Trabajo y Energía

1. Trabajo y Energía Autores Ignacio Cruz EncinasMario Enrique Álvarez RamosRoberto Pedro Duarte ZamoranoEzequiel Rodríguez Jáuregui Rogelio Gámez Corrales UNIVERSIDAD DE SONORA Departamento de Física

2. Contenido • Introducción • Trabajo y Energía debido a una Fuerza Constante • Aplicada en la dirección de movimiento. • Aplicada en dirección diferente a la del movimiento. • Producto Escalar de Vectores (repaso) • Trabajo y Energía debido a una Fuerza Variable • Aplicada en la dirección de movimiento. • Aplicada en dirección diferente a la del movimiento.

3. Introducción • En los capítulos anteriores, se resolvieron problemas donde se involucrabanFuerzas constantesutilizando la segunda ley de Newton: F = m a • DondeFviene expresada en función de las propiedades del cuerpo y del medio ambiente que lo rodea, por medio de la ley de fuerzas ( o ley de la naturaleza ) respectiva que rige el movimiento de un cuerpo. Bajo ciertas condiciones iniciales, pudimos conocer la aceleraciónadel cuerpo y al sustituirla en las ecuaciones de movimiento o Ecuaciones de cinemática (exclusivas para aceleración constante) x = x0 + v0 t + ½ a t2 x = x0 + ½ ( v + v0 ) t v = v0 + a t v2 - v02 = 2 a ( x – x0 )

4. Introducción Ecuaciones que determinan la posición como una función del tiempo x(t)así como su velocidad v(t), con lo cual queda resuelta la primera parte del problema fundamental de la mecánica clásica. Es una primera parteya que únicamente se consideró el caso de una Fuerza constante y en consecuencia una aceleración dada por la segunda ley de Newton: a = F∕ m Si se analiza la ecuación anterior, la aceleración del cuerpo depende de la Fuerza y de la masa. La segunda parte del problema de la mecánica clásica es cuando laFuerza que actúa sobre el cuerpo es variable, en cuyo caso, la aceleración también lo será y consecuentemente, no se pueden aplicar las ecuaciones de movimiento de cinemática anteriores ya que éstas son exclusivamente para aceleración constante. En este capítulo se aborda el método (integración) para resolver este tipo de problemas.

5. Introducción La tercera parte del problema es cuando se consideran sistemas de masa variable como en el caso de los cohetes que al ir quemando combustible su masa varía. Sin embargo, este tipo de problemas corresponde a un segundo curso de mecánica. Dentro de la primera parte, aunque podemos conocer la posición y velocidad de la partícula como una función del tiempo sin necesidad de abordarlos desde el punto de vista del Trabajo y Energía, para fines didácticos y facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados como el de fuerzas variables, es necesario definir estos conceptos y poder llegar al teorema del trabajo y la energía, en el cual no es necesario conocer la aceleración de la partícula aunque indirectamente se aplique la segunda ley de Newton. En el capítulo anterior vimos que el concepto de fuerza lo relacionábamos con jalar o empujar un objeto y que para fines científicos requeríamos de una definición mas formal. De la misma forma, el concepto que tenemos de la palabra trabajo, lo relacionamos con cualquier actividad que requiere de un esfuerzo muscular o intelectual, así decimos que vamos al trabajo, que al levantar y sostener un objeto estamos realizando trabajo, que se requiere de un trabajo intelectual para entender las notas de clase, etc.

6. Trabajo En física, el científico requiere enunciar con exactitud lo que significa la palabra trabajo, restringiéndola a los casos en los cuales interviene la aplicación de una fuerzasobre un cuerpo y un desplazamiento. Sin embargo, dentro de dicha restricción existen diferentes variantes ya que la fuerza aplicada sobre un cuerpo puede ser: • Constante • Variable En cualquiera de los dos casos el desplazamiento puede ocurrir • En una dimensión • En dos dimensione. • En tres dimensiones Adicionalmente, la fuerza aplicada puede estar en: • En la dirección de movimiento • En dirección diferente a la del movimiento. Así como en cinemática donde al inicio se abordan los casos mas sencillos y después se van complicando a medida que se avanza en el curso, para el caso del trabajo y la energía se procede de la misma forma, abordando el caso mas sencillo que es:

