Mise au point vidéo projecteur .

1. Mise au point vidéo projecteur. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

2. LES DÉMONSTRATIONS DE L’AXIOME D’EUCLIDE LA THÉORIE DES PARALLÈLES AXIOME DIT « D’EUCLIDE » Par un point donné (extérieur à une droite), on peut mener une et une seule parallèle à cette droite. Formulation de Playfair, XVIIIe siècle AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES Jacques VERDIER, Besançon 2007

3. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Les éléments d’Euclide : 10 « livres », débutant par 35 définitions et 5 « demandes » (ou postulats). Les 4 premiers livres concernent la géométrie. La 35e définition est celle des parallèles : Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre. Le 5e postulat est le suivant : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

4. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

5. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. Formulation assez compliquée ? Ressemble à une proposition (théorème) ? Utilité : éviter l’infini ? POSIDONIUS propose une nouvelle définition des parallèles : Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point … mais cela équivaut au 5e postulat… AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

6. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Les démonstrations des 28 premières propositions ne nécessitent pas l’utilisation du 5e postulat. Elles forment ce qu’on appelle la « GÉOMÉTRIE ABSOLUE ». Les propositions 27 à 32 : 5 propositions (théorèmes) et une construction relatives aux droites parallèles. Elles forment ce qu’on appelle la « THÉORIE DES PARALLÈLES ». La 27e proposition: Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles. La 28e proposition : Si une droite tombant sur deux droites fait l'angle extérieur égal à l’angle intérieur, opposé, et placé du même côté, ou bien si elle fait les angles intérieurs et placés du même côté égaux à deux droits, ces deux droites seront parallèles. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

7. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres XXVII. Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entre eux, ces deux droites seront parallèles. Que la droite EZ tombant sur les deux droites AB, ΓΔ fasse les angles alternes AEZ, EZΔ  égaux entre eux ; je dis que la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ. Car si elle ne lui est pas parallèle, les droites AB, ΓΔ étant prolongées se rencontreront, ou du côté BΔ, ou du côté AΓ. Qu'elles soient prolongées, et qu'elles se rencontrent du côté BΔ, au point H. L'angle extérieur AEZ du triangle EHZ est égal à l'angle intérieur et opposé EZH, ce qui est impossible (prop. 16) ; donc les droites AB, ΓΔ prolongées du côté BΔ ne se rencontreront point. On démontrera de la même manière qu'elles ne se rencontreront pas non plus du côté AΓ ; mais les droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont parallèles (déf. 35) ; donc la droite AB est parallèle à la droite ΓΔ. Donc, etc. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

8. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE XXIX. Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entre eux, l'angle extérieur égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté égaux à deux droits. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Que la droite EZ tombe sur les droites parallèles AB, ΓΔ ; je dis que cette droite fait les angles alternes AHΘ, HΘ égaux entre eux, l'angle extérieur EHB, égal à l'angle HΘΔ intérieur opposé et placé du même côté, et les angles BHΘ, HΘΔ intérieurs et placés du même côté, égaux à deux droits. Car si l'angle AHΘ n'est pas égal à l'angle HΘΔ, l'un d'eux est plus grand. Que l'angle AHΘ Soit plus grand que HΘA. Ajoutons l'angle commun BHΘ, les angles AHΘ, BHΘ seront plus grands que les angles BHΘ, HΘA ; mais les angles AHΘ, BHΘ sont égaux à deux droits (prop. 13) ; • donc les angles BΗΘ, HΘΔ sont moindres que deux droits. Mais si deux droites sont prolongées à l'infini du côté où les angles intérieurs sont plus petits que deux droits, ces droites se rencontrent (demande 5) ; donc les droites AB, ΓΔ prolongées à l'infini se rencontreront. Mais elles ne se rencontreront pas, puisqu'elles sont parallèles ; donc les angles AHΘ, HΘA ne sont point inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l'angle AHΘ est égal à l'angle EHB (prop. 15) ; donc l'angle EHB est égal à l'angle HΘΔ. • Ajoutons l'angle commun BHΘ, les angles EHB, BHΘ seront égaux aux angles BHΘ, HΘΔ ; mais les angles EHB, BHΘ sont égaux à deux droits (prop. 13) ; donc les angles BHΘ, HΘΔ  sont égaux à deux droits. • Donc, etc. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

9. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Schéma de la « théorie des parallèles » AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

10. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Deux remarques importantes : 1. Le fait qu’Euclide ait utilisé le 5e postulat pour démontrer la proposition 29 ne prouve pas qu’il ait été nécessaire de l’utiliser. L’impossibilité de démontrer la proposition 29 sans utiliser le 5e postulat (ni un postulat équivalent) ne fut prouvée qu’en 1860 ! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

11. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Deux remarques importantes : 2. La proposition 31 permet de construire une parallèle. • Soit A le point donné, et BΓ la droite donnée ; il faut par le point A conduire une ligne droite parallèle à la droite BΓ. • Prenons sur la droite BΓ un point quelconque Δ, et joignons AΔ ; construisons sur la droite ΔA, et au point A de cette droite, l'angle ΔAE égal à l’angle AΔΓ (prop. 23), et prolongeons la droite AZ dans la direction de EA. • Puisque la droite AΔ, tombant sur les deux droites BΓ, EΖ, fait les angles alternes EAΔ, ΑΔΓ égaux entre eux, la droite EZ est parallèle à droite BΓ (prop. 27). • Donc la ligne droite EAZ a été menée, par le point donné A, parallèle à la droite donnée BΓ ; ce qu'il fallait faire. Mais rien n’est dit quant à l’unicité de cette parallèle. Euclide ne s’est-il pas posé le problème ? NB : cette unicité était aisément prouvable (avec la proposition 30 : Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles). AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

12. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5e POSTULAT Le 5e postulat a été « contesté ». On pensait que c’était un théorème, et qu’Euclide l’avait placé là parce qu’il n’avait pas pu le démontrer. • Deux démarches pour s’en « débarrasser » : • Le remplacer par un axiome plus « primitif », à la formulation simple, comme les autres postulats. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres • Le démontrer à partir des 5 autres postulats et des propositions de la « géométrie absolue ». AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

13. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres POSIDONIUS : École de Rhodes, 135-50 avant J.-C. A donné une autre définition des parallèles : « Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point  ». Le 5e postulat n’est alors plus nécessaire. Mais les parallèles au sens de Posidonius existent-elles ? Autrement dit : le lieu des points équidistants d’une droite est-il nécessairement une droite? AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

14. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres PTOLÉMÉE : École d’Alexandrie, 90-168 après J.-C. Est le premier à donner une démonstration du 5e postulat. Soient ab et cd des droites parallèles, coupées par une transversale fg. Alors af et cg sont aussi parallèles que fb et gd. Donc si la somme des angles afg et cgf est supérieure à 180°, il en est de même de la somme bfg+fgd. De la même façon, si afg+cgf < 180° alors bfg+fgd < 180°. Dans les deux cas, on arrive à une contradiction puisque la somme afg+cgf + bfg+fgd vaut 360°. Quelle est l’erreur commise par Ptolémée ? AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

15. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres PROCLUS : École athénienne, 412-485 après J.-C. • Est persuadé que le 5e postulat est un théorème : Cela [le cinquième postulat] doit être absolument rayé des postulats ; car c'est un théorème, qui offre de nombreuses difficultés que Ptolémée s'est proposé d'étudier dans un certain livre, et dont la démonstration exige beaucoup de définitions et de théorèmes. Euclide nous montre d'ailleurs la réciproque de ce postulat comme étant aussi un théorème. [proposition 17] AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

16. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres PROCLUS : École athénienne, 412-485 après J.-C. • Est persuadé que le 5e postulat est un théorème ; • met en évidence l’erreur de Ptolémée ; • propose une nouvelle démonstration, dont voici le début : Soient ab et cd deux droites parallèles, et fg une droite qui coupe ab en f. Soit r la distance de ab à cd. Choisissons sur fg un point h dont la distance à ab est supérieure à r, et qui est situé du même coté de ab que cd. A lors f et h sont de part et d'autre de cd, de sorte que fh coupe cd. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

17. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres PROCLUS : École athénienne, 412-485 après J.-C. Quelle est l’erreur commise par PROCLUS ? La figure ne pourrait-elle pas être celle-ci ? GÉMINIUS (Rhodes, fin du Ier siècle) s’était d’ailleurs déjà posé la question : l’hyperbole se rapproche bien de son asymptote sans jamais la couper, alors pourquoi pas deux droites ? AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

18. Chapitre I : LES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE LA CONTESTATION DU 5e POSTULAT TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres AGANIS : VIe siècle après J.-C. Reprend la définition de Posidonius des parallèles (Deux droites sont parallèles si et seulement si leur distance est constante en tout point) et il remplace le 5e postulat par un axiome d’existence de telles parallèles. Il démontre alors que la « distance » de deux droites est la perpendiculaire commune à ces droites. Cela est équivalent au 5e postulat. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

19. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres AL GAUHUARI : IXe siècle , originaire de Farab. Il utilise implicitement le fait que si les angles A et B sont égaux, alors les angles C et D le sont également. Il démontre alors le 5e postulat à partir de la possibilité de construire un triangle. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

20. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres AN NAYZIRI : né vers 900, près de Chiraz (Perse) Il continue l’œuvre d’Aganis (1), démontre des propriétés qui s’en déduisent, et « retombe » sur la proposition 29 d’Euclide. Au cours de cette suite d’implications, An Nayziri prouve qu’il existe un rectangle. (1) Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une droite équidistante de la première. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

21. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres TABIT IBN QURRA : 836, Turquie – 901, Baghdad. C’est un commentateur d’Euclide et d’Archimède. Dans son ouvrage : « Le livre sur la célèbre démonstration du postulat d’Euclide » Il montre qu’on ne peut pas avoir ces deux figures Mais qu’on peut avoir celle-ci. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

22. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres TABIT IBN QURRA. Si une sécante coupe deux droites et que celles-ci se rapprochent l’une de l’autre d’un de leurs côtés, alors elles s’en écartent l’une de l’autre de l’autre côté ; et leur rapprochement du côté où elles se rapprochent, et leur écartement du côté où elles s’écartent, vont en croissant. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

23. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres TABIT IBN QURRA. Dans son ouvrage : « Le livre montrant que deux droites menées selon deux angles plus petits que deux droits se rencontrent » il définit les parallèles comme des droites équidistantes. Pour prouver l’existence d’un rectangle, il lui est nécessaire de faire intervenir le mouvement (c’est un disciple d’Archimède !), et d’admettre la non modification d’une figure au cours d’un déplacement. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

24. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE IBN AL HAYTAM “AL HAZEN” : 836, Bassora – 901, Le Caire. TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres • a écrit deux livres : • Le livre du commentaire des propositions non démontrées d’Euclide • Le livre sur les résolutions des doutes soulevés par les Éléments d’Euclide. Ibn al-Haytam introduit une nouvelle définition de la droite. Il considère la ligne décrite dans un plan par l'extrémité libre d'une perpendiculaire de longueur constante, menée à une droite donnée, lorsque le pied de la perpendiculaire glisse le long de cette droite. Des considérations vagues, mais très développées, sur « l'égalité et la similitude » de tous les points de la perpendiculaire en mouvement permettent à Ibn al-Haytam de conclure que toutes les trajectoires décrites en même temps par tous les points de la perpendiculaire sont « congruentes » ; il en déduit que la ligne décrite par l’extrémité de la perpendiculaire est une droite équidistante de la droite donnée. Adolf P. YOUSSKEVITCH, in Les mathématiques arabes VIIe-XVe siècles, Éditions VRIN, Paris, 1976. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

25. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres IBN AL HAYTAM En réalité, la définition de la page précédente « renferme implicitement » le 5e postulat. Puis il « démontre » le 5e postulat en utilisant un quadrilatère à 3 angles droits : Ibn Al Haytam en conclut qu’il faut supprimer le 5e postulat de la liste des « demandes », et le remettre – puisqu’il est démontré – juste avant la proposition 29 où il est utilisé. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

26. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres ‘Umar al KHAYYAM : 1047-1122, Nashipur, Perse. Son œuvre est restée inconnue jusqu’en 1936. Il a très bien étudié le travail d’An Nayrizi. Il introduit le célèbre quadrilatère dit « de Saccheri », dans lequel il s’agit de prouver que les deux angles restants Δ et Γ sont droits : AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

27. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE AL KHAYYAM TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres 1re étape : On démontre que les deux angles Δ et Γ sont égaux. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

28. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE AL KHAYYAM TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres 2e étape : On construit E milieu de AB ; la perpendiculaire en E recoupe ΔΓ en Z On démontre que ΔΖ = ΖΓ, et que ΕΖ est perpendiculaire à ΔΓ. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

29. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE AL KHAYYAM TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres 3e étape : On prolonge ensuite la droite EZ d’une longueur ZK égale à EZ. On mène en K la perpendiculaire à EZ, qui recoupe AΔ et BΓ en H et Θ. On démontre que les deux triangles ΓΖΚ et ΔΖΚ sont égaux, d’où il s’en suit immédiatement que les angles ΖΓΚ et ΖΔΚ sont égaux ainsi que les côtés ΓΚ et ΔΚ, puis les angles ΚΓΘ et ΚΔΗ et les côtés ΓΘ = ΔΗ et ΚΘ = ΚΗ. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

30. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE AL KHAYYAM TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres 4e étape : Le « plan Θ » se superpose au « plan Δ » (imaginez un pliage d’axe ΔΓ). Si les deux angles H et Θ étaient aigus : on aurait deux droites coupant une troisième selon deux angles droits AΔΗ et ΒΓΘ et qui s’écarteraient l’une de l’autre, ce qui est absurde, d’après Al Khayyam. Si les deux angles H et Θ étaient obtus : même conclusion ! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

31. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE AL KHAYYAM TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres 4e étape : Il y aurait alors deux lignes droites coupant une droite selon deux angles droits et dont la distance augmenterait ensuite des deux côtés de cette droite, ce qui est une impossibilité première lorsqu'on se représente le caractère rectiligne d'une droite, et qu'on réalise ce qu'est la distance entre deux droites. Et c’est ce dont s'est occupé le philosophe. (‘Umar Al Khayyam) AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

32. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE Traduction des Éléments d’Euclide (ici, le théorème de Pythagore) Tahrîr al Majisti (traduction de l’Almageste) TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Nasir Ad Din AŢ ŢUSI : 1130-1214, Tus. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

33. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres AŢ ŢUSI. Son œuvre, dont « La discussion qui dissipe les doutes relatifs aux droites parallèles » (1251), fut connue en Europe dès 1594. Il critique les théories précédentes. Dans sa réfutation de l’angle aigu et de l’angle obtus, il n’utilise pas les mêmes méthodes que ‘Umar Al Khayyam. • Pour démontrer sa 6e proposition, il utilisera deux nouveaux axiomes : • l’axiome d’Archimède (deux segments inégaux étant donnés, il existe toujours un multiple du plus petit qui surpasse le plus grand) ; • un équivalent de l’axiome de Pasch • (toute droite qui « entre » dans un triangle en « ressort ») AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

34. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres AŢ ŢUSI Ses trois premières propositions sont celles de ‘Umar al-Khayyām Sa 4e proposition est : « Les côtés opposés d’un rectangle sont égaux ». Sa 5e proposition est : « Deux perpendiculaires à une même droite font avec toute sécante des angles alternes internes égaux ». AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

35. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres AŢ ŢUSI Sa 6e proposition est : « Si deux lignes non limitées à leurs extrémités se coupent selon des angles non droits, et si on élève une perpendiculaire sur l'une d'elles, alors cette perpendiculaire, si on la prolonge, coupera l'autre droite sur un de ses côtés, à savoir du côté de l'angle aigu compris entre cette perpendiculaire et la droite coupée par cette perpendiculaire ». AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

36. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Muhyi ad-Dīn AL MAGHRIBI : 1220, Espagne – 1283, Iran « Démontre » le 5e postulat. Son texte commence ainsi : Soit, par exemple, les droites AB, GD, coupées par la droite AG, qui rend les angles BAG, DGA, moindres que deux droits. Je dis qu'elles se rencontrent si on les prolonge indéfiniment. La preuve de cela : ………….. Le doute concernant la chose demandée est donc levé par la rectification du postulat telle que nous l’avons établie. Et se termine ainsi : AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

37. Chapitre II : LES COMMENTATEURS ARABES D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Les travaux sur la théorie des parallèles se poursuivent encore pendant près de deux siècles dans les pays arabes, mais sans que rien de nouveau ne soit découvert. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

38. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres John WALLIS : 1616-1703, Oxford. Il connaît l’œuvre d’At Ţusi ; il est le seul, parmi tous les commentateurs de l’époque, à faire vraiment preuve d’originalité. Pour une figure quelconque, il en existe toujours une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable. Il admet le principe fondamental ci-contre, qu’il ajoute aux postulats d’Euclide, en remplacement du 5e. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

39. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres John WALLIS Laplace et Carnot commentent d’ailleurs ce principe, l’un en 1796, l’autre en 1830 : La théorie des parallèles tient à une notion première qui me paraît être à peu près du même ordre de clarté que celle de légalité parfaite ou de la superposition : c'est la notion de similitude. Il me semble que l'on peut regarder comme un principe de première évidence que ce qui existe en grand, comme une boule, une maison, un dessin, peut être fait en petit et réciproquement. (Lazare CARNOT) Pour une figure quelconque, il en existe toujours une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable. La proportionnalité est un postulatum bien plus naturel que celui d'Euclide, car elle se retrouve dans les lois de l'attraction tout comme dans celles des forces électriques et magnétiques ; d'ailleurs la simplicité des lois de la nature ne nous permet d'observer et de connaître que des rapports. (Marquis Simon de LAPLACE) AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

40. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres John WALLIS Démonstration du 5e postulat : Ne cherchez pas à tout lire, c’est dans les documents, et je vais vous expliquer !!! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

41. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE John WALLIS Démonstration du 5e postulat : TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres La droite CD peut-elle rester entièrement à l’intérieur de l’angle CAB ? AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

42. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres André-Marie LEGENDRE. Paris, 1752-1833. De 1794 à 1823, il publie de nombreuses éditions de ses Éléments de Géométrie, utilisés dans l’enseignement. De la 1re à la 8e édition, il démontre deux propositions, qui lui permettent d’éviter le 5e postulat : Proposition XIX : « La somme des angles d’un triangle ne peut être plus grande que deux droits ». Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». La première de ces propositions ne comporte aucune erreur. D’ailleurs GAUSS la reprendra plus tard… AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

43. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres LEGENDRE La démonstration selon laquelle la somme des 3 angles d’un triangle ne peut pas être supérieure à 180° doit être menée ainsi, indépendamment du 11e axiome (5e postulat). Supposons que A+B+C>180°. On prolonge AB à l’infini et on reprend le triangle précédent, ceci étant l’hypothèse. CBE < ACB donc CE < AB (Éléments I.24).  De même pour EG = CE etc.…On en conclut facilement qu’en reproduisant le triangle suffisamment souvent, la ligne droite AM est plus longue que la ligne brisée ACEG…NM, et ainsi la contradiction est facile à démontrer. Une reproduction de n fois suffit quand AC + CB – AB < n(AB – CE). Voici la démonstration de Gauss : AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

44. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres LEGENDRE Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». Par contre, la démonstration de cette proposition XX comporte une erreur : il utilise implicitement la propriété Par un point situé à l’intérieur d‘un angle, il existe toujours une droite qui rencontre les deux côtés de l’angle. Ayant décelé son erreur, il « remet » le 5e postulat dans les 9e, 10e et 11e éditions de ses Éléments de Géométrie. Ne cherchez pas à tout lire, c’est dans les documents !!! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

45. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres LEGENDRE Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». A partir de la 12e édition, il trouve une nouvelle démonstration de cette proposition… …et ça continue ! … AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

46. Chapitre III : LES COMMENTATEURS EUROPÉENS D’EUCLIDE TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres LEGENDRE Proposition XX : « Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale à deux droits ». Il trouve une nouvelle démonstration de cette proposition… qui grosso modo est ceci : Bien entendu, comme vous vous en doutez, il y a une erreur… Sinon le 5e postulat d’Euclide serait démontré ! AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

47. Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres Giovanni Girolamo SACCHERI : 1677-1733. Il connaît l’œuvre d’At-Ţusi … et la critique : il publie en 1733 Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide lavé de toute tache) Il utilise le quadrilatère de ‘Umar Al-Khayyam (à l’époque inconnu), et fait explicitement les trois hypothèses : angles droits, obtus ou aigus. Puisque la droite qui joint les extrémités de deux droites égales perpendiculaires à une même droite (que nous appellerons base) fait des angles égaux avec ces perpendiculaires, il y a par conséquent trois hypothèses à distinguer selon la nature de ces angles. Et j'appellerai la première, hypothèse de l'angle droit, la seconde, hypothèse de l'angle obtus, et la troisième, hypothèse de l'angle aigu. AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

48. Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres SACCHERI. L’hypothèse de l’angle obtus : Jointe à la proposition XVI d’Euclide, elle prouve le 5e postulat. D’où une contradiction : Γ + Δ > 2 droits (hypothèse) et Γ + Δ = 2 droits (Euclide). Cette hypothèse est donc « éliminée ». AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

49. Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres SACCHERI. L’hypothèse de l’angle aigu : Saccheri en déduit toutes sortes de conséquences, et en particulier les deux théorèmes suivants : • Premier théorème : • «Deux droites sont : • soit sécantes ; • soit admettent une perpendiculaire commune, et alors elles « divergent » ; • soit elles sont « asymptotes » l’une de l’autre». Second théorème : « Deux droites parallèles peuvent ne pas avoir de perpendiculaire commune». AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES

50. Chapitre IV : LES PRÉCURSEURS DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES TABLE DES MATIÈRES 1.ÉLÉMENTS D’EUCLIDE Démonstrations Contestations 2. COMMENTATEURS ARABES : Al Gauhuari Ibn Qurra Al Haytam Al Khayyam At Tusi 3. COMMENTATEURS EUROPÉENS : Wallis Legendre 4. PRÉCURSEURS NON EUCLIDIENS : Saccheri Lambert 5. LES 30 GLORIEUSES Bolyaï Gauss Lobatchevski 6. LES MODÈLES Poincaré Autres SACCHERI. Finalement… Il craque ! Deux droites sont : soit sécantes ; soit admettent une perpendiculaire commune, et alors elles « divergent » ; soit elles sont « asymptotes » l’une de l’autre. « L’hypothèse de l’angle aigu est absolument fausse, car elle répugne à la nature même de la ligne droite  » Lien vers Lobatchevski, proposition 16 AXIOME D'EUCLIDE ET THÉORIE DES PARALLÈLES