Tema 1.- MATRICES

1. Tema 1.- MATRICES • MATRICES • PRODUCTO DE MATRICES • POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

2. Un poco de historia Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo Sylvester fue quien acuñó el término matriz (1850), para distinguir las matrices de los determinantes, que serán estudiados en el Tema 3. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”. Tanto Sylvester como Cayley son considerados entre los mejores matemáticos de su tiempo. Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la Universidad John Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American Journal of Mathematics. (Sir) Arthur Cayley (1821-1895) nació en Surrey, Inglaterra, y estudió en la Universidad de Cambridge. Ejerció la abogacía y al mismo tiempo escribía aportaciones en matemáticas. Pocos años después de encontrar a su colega Sylvester, otro licenciado y matemático, dejó la abogacía y se dedicó de tiempo completo a las matemáticas. James Joseph Sylvester (1814-1897) nació en Londres, de padres judíos. Entró en la Universidad de Cambridge, pero por su religión no pudo obtener un diploma, sino hasta varios años después de haber terminado sus estudios. También ejerció la abogacía y al mismo tiempo hacía investigaciones en el campo de las matemáticas. Él y Cayley tuvieron una larga y fructífera colaboración en la teoría de los invariantes, campo relacionado con el Álgebra Lineal. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

3. A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a Cayley. Tres sistemas coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’) están conectados mediante las siguientes transformaciones: La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la sustitución: Esta transformación también puede escribirse como sigue: si abreviamos los tres cambios de coordenadas mediante las matrices de los coeficientes, tenemos: Ahora es posible calcular C directamente de A y B, mediante la multiplicación matricial: C = A · B. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

4. Ejemplo introductorio: gráficos de computador en diseño de automóviles El diseño asistido por computador (CAD) le ahorra a la Ford Motor Company millones de dólares cada año. Adoptados por primera vez por Ford a principios de 1970, CAD y CAM (fabricación asistida por computador) han revolucionado la industria automovilística. Hoy día, los gráficos por computador constituyen el corazón, y el Álgebra Lineal el alma del diseño moderno de automóviles. Lincoln Mark VIII de 1993 Muchos meses antes de que se construya un nuevo modelo de automóvil, los ingenieros diseñan y construyen un automóvil matemático: un modelo de alambre que existe solamente en la memoria de un computador y en las terminales de exhibición de gráficos. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

5. Este modelo matemático organiza e influye en cada paso del diseño y fabricación del automóvil. Trabajando en más de 2600 estaciones de trabajo para gráficos, los ingenieros de Ford perfeccionan el diseño original, esculpen las líneas fluidas de la carrocería, ponen a prueba la capacidad de las láminas de metal para soportar las deformaciones y los dobleces necesarios para producir la carrocería, ajustan la colocación de los asientos interiores, planean y disponen las partes mecánicas, y producen los planos de ingeniería para los miles de componentes que los proveedores fabricarán. Los ingenieros inclusive hacen pruebas de carretera para la suspensión del carro matemático, colocan el automóvil en un túnel de viento matemático y ¡hacen repetidas pruebas de colisión del auto en el computador! El modelo de alambre del automóvil se almacena en muchas matrices de datos para cada componente principal. Cada columna de una matriz enumera las coordenadas de un punto sobre la superficie del componente. Las demás columnas describen cuáles puntos se deben conectar con curvas. Un escáner tridimensional genera los puntos de datos originales pasando sensores por un modelo de arcilla de tamaño natural del automóvil. Las piezas individuales del interior del automóvil también se almacenan como matrices de datos. Los componentes más pequeños se trazan con software de gráficos por computador en la pantalla y las piezas mayores se forman ensamblando matemáticamente los componentes más pequeños. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

6. Posteriormente, los programas matemáticos generan más puntos, curvas y datos para interpretar y dibujar la superficie exterior del automóvil, haciendo que éste se vea tan real en la pantalla que parezca un automóvil de verdad en la sala de exhibición de un distribuidor. Los clientes potenciales opinan mientras el automóvil gira en el “piso de la sala de exhibición”. Si a los clientes no les gusta el automóvil, el diseño puede cambiarse antes de que se construya el coche real. Ya sea que trabajen en el diseño general de la carrocería o modifiquen un componente pequeño, los ingenieros llevan a cabo varias operaciones básicas sobre imágenes gráficas, como cambiar la orientación o la escala de una figura, hacer un acercamiento de alguna región pequeña o cambiar entre vistas bi y tridimensionales. El Álgebra Lineal es en verdad el “alma” del software de gráficos porque todas las manipulaciones de imágenes en la pantalla se logran mediante técnicas de Álgebra Lineal. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

7. Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas: • incógnitas: • coeficientes: • términos independientes: Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