7. P P P x +(m) x x0 xf │ ∆x │= │x – x0 │= d Trabajo realizado por una Fuerza Constante Consideremos un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal áspera, al cual se le aplica unafuerzahorizontalconstante ( P ) de tal manera que mueve al cuerpo en la direcciónpositiva, desde la posición inicial x0hasta la posición final xf En una primera aproximación, definimos el trabajo (W) realizado por la fuerzaPaplicada sobre el cuerpo como: W= P ∆x = Pd la unidad de trabajo es elNewton-metrodenominadoJoule. ( 1 N ) ( 1 m ) = 1 Joule El trabajo realizado por esta fuerza tiene un valor positivo ya que tantoPcomo∆x apuntan en la dirección positiva.

8. fk P W Trabajo realizado por una Fuerza Constante Sobre un cuerpo pueden estar actuando varias fuerzas, en el siguiente diagrama se presentan varias fuerzas que pueden estar actuando sobre el cuerpo. En el caso anterior, encontramos que la fuerza P realiza un trabajo positivo, sin embargo, se pueden dar las condiciones para que el trabajo sea negativo o nulo. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento cinético que la superficie áspera del piso ejerce sobre el cuerpo se opone al movimiento resultando un trabajo negativo, ya que la dirección de la fuerza (fk) y el desplazamiento son opuestos. b) a) N fk P W

9. fk a) P N W Trabajo realizado por una Fuerza Constante Cuando actúan varias fuerzas sobre el cuerpo, el trabajo realizado por cada una de ellas se determina a partir de la definición de trabajo dada anteriormente, y el trabajo netorealizado por las fuerzas sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas, calculados individualmente, esto es: WTotal = WP + Wmg + WN + Wfk En el diagrama de cuerpo libre a), al aplicar la segunda ley de Newton encontramos una fuerza resultante o netaFpositiva y constante, motivo por el cual el trabajo neto sobre el cuerpo es positivo. El efecto de estetrabajo positivo, en virtud de la segunda ley de Newton, se manifiesta en una aumento de la velocidad del cuerpo.

10. N fk P W Trabajo realizado por una Fuerza Constante En el diagrama de cuerpo libre b), reducimos la fuerza aplicada de tal manera que su magnitud fuera igual a la fuerza de rozamiento, de esta manera el cuerpo va a continuar moviéndose con velocidad constante por lo que la aceleración del cuerpo será ceroy en consecuencia la fuerza neta o resultante, luego entonces, el trabajo neto efectuado por las fuerzas sobre el cuerpo es nulo. b)

11. │∆x│= d v1 v0 = 0 x0 = 0 x1 h mg Trabajo realizado por una Fuerza Constante Para encontrar la relación entre el trabajo y los cambios de velocidad, analicemos un movimiento que nos es familiar en el laboratorio. El ejemplo es el siguiente:Un móvil se desplaza sobre un riel de aire sin fricción bajo la acción de una fuerza constante transmitida por medio de la tensión de un hilo que pasa por una polea sin fricción, en cuyo extremo se encuentra suspendido un peso a una altura h, tal como se muestra en la siguiente figura.

12. Trabajo realizado por una Fuerza Constante Al soltar el peso, el móvil inicia su movimiento (v0= 0) a partir del origen (x0 = 0), y la posición (x1) del móvil al recorrer una distancia d vendrá dada por la ecuación: y el trabajo realizado es: W = T x donde T es la tensión del hilo, siendo la única fuerza que actúa sobre el cuerpo (en el eje x) y en consecuencia la Fuerza neta, la cual viene expresada de acuerdo con la segunda ley de Newton como: T = m a Sustituyendo los valores de T y x1 en Wtenemos que:

13. v = constante v0 = 0 v1 v1= v2 x0 = 0 x1 x2 Trabajo y Energía para Fuerza constante Al adquirir esta velocidad (v1), el móvil se encuentra en la posición x1 y el peso ha chocado con el suelo por lo cual la fuerza representada por la tensión del hilo desaparece. Como no existe rozamiento, el móvil continuará moviéndose con esta misma velocidad Sin embargo, el móvil ha adquirido una propiedad que no poseía cuando se encontraba en reposo, esta propiedad consiste en la capacidad que tiene ahora de realizar trabajo sobre otro objetoque interaccione con él. Para comprobar lo anterior hagamos lo siguiente: En la posición x2 coloquemos un clavo apuntalado horizontalmente en un bloque de algún material (frigolit) que permita al clavo penetrar en él y que a la vez evite que el móvil retroceda en el choque.

