Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________

1. Dipartimento di Economia Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA ___________________________ Prof. Paolo Mattana Lez. 6 – Le proprietà asintotiche degli stimatori OLS

2. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS Passiamo ora a studiare le proprietà degli stimatori quando il campione è “grande”. Proprietà asintotiche degli stimatori Concetto fondamentale: PLIM = Probability limit Quando la distribuzione campionaria collassa su un valore particolare per n che tende a infinito, si dice che essa converge in probabilità su quel valore.

3. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS Es: la media campionaria converge in prob. su μ che diventa il PLIM dello stimatore (si ricordi che la var. della media campionaria è uguale alla varianza della popolazione divisa per n).

4. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS Definizioni rilevanti: uno stimatore è detto “asintoticamente corretto” se: uno stimatore è detto “consistente” se:

5. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS B A C

6. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS Efficienza asintotica È sempre necessario il confronto tra due stimatori Uno stimatore è asintoticamente efficiente se è consistente e nessun altro stimatore consistente ha varianza inferiore NB: Poiché nell’analisi di regressione dovremo spesso riferirci a small sample properties è fondamentale avere a che fare con stimatori efficienti

7. PDF 2 n = 10 PDF 1 n = 10 PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS

8. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS Esercizi sugli stimatori 1. Un campione casuale di 4 unità è estratto da una popolazione con media μ e varianza 1. Si considerino i seguenti stimatori della media della popolazione:

9. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS • Si verifichi se i due stimatori sono corretti • Si calcolino le varianze dei due stimatori • Si configuri l’errore quadratico medio (MSE) degli stimatori quando μ = 1. Quale stimatore è preferibile?

10. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS 2. Si estragga da una popolazione normale con media μ e varianza 1 un campione casuale di due unità. Volendo stimare il parametro μ si considerino i seguenti stimatori: Verificare che tali stimatori siano corretti e individuare quello più efficiente.

11. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS Cosa sappiamo sulle large sample properties degli stimatori OLS?

12. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS poiché essendo X non stocastica e per

13. PROPRIETA’ ASINTOTICHE DEGLI STIMATORI OLS Se le assunzioni del modello classico sono rispettate gli stimatori OLS sono asintoticamente efficienti, ovvero collassano più velocemente di qualsiasi altro stimatore sui parametri veri al crescere di n. Dimostrazione difficile…