RESOLUTION DE PROBLEMES ET calcul au cycle 2

1. RESOLUTION DE PROBLEMES ET calculau cycle 2 Octobre 2011 Roland Charnay

2. L’enseignement du calcul, une question complexe Octobre 2011 Roland Charnay

3. Maîtriser une opération Problèmes Procédures, techniques Résultats à mémoriser, automatiser à savoir élaborer Langage, évocation analogique verbal symbolique Justifications Propriétés Octobre 2011 Roland Charnay

4. cinq 5 Exemple du triple code : petits nombres 2011 - Roland Charnay

5. 173 cent soixante-treize Exemple du triple code : numération décimale 2011 - Roland Charnay

6. Trois fois quatre Quatre multiplié par trois Produit de trois par quatre 3 x 4 4 x 3 Exemple du triple code multiplication 2011 - Roland Charnay

7. Qu'est-ce que savoir calculer ? Octobre 2011 Roland Charnay

8. Plan Octobre 2011 Roland Charnay

9. Les problèmes arithmétiques Octobre 2011 Roland Charnay

10. Exemple au CE1 (d’après Cap Maths) Combien y a-t-il d’enfants sur le bateau ? Octobre 2011 Roland Charnay

11. Ce qui peut faire difficulté Octobre 2011 Roland Charnay

12. Mais aussi… l’idée que les élèves se font de l’activité « Résoudre un problème » Octobre 2011 Roland Charnay

13. Schéma d’analyse sommairedes sources de difficulté Roland Charnay - 2011

14. A la bonne place (évadébut CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 Roland Charnay - 2011

15. A                                                             B                     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20                21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 C D 2 5 + . . 6 0 E 25 + 5 = 30 + 30 = 60 5 + 30 = 35 60 – 25 = 35 Quelles résolutions possibles(le bateau) Octobre 2011 Roland Charnay

16. Différentes modalités de résolution Octobre 2011 Roland Charnay

17. Quelle représentation de la tâche ? Octobre 2011 Roland Charnay

18. Aider à la représentation de la situation • L’énoncé écrit n’est qu’une façon de présenter un problème • L’image est en est une autre • La simulation une autre encore • Le problème posé à partir d’une expérience doit prévaloir au cycle 2 Octobre 2011 Roland Charnay

19. Schéma pour des situations d’apprentissage Réel Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures Octobre 2011 Roland Charnay

20. Difficultés pour identifier les opérations pertinentes • L’opération en jeu n’est pas toujours un bon critère Lucie aime jouer aux billes. A la fin de la journée, elle a 8 billes de plus que le matin. Pourtant, la journée avait mal commencé : à midi, elle avait perdu 2 billes. Que s'est-il passé l'après-midi ? 21 % de réponses exactes (entrée 6e) Octobre 2011 Roland Charnay

21. Difficultés pour identifier les opérations pertinentes • La concordance avec le sens « primitif » du concept intervient fortement • La soustraction pour « le bateau » est un cas de discordance • D’où la nécessité d’apprendre que la résolution « par soustraction » est équivalente à la résolution « par complément » • La taille des nombres intervient également • Soustraire 28 de 31 est plus difficile que « Combien ajouter à 28 pour avoir 31 » ? Octobre 2011 Roland Charnay

22. Aider à progresser… • Prise de conscience au cours de la mise en commun • Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes • Choix des variables Exemple : 100 passagers, 5 adultes • Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions »(ici validation expérimentale) Octobre 2011 Roland Charnay

23. Quels problèmes au cycle 2 ? Octobre 2011 Roland Charnay

24. Les moyens de calcul Octobre 2011 Roland Charnay

25. Les moyens de calcul Octobre 2011 Roland Charnay

26. Quelques résultats à l’entrée au CE2 Octobre 2011 Roland Charnay

27. Quelques repères pour les calculs additifs et soustractifs(calcul mental) Octobre 2011 Roland Charnay

28. Trois catégories de procédures 8 + 4 • Appui sur l’aspect cardinal • Quantités réelles ou évoquées (doigts, jetons, dessins…) • Appui sur l’aspect ordinal • File numérique : avancer de 4 au-delà de 8 • Ou avancer de 2, puis de 2 • Appui sur le calcul (connaissances numériques) • 8 et 2 et encore 2 • 8 plus 4 mémorisé 2011 - Roland Charnay

29. Des repères mentaux et figuratifs pour les nombres Le subitizing (jusqu’à 3 ou 4) 2011 - Roland Charnay

30. 1 2 3 4 5 6 7 Les relations avec 5 et 10 • Doigts • Avec la constellation • Passage à 7, à 3… • Idem avec 10 (comme 2 fois 5) • Passage de 7 à 10 • Passage de 10 à 12 • File numérique 2011 - Roland Charnay