14. v = variable v = constante v3 = 0 v0 = 0 v1 v1= v2 x0 = 0 x1 x3 x2 Trabajo y Energía para Fuerza constante De ésta forma, el móvil que tiene una velocidad v1 = v2ejercerá una fuerzaFconstante sobre el clavo, la cual se suspenderá cuando su velocidad v3 sea cero. La aceleración (desaceleración) del móvil que en magnitud es la misma que experimenta el clavo se puede determinar a partir de la siguiente ecuación de movimiento: donde v2 es la velocidad del móvil al momento del impacto e igual a v1 y v3 = 0 por lo que:

15. Trabajo y Energía para Fuerza constante Por lo que la fuerza que ejerce el clavo sobre el móvil (Fc/m) de acuerdo a la segunda ley es: Por la tercera ley de Newton, esta fuerza debe de ser de igual magnitud pero en sentido contrario a la que ejerce el móvil sobre el clavo. El trabajo realizado por el móvil sobre el clavo al clavarlo una distancia x3 - x2 es:

16. Trabajo y Energía para Fuerza constante Luego entonces se puede afirmar lo siguiente: El trabajo realizado por una fuerza neta sobre el móvil es el mismo trabajo que éste puede realizar sobre otro objeto que interaccione con él. A la propiedad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo se le denomina Energía, en este caso, el trabajo se relaciona con la velocidad del móvil, recibiendo el nombre de Energía Cinética. La palabra cinética proviene del griego kinematics que significa movimiento, utilizándose el símbolo Kpara representarla y su valor es igual al trabajo que puede efectuar un cuerpo en movimiento hasta quedar en reposo.

17. v = variable v = constante v1= v2 v3 = 0 v0 = 0 v1 x0 = 0 x1 x2 x3 Trabajo y Energía para Fuerza constante Para terminar el análisis de esta sección, supongamos que de la posición x2 retiramos el bloque con el clavo y a partir de esta posición cancelamos todos los orificios por donde sale el aire, en esta nueva situación, el móvil ya no estará "suspendido", por lo que las superficies entrarán en contacto generando una nueva fuerza: la fuerza de rozamiento cinético. Esta fuerza será la única que actúe sobre el móvil y por lo tanto la fuerza neta que hará que se detenga a una determinada distancia (x3-x2) El trabajo realizado por esta fuerza será:

18. Trabajo y Energía para Fuerza constante donde la fuerza fkviene dada por la segunda ley de Newton: fk = m a sustituyendo tenemos que: W = m a (∆x) donde la aceleración se encuentra a partir de la ecuación: sustituyendo tenemos el trabajo realizado por la fuerza neta, en éste caso la fuerza de fricción:

19. Teorema del Trabajo y la Energía siendo K la energía cinética final del móvil y K0su energía cinética inicial. Luego entonces: relación que se conoce con el nombre deTeorema del Trabajo y la Energía, cuyo enunciado es: El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante es igual al cambio de su energía cinética. Como el valor de la velocidad está elevada al cuadrado, la energía cinética siempre es positiva, pero en cambio, la diferencia de energías puede serpositiva, negativa o nula. En el caso anterior, como v < v0encontramos una ∆K < 0, es decir el trabajo realizado por la fuerza neta sobre el móvil es negativo y en virtud de la tercera ley de Newton, el trabajo efectuado sobre el móvil es el negativo del trabajo realizado por el móvil sobre el agente que produjo esa fuerza, por lo anterior decimos que: la energía cinética de un cuerpo disminuye en la misma proporción en que dicho cuerpo efectúa trabajo.