8. La teoría de matrices ofrece la posibilidad de trabajar cómodamente con modelos de gran dimensión, tanto en número de variables, como de ecuaciones o datos, ya que brinda una notación simple y compacta para designar amplios conjuntos de información. Esto redunda a su vez en una mayor facilidad a la hora de trabajar con estos conjuntos de datos desde un punto de vista computacional. La teoría de matrices no sólo debe su importancia a la bondad de sus cualidades operativas, sino que además tiene gran relevancia teórica, ya que una matriz es la representación de determinadas transformaciones vectoriales (aplicaciones lineales) Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

9. MATRICES MATRIZ DE ORDEN .- Toda distribución de elementos dispuestos en m filas y n columnas Habitualmente se denotan las matrices con letras mayúsculas ( A, B, C,... ) y con minúsculas los elementos que las constituyen. Dado que los elementos están ordenados en filas y columnas, al elemento que en una matriz ocupa el lugar de la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denotará por aij . Es decir, con el primer subíndice i se indica la fila en la que está el elemento y con el segundo subíndice j , la columna. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

10. Dos matrices del mismo orden y se dicen iguales, y se escribe si: • Matriz fila: • Matriz columna: • Matriz nula: todos sus elementos son 0. • Matriz opuesta de Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

11. Matriz cuadradade orden n: Mismo número de filas que de columnas forman la diagonal principal Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

12. Los siguientes conceptos se refieren exclusivamente a matrices cuadradas: • Matriz triangular superior • Matriz triangular inferior Ceros debajo de la diagonal principal Ceros encima de la diagonal principal Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

13. Matriz diagonal • Matriz unidad Ceros fuera de la diagonal principal Ceros fuera de la diagonal principal, unos en la diagonal principal • Matriz escalar Delta de Kronecker Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

14. SUMA DE MATRICES.PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ conjunto de todas las matrices de orden con elementos reales. La aritmética para vectores que se describió en el tema anterior admite una extensión natural a las matrices. Si A y B son matrices , entonces la sumaA + B es la matriz cuyas columnas son las sumas de las columnas correspondientes de A y B. Puesto que la suma vectorial de las columnas se hace por entradas, cada entrada en A + B es la suma de las entradas correspondientes de A y B. La suma A + B está definida sólo cuando A y B son del mismo tamaño. Si r es un escalar y A es una matriz, entonces el múltiplo escalar r· A es la matriz cuyas columnas son r veces las columnas correspondientes de A. Al igual que con vectores, definimos –A como (–1) · A y escribimos A – B en vez de A + (–1) · B. Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

15. SUMA DE MATRICES.-(Operación interna en ) Sean , A y B tienen que tener el mismo orden Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

16. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.-(Operación externa en con dominio de operadores ) Sean , Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

17. PRODUCTO DE MATRICES Si es una matriz y es una matriz , se define la matriz producto , en este orden, como la matriz tal que: fila i de A columnaj de B Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

18. -ATENCIÓN.-Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. -Ejemplo.- Propiedades del producto de matrices.- 1.- 2.- 3.- 4.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

19. se puede hacer este producto, pero no se puede hacer es una matriz es una matriz Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

20. -OBSERVACIONES.- 1.- El producto de matrices no es necesariamente conmutativo. 2.- Puede ser con y . 3.- 4.- no implica necesariamente . Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

21. POTENCIAS NATURALES DE MATRICES CUADRADAS Una de las herramientas principales en el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales es el álgebra matricial. En concreto, el cálculo de potencias naturales de matrices cuadradas resulta de gran interés en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Además, las potencias de matrices desempeñan un papel importante en diversas aplicaciones, como por ejemplo en el modelo de Leontief de entrada-salida. -PROPIEDADES.- Si y : 1.- 2.- Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

22. TRASPUESTA DE UNA MATRIZ Cambiar filas por columnas -PROPIEDADES.- 1.- 2.- 3.- 4.- Atención 5.- Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

23. Las matrices (cuadradas) simétricas y antisimétricas se pueden caracterizar utilizando la relación que tienen con sus traspuestas. Sólo para matrices cuadradas A simétricasi y sólo si , es decir: A antisimétricasi y sólo si , es decir: ¿Cómo son los elementos de la diagonalprincipal de una matriz antisimétrica? Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

24. A continuación estudiamos ciertas matrices que deben su peculiaridad al comportamiento que presentan sus potencias. Las matrices idempotentes, por ejemplo, desempeñan un papel importante en algunas áreas de la Estadística y la Econometría. Sólo para matrices cuadradas A periódicasi . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período p. A idempotente si . A nilpotentesi . Si p es el menor número natural que satisface , decimos que A es una matriz nilpotente de índice p. A involutiva si . Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08

25. Matriz fila Matriz columna Matriz nula Matriz cuadrada Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad CONCEPTO DE MATRIZ RECTANGULAR Casos especiales Igualdad Suma/Resta Multiplicación por un escalar Producto Potenciación entera Trasposición ÁLGEBRA DE MATRICES Propiedades Determinante Inversión Matriz periódica Matriz idempotente Matriz nilpotente Matriz involutiva Matrices especiales Matriz simétrica Matriz antisimétrica Fundamentos Matemáticos II Electrónicos Curso 2007-08