CON REGLA Y COMPAS

1. CON REGLA Y COMPAS FIGURAS EQUIVALENTES

2. Las Matemáticas sin Letras ni Números

3. De las Relaciones Geométricas … • Las RELACIONES GEOMÉTRICAS entre dos figuras planas son: • Identidad. • Traslación. • Simetría. • Giro. • Homotecia. • Semejanza. • Equivalencia • Escalas.

4. … estudiaremos la Equivalencia Dos FIGURAS EQUIVALENTES son aquellas que tienen la misma extensión. Conviene diferenciar entre: SUPERFICIE: es una varieda bidimensional del espacio n-dimensional. EXTENSIÓN: es una propiedad de las superficies cerradas que permite compararlas unas con otras. ÁREA: es la medida de la extensión de una superficie cerrada, y su valor depende de la unidad de medida. Demostrar que los dos rectángulos son equivalentes si U está en la diagonal

5. Construcciones con regla y compás… La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta, así que, a efectos prácticos podemos utilizar el compás para trasladar distancias.

6. … dos Construcciones Clásicas Se trata de construir figuras equivalentes o congruentes a una dada utilizando sólo la REGLA y el COMPÁS con la condición de que tengan una forma determinada. CONSTRUCCIONES Triángulos Equivalentes Cuadrado Equivalente a Rectángulo

7. D E C F A B Planteamiento del Problema. Buscamos la equivalencia (mediante Regla y Compás) de un polígono cualquiera y un triángulo equilátero. Por ejemplo, tenemos el hexágono irregular ABCDEF…

8. Un Eterno y Grácil Bucle. del al hasta

9. Reduciendo lados mediante… D E C F r G A B H … cuyas diagonales EA, EB, DB hemos dibujado, a la vez que dos rectas que salen de los vértices F y C, paralelas a las diagonales EA y DB respectivamente, y que, a su vez, cortan a la base AB asentada sobre la recta r en los puntos G y H.

10. D E G H …equivalencia de triángulos. C F A B También podemos demostrar que el triángulo AEG es equivalente al AEF, puesto que tienen la misma base EA y la misma altura (porque se encuentran entre rectas paralelas. Por la misma razón, los triángulos BDH y BDC son equivalentes. De esta forma se pueden sustituir, y lo que en un principio era un hexágono irregular ABCDEF queda reducido a un cuadrilátero GHDE.

11. D J H Reiterando el proceso… E r G Trazamos, ahora, la diagonal DG, y por E, la paralela EJ a DG. Igual que antes, el triángulo EDG es equivalente al triángulo GDJ.

12. D J H … hasta tener tres lados. E C F A B Procediendo de esta forma, podemos reducir el cuadrilátero GHDE al triángulo JHD; es decir, el cuadrilátero GHDE al triángulo JHD son EQUIVALENTES o congruentes.

13. D J H Infinitos triángulos equivalentes. K r Este triángulo escaleno JHD se puede transformar en un triángulo isósceles JHK con la misma área, trazando la mediatriz de la base JH y dibujando por D una recta paralela a r. Pero lo que es imposible aquí es transformar directamente el triángulo escaleno JHD en un triángulo equilátero.

14. Y ahora transitaremos... del hasta al

15. D M P L J H Una equivalencia clásica. s O Para poder proseguir con nuestro objetivo, transformaremos el triángulo escaleno JHD en un rectángulo JHLM equivalente. Para ello buscaremos el punto medio P de la altura OD del triángulo , por el que dibujaremos una recta s que deberá ser paralela a la base JH del triángulo. Por los puntos J y H se levantan perpendiculares que cortan a s en M y L

16. Fórmula del área de un triángulo D M Q P R L J H La equivalencia de JHD y JHLM se demuestra fácilmente ya que los triángulos JQM y QPD (lo mismo HLR y PRD) son iguales/equivalentes por tener los mismos ángulos y un lado (el PD=JM) igual.

17. A B D E El Teorema de la Altura. G r F Abatiendo EB sobre r, donde reposa la base DE, obtenemos el punto F. Después buscamos el punto medio O de DF y dibujaremos, con centro en O, una semicircunferencia de centro O y diámetro DF. Prolongamos EB hasta que corte a la semicircunferencia en G. De esta forma tendremos el triángulo rectángulo DFG, al que podemos aplicar el Teorema de la Altura EG2 = DE x EF = DE x DA.

18. A B D E Otra equivalencia clásica. H G De esta forma queda explicada la equivalencia del rectángulo ABCD y del cuadrado DEFG. Ya sólo nos queda transformar el cuadrado DEFG en un triángulo equilátero equivalente. F

19. D C A B Un Proceso en cuatro pasos. E al del F Para culminar nuestro objetivo de pasar de un polígono regular o irregular cualquiera, al polígono regular de menos lados, haremos la construcción por pasos de la equivalencia de un cuadrado ABCD y un triángulo equilátero AEF.

20. D C A B Primer paso. E H s r F G I. Alargamos la base AB del cuadrado, y sobre esta recta r dibujamos un triángulo equilátero AEF arbitrario. Encontramos el punto medio H de GE, la altura del triángulo equilátero. Por este punto H trazamos una recta s paralela a r. Esta recta s cortará al lado AD del cuadrado y a la recta perpendicular a r levantada por F, formado, así, un rectángulo equivalente al triángulo AEF.