20.    Trabajo y Energía para Fuerza constante En la sección anterior se definió el trabajo hecho por una fuerza constante, la cual estaba aplicada en la dirección de movimiento (entendiéndose por dirección el eje x), en algunos casos el sentido de la fuerza era el mismo y en otros contrario, como por ejemplo la fuerza de rozamiento. Sin embargo, esta fuerza constante aplicada puede estar en una dirección diferente a la del movimiento, tal como se muestra en la siguiente figura, en donde la fuerza forma un ángulo con respecto a la dirección de movimiento. P P P x +(m) x x0 xf │ ∆x │= │x – x0 │= d

21. Trabajo y Energía para Fuerza constante En este caso, se define el trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo como: El producto de la componente de la fuerza en la dirección de movimiento por la distancia que recorre el cuerpo a lo largo de dicha dirección. De la figura observamos que dicha componente es: Px = │ P │ cos  luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza P para llevar al cuerpo de la posición inicial x0 hasta la posición finalxes: W = (│P│cos  ) │ Δx │ W = (│P│cos  ) (│ x – x0 │) W = Pcos  (d) W = P d cos  donde d es la distancia recorrida por el cuerpo y  es el ángulo que forma la fuerza con respecto a la dirección de movimiento

22. Trabajo y Energía para Fuerza constante Según la ecuación anterior, el trabajo realizado por la fuerza aplicada, al igual que en la sección anterior, puede serpositivo, negativo onulo, esto dependerá del ángulo que forme la fuerza con respecto a la dirección del movimiento ( el ángulo se mide a partir de la dirección de movimiento y en sentido contrario a las manecillas del reloj ), de tal forma que si: 00 <  < 900 el trabajo W > 0 900 <  < 1800 el trabajo W < 0 1800 <  < 2700 el trabajo W < 0 2700 <  < 3600 el trabajo W > 0 Para ejemplificar lo anterior, supongamos que una persona se pone a jugar con una cuerda en cuyo extremo se encuentra atado un cuerpo de masa m. En todos los casos que se presentan a continuación, la persona realiza un esfuerzo físico que puede manifestarse en cansancio.

23. Trabajo y Energía para Fuerza constante • La persona levanta verticalmente al cuerpo hasta una altura h, de tal forma que el movimiento es tan lento que no se pueden apreciar los cambios de velocidad. Con esta condición, la fuerza aplicada es constante, la aceleración resultante será cero y en consecuencia también la fuerza neta. La fuerza aplicada por la persona sobre el cuerpo es igual a la tensión de la cuerda. A continuación calculamos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que intervienen. • El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W1 = T h cos  Donde T, por la segunda ley de Newton es T = mg y  = 00 por lo que: W1 = + m g h • El trabajo realizado por la Tierra (peso): W2 = w h cos  Donde w, es el peso del cuerpo y  = 1800 por lo que: W2 = - m g h El trabajo total efectuado sobre el cuerpo para levantarlo verticalmente, es igual a la suma de los trabajos individuales calculados en los incisos anteriores, esto es: W = W1 + W2 = mgh – mgh = 0

24. Trabajo y Energía para Fuerza constante • Posteriormente, la persona sostiene al cuerpo en esa posición a una altura h El trabajo realizado por las fuerzas del punto No. 1 es cero debido a que no existe desplazamiento. • La persona se mueve hacia la derecha una cierta distancia d • El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W3 = m g d cos  con  = 900 W3 = 0 • El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la tierra sobre el cuerpo es: W4 = m g d cos  con  = 2700 W4 = 0 El trabajo total realizado por las fuerzas para desplazar el cuerpo una distancia d hacia la derecha es: W = W3 + W4 = 0

25. Trabajo y Energía para Fuerza constante • La persona baja el cuerpo desde la altura h hasta el suelo, en las mismas condiciones en que lo subió (v = constante). • El trabajo efectuado por la fuerza aplicada es: W5 = m g h cos  con  = 2700 W5 = - mgh • El trabajo efectuado por la Tierra es: W6 = m g h cos  con  = 00 W5 = + mgh El trabajo total realizado por las fuerzas al bajar el cuerpo una altura h es: W = W5 + W6 = 0

