λ-kalkule doménou premenných sú funkcie, v druho-rádovom λ-kalkule doménou premenných sú typy: Typ α, β ::= Int | α → β | α.β • λx.x : α.α→α • TRUE(λx.λy.x), FALSE (λx.λy.y) : α.α→α→α • NOT : α.α→α • K (λx.λy.x) : α.β.α→β→α • 0,1,2 (λf.λx.f(f x)),… : α.(α→α)→α→α Dôsledky: • v takomto λ-kalkule vieme otypovať aj to, čo v F1 nevieme (ω) • inferencia v takomto kalkule je nerozhodnuteľný problém  • F1, F2,F3, … →Fω • dependent type (t:Type, t)

  14. System F2 Typy α, β ::= Int | α → β | α.β {x:α}:Γ├ x:α [VAR] {x:α}:Γ├ N:β [ABS] Γ├ (λx.N):α→β Γ├ M:α→β, Γ├ N:α [APPL] Γ├ (M N):β Γ├M:β[GEN] α not free in Γ Γ├M:α.β Γ├ M:α.β [INST] Γ├ M:β[α:θ]

  15. λx.x : α.α→α AND : α.α→α→α 0,1,2,… : t.(t→t)→(t→t) Príklady v F2 {x:Int}├ x:Int [VAR] ├(λx.x):Int→Int[ABS] {x:α}├ x:α [VAR] ├(λx.x):α→α[ABS] ├(λx.x): α.α→α[GEN] ├(λx.x): Int→Int[INST] {x:α.α→α}├ x:α.α→α [VAR] {x:α.α→α}├ x:(β.β→β)→(β.β→β) [INST] {x:α.α→α}├ x:α.α→α [VAR] {x:α.α→α}├ (x x):α.α→α [APP] ├ λx.(x x):(α.α→α)→(α.α→α) [ABS] • podarilo sa nám otypovať výraz, ktorý v jednoducho-typovanom kalkule sa nedal • dostali sme však typ (α.α→α)→(α.α→α), ktorý vnútri obsahuje kvantifikátory (deep type) na rozdieľ od tých, čo ich majú len na najvyššej úrovni, napr. t.(t→t)→(t→t) – shallow type

  16. Let polymorfizmus chceme zakázať kvantifikáciu typov vnútri typového výrazu (zakázať deep type) Typy α, β ::= Int | α → β | α θ ::= α | α.θ premenná viazaná λ výrazom nemôže byť polymofrického typu, napr. f (λx.x) where f = λg.[… (g 1) …. (g True) … ] • idd = (\x->x) • foo = f idd where f = \g->(if (g True) then (g 2) else (g 1)) Nahradíme pravidlo [GEN] pravidlom [LET] Γ├ M:β, Γ, x:α.β├ N:δ[LET] α in β, α not free in Γ Γ├let x=M in N : δ

  17. Typy a formule • K = (λxy.x)α→β→α • S = λxyz.xz(yz)(δ→ε→θ)→(δ→ε)→δ→θ Hilbertov axiomatický systém: A → (B → A) ((A → (B→C)) → ((A→B) → A→(A→C)) Modus ponens: A A→B B

  18. K = (λxy.x)α→β→α S = λxyz.xz(yz)(δ→ε→θ)→(δ→ε)→δ→θ Curry-Howardov izomorfizmus • S K K = I S:(δ→ε→θ)→(δ→ε)→(δ→θ) K:α→β→α K:φ→ψ→φ -------------- (δ→ε→θ)= α→β→α (δ→ε)=φ→ψ→φ δ=θ (δ→ε→δ)= α→β→α, δ= α, ε=β (δ→ε)=φ→ψ→φ, δ=φ, ε=ψ→φ S:(δ→(ψ→δ)→δ) → (δ→(ψ→δ)) → (δ→δ) K:(δ→(ψ→δ)→δ) K:(δ→(ψ→δ))

  19. K = (λxy.x)α→β→α S = λxyz.xz(yz)(δ→ε→θ)→(δ→ε)→δ→θ Curry-Howardov izomorfizmus S:(A→(B→A)→A) → (A→(B→A)) → (A→A) K:(A→(B→A)→A) SK:(A→(B→A)) → (A→A) K:(A→(B→A)) SKK:(A→A)

More Related