La géométrie des pixels

1. La géométrie des pixels Conférence APMEP Octobre 2008 Pr. Eric ANDRES Laboratoire XLIM-SIC - Université de Poitiers

2. Géométrie des Pixels Que dire de la géométrie euclidienne classique ? Selon Euclide, la géométrie est la science mathématique des figures du plan et des volumes de l’espace. Descartes et Fermat ont fondé la géométrie analytique avec les coordonnées et des équations. Cela a été fondamental pour le développement du Calcul (en particulier en physique). De nos jours nous avons de nombreuses géométries comme les géométries algébriques, différentielles, non-euclidiennes, …

3. Géométrie des Pixels Et la géométrie « discrète » ? Pour avoir une géométrie discrète, dans Zn, nous avons besoin d’objets (figures, volumes mais aussi transformations et opérations). Similairement à ce qu’a fait Descartes, il est possible de décrire la géométrie discrète par des (in)équations : d’où le nom de « Géométrie Analytique Discrète » Nous nous intéressons en particulier aux calculs (en informatique avec applications en physique). Les géométries discrètes algébrique, différentielles, non-Euclidienne, … ne sont pas définies.

4. Pourquoi étudie-t-on la géométrie discrète ? • Données obtenues pas acquisition • Utile pour manipuler des images • Accélération dans divers algorithmes en infographie • Modélisation • Volumes • Phénomènes physiques • Écoulement du temps } Physique discrète

5. Géométrie Analytique Discrète Fondements théoriques : Analyse non standard, théorie des nombres, informatique effective, modélisation… Domaines d’applications : Informatique graphique, modélisation, analyse d’image et reconnaissance de formes Applications : Géologie, imagerie médicale, débruitage d’image et de vidéo, outil de simulation de propagation d’ondes, …

6. Le discret : un monde bien étrange Deux droites orthogonales sans intersection

7. Le discret : un monde bien étrange Deux droites parallèles et non égales avec une infinité de points d’intersections

8. Le discret : un monde bien étrange Regardons à présent cette droite

9. Le discret : un monde bien étrange Intersectée avec une deuxième droite

10. Le discret : un monde bien étrange Une intersection non connexe et dans le cas général l’intersection peut avoir un nombre arbitraire de points

11. Relations Continu - Discret Il existe une relation « paramétrable » entre les deux

12. Relations Continu - Discret Taille des voxels diminue plus vite que l’épaisseur de la droite n’augmente

13. A la limite on obtient une droite continue Relations Continu - Discret

14. Relations Continu - Discret • Continu Objet A avec propriété 1,2,3, … Objet A1 Avec prop 1,3,15, … Objet Ak Avec prop k1, k2, k3, … Discret

15. Bases de topologie discrète 8-voisinage 4-voisinage

16. Bases de topologie discrète 6-voisinage 18-voisinage 26-voisinage

17. 6 26-tunnel 18-tunnel 8-tunnel 4-tunnel Bases de topologie discrète

18. Bases de topologie discrète Chemin 4-connexe fermé Chemin 8-connexe fermé Chemins 4 et 8 connexes fermés de « Jordan » Intérieur et extérieur non 4-connexes Pas d’intérieur

19. Bases de topologie discrète Une solution : voisinage différent pour la courbe et le complémentaire Courbe 4-connexe  intérieur / extérieur 8-connexe Courbe 8-connexe  intérieur / extérieur 4-connexe

20. Pointel Lignel Surfel Bases de topologie discrète Autre solution : Topologie de Khalimski-Kovalesky Partition du pixel

21. Droite analytique discrète J.-P. Reveillès (1991) Représentation en compréhension Equation analytique : a,b entiers, a/b pente de la droite, w épaisseur arithmétique, c constante de translation.

22. 7 9 12 1 2 3 8 5 11 10 6 4 5 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 4 -28 -23 -18 -13 -8 -3 2 7 w = sup(|a|,|b|) = 7 droite 8-connexe des 0-tunnels 3 -21 -16 -11 -6 -1 4 9 14 2 w = |a|+|b| = 12 droite 4-connexe Plus de tunnels -14 -9 -4 1 6 11 16 21 1 -7 -2 3 8 13 18 23 28 0 0 5 10 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 6 7 Propriétés 0  5x – 7y < w w < sup(|a|,|b|) droite non connexe des 1-tunnels

23. Propriétés de la droite On a la relation Et donc si on se limite aux droites naïves on voit assez facilement que On suppose ici 0 < a < b et pgcd(a,b)=1. On a Où est le reste de la division.