26. Trabajo y Energía para Fuerza constante • Una vez colocado en el suelo, la persona tira de él en forma horizontal, arrastrándolo con velocidad constante hasta llevarlo nuevamente a su posición inicial. • El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W7 = Fa d cos  con  = 00 W7 = Fa d • El trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento cinético es: W8 = fk d cos  con  = 2700 y puesto que se mueve con velocidad constante, por la segunda ley de Newton, la fuerza aplicada es igual a la fuerza de rozamiento cinético ( fk = Fa) W8 = - Fa d El trabajo total realizado por las fuerzas al desplazar al cuerpo sobre el suelo una distanciad es: W = W7 + W8 = 0

27. Trabajo y Energía para Fuerza constante Si deseamos conocer el trabajo total realizado sobre el cuerpo en todo el recorrido, desde que se levantó hasta que regresó a su posición original al ser arrastrado por el suelo, hacemos: WT = W1 + W2 + W3 + W4 + W5 + W6 + W7 + W8 WT = +mgh – mgh +0 + 0 –mgh + Fa d - Fa d = 0 • En el punto 1, se encontró que el trabajo realizado por una fuerza constante para subir el cuerpo hasta una altura era mgh, es decir, dependía del peso del cuerpo y de la altura. Calcularemos ahora el trabajo que se realiza cuando el cuerpo es subido a esa misma altura h pero bajo las siguientes condiciones: • es empujado por una fuerza constante, • es subido con velocidad constante, • el plano inclinado es liso (sin fricción), • el plano inclinado es de diferentes longitudes. Analicemos el caso mediante la siguiente figura:

28. P P h  N P Wx Wy  mg Trabajo y Energía para Fuerza constante La fuerza necesaria para subirlo con velocidad constante se encuentra aplicando la segunda ley de Newton: SFx = max (ax = 0 es subido con v = constante) P – wx = 0 P – mg sen  = 0 P = mg sen  La distancia que recorre es la longitud del plano inclinado: d = h ∕ sen El trabajo realizado por la fuerza P es: WP = Pd cos  (con  = 00 ; misma dirección) WP = (mg sen  ) (h ∕ sen ) WP = mg h

29. P h   Trabajo y Energía para Fuerza constante Como se puede apreciar, la fuerza aplicada depende del peso y del ángulo de inclinación del plano inclinado. P = mg sen  si se desea subir hasta una altura h con el mínimo esfuerzo, el ángulo debe ser pequeño, lo que trae como consecuencia que la distancia (longitud del plano) se incremente. d = h ∕ sen Sin embargo, el trabajo realizado es independiente del ángulo de inclinación del plano. WP = mg h depende exclusivamente del peso y de la altura h del plano. P

30. Trabajo y Energía para Fuerza constante • Analicemos un último caso: La persona hace girar el cuerpo sobre su cabeza, describiendo una trayectoria circular con movimiento uniforme Cuando se analizó el movimiento circular, se vio que el desplazamiento es tangente a la trayectoria y que la fuerza centrípeta es radial y dirigida hacia el centro de rotación por lo que la fuerza y el desplazamiento forman un ángulo de 900, por lo que el trabajo realizado es: W = 0

31. B B │A│cos Proyección deA sobre B │B│cos  Proyección deBsobreA  A  A Producto Escalar (repaso) Aunque en la parte relativa a vectores se abordó éste tema, nuevamente se retoma para redefinir el concepto de trabajo. Sean A y Bdos vectores que forman un ángulo entre ellos. Se define el producto escalar como el producto de la magnitud de uno de ellos (digamos A) por la proyección de B sobre A. o viceversa, es decir , la magnitud de B por la proyección de A sobre B, tal como se muestra en la figura adjunta a la anterior.

