Yöneylem Araştırması ve Endüstri Mühendisliği 30. Ulusal Kongresi

1. Yöneylem Araştırması ve Endüstri Mühendisliği30. Ulusal Kongresi En İyi Kararın Zaman Cinsinden Değerinin Modellenmesi Bekir Turgut İşlier, Aybek Korugan, Ali Tamer Ünal 1 Temmuz 2010, Sabancı Üniversitesi

2. En İyi Kararın Zaman Cinsinden Değeri • En iyi karar değerlidir. • Fakat zaman da değerlidir. • En iyi kararı bulmak için ne kadar zaman harcamaya değer? • İki ilkenin karşılaştırılması: • Çizelgelemeye harcanan zamandan tasarruf etmek için ilk gelen önce ilkesiyle çalışmak. • Zaman harcama pahasına en iyi çizelgeyi aramak.

3. Sistem • Çizelgeleme ile zaman arasındaki ödünleşimi incelemek için basit bir sistem tasarlandı. • Sistem dört parçadan oluşmaktadır. Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci

4. Birinci Kuyruk • Sisteme varışlar bir Poisson dağılımı takip eder. • Eğer çizelgeleyici meşgul ise sisteme varan ürünler bu kuyruğa yerleştirilir. • Ürünler, çizelgeleyici müsait hale gelinceye kadar burada bekler. Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci

5. Birinci Kuyruk (gösterim) Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci 2 1 0 2 2 2 X X X X X X

6. Birinci Kuyruk (gösterim) Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci 0 2 2 0 X X X X

7. Çizelgeleyici • Çizelgeleyicinin görevi, ürünlerin hangi sırada işleneceğine karar vermektir. • Çizelgeleme süresi üstel bir rassal değişkendir. • Çizelgeleme süresi, ürün sayısından bağımsızdır. • Çizelgeleme sırasında, önceden çizelgelenmiş olup da işlenmek için bekleyen ürünler de hesaba katılır. Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci

8. İkinci Kuyruk • Eğer işlemci meşgul ise, çizelgelenen ürünler buraya yerleştirilir. • İkinci kuyruktaki ürünler de çizelgeleme sırasında hesaba katılmaktadır. Ancak, işlemci işini bitirdiğinde, buradan bir ürün alma hakkına sahiptir. Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci

9. İkinci kuyruk (gösterim) Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci 0 2 2 3 2 0 3 0 3 1 1 1

10. İşlemci • Ürünün asıl olarak işlendiği yer işlemcidir. • Aynı anda tek bir ürün işleyebilir. • İşlem süresi üstel bir rassal değişkendir. Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci

11. İşlemci (gösterim) Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci 2 2 2 3 2 0 0 0 2 0 1 1

12. İşlemci (gösterim) Birinci Kuyruk İkinci Kuyruk Çizelgeleyici İşlemci 0 0 0 2 2 2 1 2 2 1 0 1

13. Birinci Durum • İlk gelen önce. • Çizelgeleme için ayrılan süre az. • İşlemcinin ortalama işlem süresi sabit.

14. İkinci Durum • Çizelgeleyici, işlenecek ürünleri en iyi şekilde sıralar. =>Çizelgeleme süresi uzundur. • Çizelgelenmiş olan ürün sayısı arttıkça işlemcinin ortalama hızı da artar. • (x2+p)α µ ikinci durum için işlem hızıdır. • x2+p: Çizelgelenmiş olan ürün sayısı, • µ: Baz işlem hızı, • α: Kararın etkisi( 0≤ α ≤1 ).

15. Modelleme ve Çözüm • Sistem, ayrık durumlu, sürekli zamanlı bir Markov zinciri olarak modellenmiştir. • Sistem durumu (x1, s, x2, p) ile gösterilmektedir. • x1 :Birinci kuyruktaki ürün sayısı, • s : Çizelgeleyicideki ürün sayısı, • x2 : İkinci kuyruktaki ürün sayısı, • p : İşlemcideki ürün sayısı. • Performans ölçütü olarak, sistemde harcanan ortalama süre kullanılmıştır. • Sistem kapasitesi sınırlı olduğundan, etkili varış hızı esas alınmıştır. • Sistemde harcanan ortalama sürenin bulunması için, denge denklemleri kullanılarak kararlı durum olasılıkları hesaplanmıştır.

16. İki Durumun Karşılaştırılması • İki durumun göreli performanslarının, kapasite, varış hızı ve karar kalitesine göre nasıl değiştiği incelenmiştir. • Kapasite; birinci kuyruk, çizelgeleyici ve ikinci kuyruğa yerleştirilebilecek toplam ürün sayısı olarak tanımlanmıştır. • Kararın etkisi, çizelgelemenin işlemi ne kadar hızlandırdığının bir ölçüsüdür.

17. İki Durumun Karşılaştırılması (devam) • Belirli kapasite ve varış hızı için, birinci durumda sistemde harcanan ortalama süre bulunur. • Daha sonra, ikinci durumda aynı parametreler ve belirli bir karar etkisi değeri ile aynı ortalama süreyi veren karar hızı bulunur. Bu işlem, farklı karar etkisi değerleri için tekrarlanır. • Karşılaştırmada d1 / d2oranı temel alınır. (d1ve d2, birinci ve ikinci durumlar için karar hızlarıdır.)

18. Sayısal Analiz(1) • Varış hızı arttıkça çizelgelemeden sağlanan fayda azalarak artmaktadır.

19. Sayısal Analiz(2) • Kapasite arttıkça çizelgelemeden sağlanan fayda doğrusal olarak artmaktadır.

20. Sayısal Analiz(3) • Kararın etkisi azaldıkça, çizelgelemeden sağlanan fayda azalır. • Dolayısıyla, çizelgelemeye ayrılabilecek zaman da azalır.

21. Sonuçlar • En iyi karar ile bu kararı bulmak için harcanan süre arasında önemli bir ödünleşim vardır. • En iyi kararın hak ettiği süre, sistemdeki ürün sayısına göre değişir. • Sistemdeki ürün sayısı çok olduğunda, en iyi kararı bulmak için harcanabilecek süre de yüksek olur. • Bir karar, en iyi karardan ne kadar uzak ise faydası, dolayısıyla hak ettiği süre de o kadar düşük olur.

22. İlginiz için teşekkürler…