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Computación Científica

Computación Científica. Algebra lineal numérica Profesora : Dra. Nélida Beatriz Brignole. Matriz. Es un arreglo de m x n números Dimensión de A: m x n m: número de filas n: número de columnas Casos particulares: m=n => A es cuadrada (dim A = orden A)

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Presentation Transcript

  1. Computación Científica Algebra lineal numérica Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole

  2. Matriz Es un arreglo de m x n números • Dimensión de A: m x n • m: número de filas • n: número de columnas • Casos particulares: • m=n => A es cuadrada (dim A = orden A) • n=1 => A es un vector (Notación: a)

  3. Vectores

  4. Traspuesta Dada la traspuesta es donde Nótese: la traspuesta de un vector columna es un vector fila

  5. Ejemplo

  6. Identidad La identidad es donde Nótese: AI=IA=A

  7. Ejemplo

  8. Inversa • Dada la inversa de ella es donde Nótese: NO TODAS las matrices admiten inversa

  9. Ejemplo

  10. MATRICES ESPECIALES Problemas Generales

  11. Matrices Triangulares

  12. Problemas lineales más comunes • Resolución de sistemas lineales • Resolución problema de autovalores

  13. Matriz Diagonal

  14. Matriz Triangular Superior

  15. Matriz Triangular Inferior

  16. Nomenclatura

  17. Ejemplos

  18. Matrices Unitarias y Ortogonales

  19. Matriz Definida Positiva

  20. Particionamiento de matrices

  21. Ejemplo

  22. Permutaciones

  23. Matrices de permutación • Es cualquier matriz que resulta de reordenar (permutar) las filas de I • PA permuta filas de A • AP permuta columnas de A

  24. Matrices de permutación

  25. Propiedades

  26. Propiedad • Si P es matriz de permutación, entonces • P tiene inversa • P es ortogonal

  27. Demostración

  28. Operaciones

  29. Igualdad A=B si tienen igual dimensión y

  30. Suma Dadas dimA=dimB=dimC C=A+B =>

  31. Producto Dadas el producto es C=AB tal que:

  32. Ejemplo

  33. Producto por un escalar Dados el producto es

  34. Ejemplo

  35. Propiedades del producto Dadas: • No conmutativa • Asociativa A(BC)=(AB)C • Distributiva A(B+C)=AB+AC

  36. Demostración: cqd.

  37. Demostración: cqd.

  38. Demostración: cqd.

  39. FIN PRIMERA PARTE

  40. Autovalores

  41. Espectro de A

  42. Radio espectral

  43. Radio Espectral de la Inversa

  44. Lema 1 Sea A cuadrada, entonces para cualquier norma consistente y subordinada a una norma de vectores :

  45. Demostración

  46. Matriz definida positiva

  47. Teorema 2 Si A es simétrica, entonces todos sus autovalores son reales

  48. Teorema 3 Si A es simétrica y definida positiva, entonces todos sus autovalores son reales y positivos

  49. Demostracion

  50. Definición

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