Предел и непрерывность функции.

1. Предел и непрерывность функции.

2. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. • Переменная величина αназывается бесконечно малой, если она изменяется так, что какое бы малое положительное числоℰни взято , ∣α∣становится и при дальнейшем изменении величиныαостается меньше ℰ. α→0 или -1 0 1

3. Переменная величина уназывается бесконечно большой, если она изменяется так, что какое бы большое положительное числоNни взято , ∣у∣становится и при дальнейшем изменении величины у остается больше N. у→∞ или 0

4. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величины. 1) если , то 2) если , то y 0 x

5. пример: 1) , тогда • 2) , тогда

6. Предел переменной Число 3 называется пределом переменной х: или

7. Постоянная а называется пределом переменной х, если разность между ними есть бесконечно малая величина α, т.е , если • или

8. Предел функции

9. Определение «на языке последовательности» Число а называется пределом функции f(x) в точке х=х0, если для всех значений х, достаточно близких к х0 (х→х0) и отличных от х0 (х≠х0), значение функции f(x) сколь угодно мало отличается от числа а (f(x)→а), т.е или при

10. Односторонние пределы. Пределы функций при х→х0-и х→х0+ Определение «на языке последовательности»: если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что х принимает только значения, меньшие х0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х0слева (или левым пределом) и пишут

11. Определение «на языке последовательности»: если f(x) стремится к пределу а при х→х0 так, что х принимает только значения, большие чем х0, то предел а называют пределом функции f(x) в точке х0справа (или правым пределом) и пишут

12. Пример. у ← 1 0 х -1 →

13. Связь между односторонними пределами. Теорема. Функцияf(x) имеет в точке х0 предел а тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый так и левый пределы и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам:

14. Доказать, что функция в точке х=0 не имеет предела. не существует у ← 1 → 0 x

15. Доказать, что функция в точке х=0 имеет предел. существует y ← 0 → x

16. Пределы функций при х→∞, х→ -∞и х→+∞ Определение «на языке последовательности»: число а называется пределом функции f(x) при х→∞, если для всех значений х бесконечно большой последовательности значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от а (f(x) →а)и пишут

17. Определение «на языке последовательности»: число а называется пределом функции f(x) при х→+∞ (х→-∞), если для всех значений х бесконечно большой последовательности, элементы которой положительны (отрицательны), значения функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа а (f(x) →а) и пишут

18. Справедлива теорема Доказать, что функция при х→∞ имеет предел. существует у → 0 ← x

19. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. • Функция α=α(х) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке х0 (или при х→х0), если Аналогично определяются бесконечно малые функции при х→х0- , х→х0+, х→-∞,х→+∞, х→∞. Бесконечно малые функции обладают такими же свойствами, что и бесконечно малая переменная величина.

20. 2) функция • есть бесконечно малая при х→∞, т.к Пример: • 1)функция есть бесконечно малая при х→1, т.к g(x) y 0 0 x 1 x

21. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке х=х0(или при х→х0), если Аналогично определяются бесконечно большие функции при х→х0- , х→х0+, х→-∞,х→+∞, х→∞. Если f(x) стремится к бесконечности при х→х0 и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут

22. Замечание.Функция y=f(x) при х→х0 или при х→∞ может не стремиться к конечному пределу или к бесконечности. • Пример.Функция y=sinx, определенная на всем числовом интервале, при х→∞ не стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности.

23. Основные теоремы о пределах

24. Основные теоремы о пределах 7) Пусть функции f(x), g(x)и h(x) определены в некоторой окрестности точки х0, за исключением может быть самой точки х0, и функции f(x)иh(x)имеют в точке х0 предел, равный а, т.е. Пусть, кроме того, выполняется неравенство: Тогда

25. I.Вычисление пределов функций. 1) Вычислить

26. убедимся, что предел знаменателя отличен от 0: 2) Вычислить тогда применима теорема о пределе дроби:

27. II. Вычисление пределов функций.Предел знаменателя равен 0. 3)Вычислить ⇒ (3х-12) есть бесконечно малая величина, а обратная ей величина есть бесконечнобольшая.

28. 4)Вычислить неопределённость

29. 5)Вычислить

30. III. Вычисление пределов функций.Предел функции при х→∞. 6)Вычислить (4х+3) при х→∞есть бесконечно большая величина, а обратная ей величина есть бесконечномалая.

31. 7)Вычислить

32. Для раскрытия неопределенности вида числитель и знаменатель дроби надо делить на старшую степень х.