32. Producto Escalar (repaso) Del producto punto entre vectores unitarios (perpendiculares entre sí) tenemos que: Lo cual nos muestra que el producto punto entre dos vectores es un escalar debido a que tenemos la multiplicación de la magnitud de un vector por la magnitud del otro lo cual nos da un escalar, que se multiplica por el coseno del ángulo que se forma entre ellos, el cual también es un escalar adimensional. Toda vez que tenemos definido el producto punto entre vectores, tenemos que el trabajo lo podemos definir como: W = F●Δx =│F│cos  │Δx│= F d cos  ya que la magnitud del desplazamiento es la distancia recorrida (d =│Δx│) y │F│cos es la proyección del vector fuerza sobre el vector desplazamiento. Por ello: W = F●Δx

33. P P P x +(m) x x0 xf │ ∆x │= │x – x0 │= d Trabajo y Energía para Fuerza constante (método gráfico) Antes de abordar el siguiente tema, para fuerzas variables, retomemos nuevamente el caso donde la fuerza es constante y hagamos un análisis gráfico de la situación mostrada a continuación. Si graficamos la fuerza constante aplicada contra desplazamiento tendremos la siguiente gráfica: F (Newton) P ctte. x0 xf x (m)

34. Trabajo y Energía para Fuerza constante (método gráfico) En donde se ha sombreado toda la parte que se encuentra bajo la recta que indica a la fuerza Pconstante, formándose un rectángulo de altura Py base d. Como vimos anteriormente, el trabajo realizado por la fuerza constante es: W = P•Δx=│P││Δx│cos  =P d cos 00 = P d El producto de Ppor dno es otra cosa mas que la altura del rectángulo multiplicado por su base, es decir, el área del rectángulo. Luego entonces: A = P d = W El trabajo realizado por la fuerzaP es igual al área del rectángulo que se forma bajo la recta.

35. Trabajo y Energía para Fuerza variable Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es constante. El caso más sencillo es cuando la fuerza está aplicada en la dirección de movimiento y que ésta depende de la posición del cuerpo. Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado mediante una cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de ejercer una fuerza F1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una fuerza F2mayor. En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.

36. Trabajo y Energía para Fuerza variable Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es constante. El caso más sencillo es cuando la fuerza está aplicada en la dirección de movimiento y que ésta depende de la posición del cuerpo. Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado mediante una cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de ejercer una fuerza F1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una fuerza F2mayor. En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.

37. F0 = 0 x0 = 0 F variable y aplicada en la dirección de movimiento F1 x1 x0 F2 x0 x1 x2 Trabajo y Energía para Fuerza variable (aplicada en dirección de movimiento) Si medimos la fuerza con un dinamómetro y la posición del cuerpo para esa fuerza aplicada, estaremos en posibilidad de realizar una tabulación de Fuerza contra posición (F vs.x) y graficar como se muestra a continuación.

38. F (Newton) F5 F4 F3 h = F5 – F0 F2 F1 x (m) x4 x5 x2 x3 x1 d = x5 – x0 Trabajo y Energía para Fuerza variable Al igual que para el caso de una fuerza constante, el trabajo realizado por una fuerza variable también es igual al área bajo la recta, en este caso, un triángulo rectángulo de altura F5 - F0 y base x5 - x0, siendo ésta:

39. Trabajo y Energía para Fuerza variable En los dos casos anteriores, calcular el trabajo realizado por las fuerzas mediante el método del área bajo la curva fue sencillo debido a que las figuras geométricas que se forman son conocidas. Sin embargo, existen fuerzas variables que dependen de la posición y cuya gráfica de fuerza contra posición son complejas. En estos casos, el problema se complica y se requiere de un método mas sofisticado para calcular el trabajo realizado por la fuerza. Dicho método es el método matemático de la integración. Para llegar a él, supongamos que un cuerpo se mueve en la dirección del eje x de la posición x1hasta la posición x2bajo la acción de una fuerza variable que depende de la posición y que al medirla se obtiene la siguiente gráfica.

40. F(x) Ff Fi xi x +(m) xf Trabajo y Energía para Fuerza variable

41. Trabajo y Energía para Fuerza variable F(x) Dividamos el desplazamiento total de xihasta xfen pequeños desplazamientos iguales de anchuraΔx Ff F2 F4 F3 Fi F4 F3 F2 F1 xi x +(m) xf Δx Δx Δx Δx