24. Propriétés de la droite Prenons a/b = 5/17 et la suite y(xi) = {axi / b} 4 0 16 0

25. Propriétés de la droite 5 / 17 c c c d c c d c c c d c c d c c d A tout rationnel a/b Christoffel associe les lettres L1…Lb à la suite r(i)={ai/b} avec i=1,…,b où une lettre Li vaut “c” si r(i)<r(i+1) et “d” sinon. Comme les deux dernières lettres valent tjs “dc” on appelle le mot de Christoffel le mot Ch(a/b) = L1… Lb-2 On retrouve bien sur les paliers de la droite discrète.

26. Propriétés de la droite Il existe un rapport entre le mot de Christoffel et le développement en fraction continue de a = a/b avec 0<a<1. Soit a = [s,s1, …, sn] le développement en fraction continue de a/b. Le mot de Christoffel Ch(a) est construit avec les suites de mots gn, Cn, dn

27. Propriétés de la droite Avec On a donc s=3, s1=2, s2=2 et n=2. Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)=c1 g2 g1 g avec g=c2, c1=c2d, d1=c3d g1=c1=c2d, c2=c1d1=c2dc3d, d2=c12d1=c2dc2dc3d g2=c2=c2dc3d.

28. Propriétés de la droite Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17) = c1 g2 g1 g avec g=c2, c1=c2d, g1=c2d, g2=c2=c2dc3d. Soit au final Ch(5/17) = c2d.c2dc3d.c2d.c2 Si on code dans c.Ch(5/17).d = cccdccdcccdccdccd le mot c3d par L et c2d par C On retrouve un condensé du mot et surtout : 5 / 17 L C L C C

29. Propriétés de la droite

30. Propriétés de la droite

31. Applications Quasi-Affines Definition : [Reveilles 1991] En général Avec la matrice et le vecteur

32. Applications Quasi-Affines Definition :application contractante Une application affine est dite contractante pour une constante de Lipschitz s<1 pour tout vecteur x,y nous avons ||f(x)-f(y)|| <s||x-y|| avec ||.|| la norme Euclidienne. Théorème: une application affine f qui est contractante a un unique point fixe a tel que f(a)=a

33. Applications Quasi-Affines Propriété :AQA contractante Si l’application affine associée à une AQA F est strictement contractante alors F est aussi contractante en-dehors de la boule de rayon

34. Dynamique Trajectoire du point (10,0) La dynamique de l’AQA est définie par la suite Xn = F(Xn-1)

35. Dynamique Bassin attracteur : un bassin attracteur d’un cycle limite est la réunion de tous les arbres attachés au cycle. Z2 est décomposée en bassin d’attracteur

36. Dynamique • a 1 unique point fixe : (0,0) • Pas d’autres cycle limite. • a 2 points fixes : (0,0) et (0,-1) • Pas d’autres cycles limites. • a 5 points fixes : • (0,0);(-1,-1);(0,-1);(1,-1);(0,-2)

37. Dynamique • a 32768 points fixes. • a 1043 3-cycles et l’origine comme • point fixe

38. Dynamique

39. Dynamique Autour de l’origine il y a un 3-cycle, 5-cycle, 7-cycle, 11 –cycle, 15-cycle, …

40. Dynamique Seulement 1 seul bassin attracteur infini. La couleur représente la distance à l’origine qui est l’unique point fixe.

41. Dynamique Quatre bassins attracteurs infinis

42. Dynamique La couleur donne la distance au point fixe

43. Di -1 T (i,j) D'j Application Quasi-Affine F(x,y) =

44. Pavages A(2,2) appartient à l’intersection de D0 et D’1. L’image de A par l’AQA est par conséquent (0,1). Def. Pavé Pi,j = Di D’j = F-1(i,j) Le pavé P0,0 est égal à l’intersection entre D0 et D’0

45. Cas plus général : Nombre de pavés Si w = ad-bc Alors tous les pavés sont identiques et contiennent w points. Le nombre de pavés different à l’ordre 1 est égal à Avec d = ad-bc.

46. Exemples d = 15+6 = 21 Soit d’= 21 / gcd(14,21) = 3

47. Exemples d = 5+6 = 11 Soit d’= 11 / gcd(11,11) = 1

48. Applications Quasi-Affines Definition : Un pavé d’ordre 2 est l’ensemble des points dont l’image par l’AQA appartient au pavé d’ordre 1 pour l’indice i,j Il y a d’2 pavés distincts à l’ordre 2

49. Exemples d = 1+1 = 2 Soit d’= 2 / gcd(2,3) = 2 4 paves à l’ordre 2

50. Exemples d = 1+1 = 2 Soit d’= 2 / gcd(2,3) = 2 8 pavés différents à l’ordre 3