31. Les relations avec les doubles 2011 - Roland Charnay

32. Comment aider les élèves à mémoriser les tables ? 2011 - Roland Charnay

33. Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ?Exemple avec 6 +7 • 6+7 et 7+6 sont égaux à 13 • Pour aller de 6 à 13, il y a 7 • Pour aller de 7 à 13, il y a 6 • 13 – 6 = 7 et 13 – 7 = 6 • 13 se décompose, entre autres, en 6+7 et en 7+6 2011 - Roland Charnay

34. Addition et multiplicationDes conditions différentes • Addition • Mémorisation complète • Mémorisation partielle et reconstruction instantanée • Multiplication • Mémorisation complète 2011 - Roland Charnay

35. Des points de repèrepour la mémorisation • Pour le domaine additif • Aperçu pour le domaine muktiplicatif 2011 - Roland Charnay

36. Comprendre aide à mémoriser(référence, contrôle) • Addition sous le double aspect • Cardinal : réunion ou augmentation de quantités • Ordinal : avancer sur une piste numérotée • Multiplication sous un triple aspect • Itération de quantités • Organisation « rectangulaire » de quantités • Addition itérée (fois) Possibilité de construire ou de retrouver des résultats inconnus ou oubliés 2011 - Roland Charnay

37. Répertorier et organiser aide à les mémoriser • Rassembler des résultats en vrac (affiche) • Chercher à les organiser • Compléter avec ceux qui manquent 2011 - Roland Charnay

38. Organisation sous forme de listes (CP, CE1) 2011 - Roland Charnay

39. Organisation sous forme de tableau(à partir du CE2) 2011 - Roland Charnay

40. Points d’appui pour la mémorisation • Commutativité • S’appuyer sur des régularités ou des propriétés • Ajouter ou soustraire 1 : dire le suivant ou le précédent • De 3 en 3 dans la table de 3… • Alternance de 0 et de 5 dans la table de 5 • S’appuyer sur des résultats connus • Doubles, compléments à 10… • Voisins 2011 - Roland Charnay

41. Etapes de la mémorisation(par zones numériques pour l’addition) 2011 - Roland Charnay

42. Etapes de la mémorisation(par tables pour la multiplication) • Tables de 2 et de 5 • Tables de 4 et de 8 (doubles à partir de celle de 2) • Tables de 3 et de 6 • Table de 9 avec ses particularités 4 x 9 = 36 3 + 6 = 9 • Table de 7 (ne reste que 7 x 7 !) - 1 2011 - Roland Charnay

43. Autres conditions • S’entraîner, répéter (jeux de calcul…) • Savoir ce qu’on sait et ce qui reste à apprendre • Lien entre conditions de mémorisation et possibilités de « rappel » • éviter la récitation des tables • Interroger sur sommes, différences, compléments, décompositions 2011 - Roland Charnay

44. Le cas du calcul réfléchi 2011 - Roland Charnay

45. Le calcul réfléchi se caractérise par… La diversité des procédures Exemple de 32 + 9 2 + 9 = 11 30 + 11 = 41 32 + 8 = 40 40 + 1 41 31 + 9 = 40 40 + 1 = 41  32 + 10 = 42 42 – 1 = 41  31 + 1 + 9 = 31 + 10 = 41 Etc. Octobre 2011 Roland Charnay

46. Le calcul réfléchi se caractérise par… La recherche d’une stratégie • Réfléchir un calcul, c'est raisonner pour le remplacer par un calcul souvent plus long, mais plus simple, ce qui nécessite l'appui sur des connaissances. Octobre 2011 Roland Charnay

47. 100 – 97 Remplacé par 97 pour aller à 100 (Equivalence complément – soustraction) 100 – 3 Remplacé par "reculer de 3" (sens primitif de la soustraction) Utilisation de 10 – 3 (implicite : 90 + 10 – 3) Exemple : calcul d'une différence Octobre 2011 Roland Charnay

48. Le calcul réfléchi se caractérise par… • Le fait qu'aucune procédure n'est à privilégier : le calcul réfléchi est un calcul personnel • L'importance de l'explicitation et de l'échange Octobre 2011 Roland Charnay

49. Différents langages Le répertoire L'apprentissage du calcul multiplicatif Octobre 2011 Roland Charnay

50. Au départ : même démarche Des problèmes vers le calcul Problème des tours(Cap maths, CE1) Combien de tours, toutes pareilles, peut-on construire avec ces 30 cubes ? Trouvez toutes les possibilités. Il faut utiliser chaque fois tous les cubes. Problème présenté oralement, les cubes sont présents dans une boîte, mais non disponibles. .. Octobre 2011 Roland Charnay