21. Segundo Paso. E J H r F A G II. Procediendo como ya hemos visto, podemos encontrar el cuadrado AGHJ equivalente al triángulo AFE.

22. Tercer paso. III. Dibujamos la recta EJ, prolongamos la recta AE, y dibujamos una paralela a EJ que pase por D y corta a la recta t en F. t F D C E J A B

23. F D C A B G Cuarto paso. IV. Dibujamos la recta FG paralela a EH que corta a la recta r en G. E J r H

24. El Teorema de Tales. El Teorema de Tales nos asegura que el triángulo AFG es equivalente al cuadrado ABCD. F D C A B G

25. D C A B Aplicación: Área del TRAPECIO. F E Como aplicación de lo anterior, REDUCIMOS el trapecio ABCD a un triángulo equivalente AED. Aquí se comprueba que los triángulos CDF y BEF son iguales pues las diagonales DE y CB del paralelogramos BECD se cortan en el punto medio F.

26. D C A B Primera MIRADA. E r t Visto de otra forma, los triángulos CDB y BEC son EQUIVALENTES puesto que tienen la misma base y se encuentran entre paralelas r y t.

27. D C A B Segunda MIRADA. h/2 J H h/2 E Ahora, REDUCIMOS el triángulo AED a un rectángulo equivalente AEHJ. En resumen, ABCD Ξ ABD Ξ AEHJ

28. D C A B Tercera MIRADA. h/2 h/2 E De donde se deduce la conocida fórmula del área del trapecio ABCD. Área Trapecio = (AB + BE) h/2 = (AB + DC) h/2

29. Dos RESULTADOS clásicos. Toda la Geometría Clásica se apoya en dos RESULTADOS: El Teorema de Tales El Teorema de Pitágoras La importancia de estos dos resultados jamás será suficientemente ensalzada. Ni el uso que de ellos se hace en la Geometría.

30. Interludio. Dadas dos rectas paralelas r y t, y dos paralelogramos ABCD y ABEF tales que AB esté sobre r, y DC y FE estén sobre t, entonces son EQUIVALENTES. De lo que se deduce que el área del cuadrado ABCD es doble que la del triángulo BCD por tener la misma base y estar entre dos paralelas r y t. D C F E t r A B Veamos ahora, en el marco de las EQUIVALENCIAS, la demostración clásica que da Euclides en sus ELEMENTOS del Teorema de Pitágoras.

31. Demostración del Teorema de Pitágoras

32. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B D L E I. Sea ABC el triángulo rectángulo, recto en A. Trazamos los cuadrados BDEC, BFGA y CKHA. Trazamos AL paralela a BD y unimos AD y FC.

33. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B D E II Como el ángulo BAC y y el ángulo BAG son rectos, G, A y C están alineados.También lo están B, A y H. 

34. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B D L E III Como DBC y FBA son ambos ángulos rectos, al añadir a ambos el ángulo ABC, resulta que DBA y FBC son triángulos iguales. 

35. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E IV El rectángulo BDLI es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma base BD y están entre las mismas paralelas BD y AL.

36. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E IV El cuadrado BFGA es el doble del triángulo FBC pues tienen la misma base FB y están entre las mismas paralelas FB y GC. 

37. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E IV El rectángulo BDLI es el doble del triángulo ABD, pues tienen la misma base BD y están entre las mismas paralelas BD y AL. El cuadrado BFGA es el doble del triángulo FBC pues tienen la misma base FB y están entre las mismas paralelas FB y GC. 

38. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E V. Entonces el paralelogramo BDLI es EQUIVALENTE al cuadrado ABGB. 

39. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicu-larmente), el triángulo ACE es igual al triángulo BCK. 

40. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicu-larmente), el triángulo ACE es igual al triángulo LIE. 

41. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E VI. De forma similar, uniendo AE y BK (que se cortan perpendicu-larmente), el triángulo AHK es igual al triángulo BCK. 

42. Paso a paso… y DISFRUTANDO H K G A F C B I D L E VII. Por lo que rectángulo CILE es EQUIVALENTE al cuadrado CKHA. 

43. Aquí está… ¡ÉSTE ES! H K G A F C B D L E VI. Por tanto el cuadrado BDEC es la suma de los cuadrados BFGA y CKHA.

44. DINÁMICAMENTE.

45. El RESUMEN... y la PROPINA. Teorema de los catetos

46. LA CLAVE está en la altura A b c C a D B Como todo triángulo, los triángulos rectángulos ABC tienen tres alturas. En este caso, dos coinciden con los catetos AB y AC, y la tercera AD, la que cae sobre la hipotenusa, divide al triángulo rectángulo ABC en otros dos, ACB y ABD, que tambien son rectángulos y SEMEJANTES entre sí.

47. LA CLAVE está en la altura A D D hc = α c hb = α b C B D ha = α a Por lo que tienen lados y las alturas proporcionales... a b c 1 = = = ha hb hc α A

48. LA CLAVE está en la altura A D D α c2 α b2 b c a C B α a2 Así que sus áreas son proporcionales a la hitotenusa al cuadrado. A

49. LA CLAVE está en la altura A D D C D B α c2 + α b2 = α a2 De donde se deduce el Teorema de Pitágoras. A