42. Trabajo y Energía para Fuerza variable Como se puede observar, se forman rectángulos de altura Fvariable y anchura Δx constante. Consideremos el primer desplazamiento de x1a x2 (o bien dex1a x1+Δx), en este intervalo, la fuerza puede considerarse aproximadamente constante, teniendo un valor F1. El trabajo realizado por dicha fuerza para desplazar al cuerpo un Δx es: ΔW1 = F1 Δx (área del primer rectángulo) En el siguiente intervalo de x1a x2(o bien dex1a x1+ Δx ), el trabajo realizado es: ΔW2 = F2 Δx (área del segundo rectángulo) De esta forma se sigue calculando el trabajo para cada desplazamiento (áreas de los rectángulos). El trabajo total aproximado será la suma de todos los incrementos de trabajo calculados individualmente, lo cual expresado en notación matemática es:

43. Trabajo y Energía para Fuerza variable Se dice que es un trabajo aproximado debido a que dentro de cada intervalo la fuerza varía. Si tomamos el valor de F1 en la posición x1, observaremos que para el primer intervalo se forma un rectángulo de altura F1 y anchura Δx, además de una figura geométrica por encima. Para el siguiente intervalo, se forma un rectángulo de altura F2 y también de anchura Δx, así como una segunda figura geométrica parecida a un triángulo. En los siguientes dos intervalos sucede algo parecido. Con el procedimiento anterior, se puede asegurar que lo que estamos calculando son las áreas de los rectángulos de altura Fiy anchura Δx, quedándonos por encima de ellos las áreas de las figuras geométricas sin calcular, las cuales representan la diferencia entre el trabajo aproximado y el trabajo real efectuado por las fuerzas.

44. F(x) Ff F2 F4 F3 Fi xi x +(m) xf Δx Δx Δx Δx Trabajo y Energía para Fuerza variable Área excedente Área faltante

45. Trabajo y Energía para Fuerza variable Para minimizar los faltantes y excedentes, procedemos a aumentar el número de intervalos haciendo mas pequeños los Δx, con lo cual obtendremos un mayor número de figuras geométricas por encima y debajo de los rectángulos pero cuyas áreas son mucho menores que las anteriores. Ff F2 F4 F3 Fi xi x +(m) xf Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Área excedente Área faltante

46. Trabajo y Energía para Fuerza variable Seguimos aumentando el número de intervalos haciendo mas pequeños los Δx. Ff F4 F3 F2 Fi xi x +(m) xf Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Δx Área excedente Área faltante

47. Trabajo y Energía para Fuerza variable Seguimos aumentando el número de intervalos haciendo mas pequeños los Δx. Ff F4 F3 F2 Fi xi x +(m) xf Δx Área excedente Área faltante

48. Trabajo y Energía para Fuerza variable Sin embargo aún seguimos teniendo pequeñas áreas faltantes y excedentes, por lo que se procede nuevamente a tomar Δx cada vez más pequeños. Si queremos aproximarnos aún mas al trabajo real, debemos hacer que el número de rectángulos tienda a infinito y que Δx → 0 por lo que para cada rectángulo tendremos valores mas representativos de la fuerza. De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza será: Se define la integral definida de F con respecto a x como:

49. Trabajo y Energía para Fuerza variable Cuyo significado es el siguiente: En el límite cuando cada rectángulo se aproxima a cero, el área [F(x)Δx ] de cada rectángulo se aproxima al valor real del área situada debajo de la curva F(x) entre los límites x1 y xn, lo cual nos permite decir que El valor de la integral F(x) entre los limites x1y x2es igual al área situada debajo de la curva descrita por F(x) entre esos límites. Por lo tanto, el trabajo efectuado por la fuerza F(x)que mueve al cuerpo de la posición xi hasta la posición xf es: o en forma vectorial

50. Trabajo y Energía para Fuerza variable De igual forma que encontramos la relación entre el trabajo realizado por una fuerza constante y la velocidad del cuerpo (energía cinética), así mismo lo hacemos para una fuerza variable que dependa de la posición. En aquella parte hicimos uso de las ecuaciones de cinemática ya que la aceleración era constante, pero ahora, no se pueden usar debido a que la fuerza aplicada es variable y en consecuencia también lo es la aceleración. Para salvar esta dificultad, realizamos un truco matemático (multiplicar y dividir por la misma cantidad) expresando la aceleración de la siguiente forma: