250 likes | 1.01k Views
Kebebasan Tapak. Pendahuluan. KEBEBASAN TAPAK. Dalam teorema dasar kalkulus diketahui : Hal ini akan diterapkan dalam integral garis . Teorema A ( Teorema Dasar Untuk Integral Garis ) : Misalkan C kurva mulus sepotong-sepotong yang secara parameter diberikan oleh :
E N D
KEBEBASAN TAPAK Dalamteoremadasarkalkulusdiketahui : Hal iniakanditerapkandalam integral garis. Teorema A (TeoremaDasarUntuk Integral Garis) : Misalkan C kurvamulussepotong-sepotong yang secara parameter diberikanoleh : Jika f dapatdidifferensialkansecarakontinupadasuatuhimpunan yang mengandung C, maka :
Catatan : • Bilamakaberpadanan denganf(x,y) • Bilamakaberpadanandenganf(x,y,z). Bukti :
Jika untuk titik-titik ujung r(a) dan r(b) pada persamaan sebelumnya ditulis sebagai A dan B, maka persamaan tersebut bisa ditulis dalam bentuk
Contoh : Misalkandiketahui adalahfungsipotensialuntukinvershukummedankuadrat . Hitunglah: dengan C adalah sebarang potongankurvamulusdari (0,3,0) ke (4,3,0) yang melaluititikasal Jawab :
Kriteria untuk Kebebasan Tapak • D disebuthimpunantersambungapabilaterdapatduatitiksebarangdalam D yang dapatdihubungkanolehsepotongkurvamulus yang seluruhnyaterletakdalam D. • bebastapakdalam D jikauntuksebarangduatitik A dan B dalam D, integral garismempunyainilai yang samauntuksetiaptapak C dalam D yang secarapositifterarahdari A ke B.
Medan Vektor Konservatif dan Fungsi Potensial Medan vektor F yang didefinisikan pada daerah D adalah medan vektor konservatif jika terdapat fungsi skalar f pada D sedemikian sehingga pada setiap titik di D. Dalam hal ini fungsi skalar f disebut fungsi potensial untuk medan vektor F
Teorema B : Misalkankontinupadasuatuhimpunantersambungterbuka D. Maka integral garisbebastapak jikkauntuksuatufungsiskalarf, atau Bukti : PR
Teorema C : Misalkandengan M, N,P kontinubersama-samadenganturunanparsialtingkatpertamanyadalamsuatuhimpunantersambungterbuka D dengan tanpa lubang. MakaFadalahkonservatif ( ) jikka atau Dalamhalkhusus : akan konservatifjikka Bukti : PR
Contoh : Tentukanapakah konservatif. Jikademikiantentukanfungsifnya. Jawab :
Dengandemikiankitabisamenyimpulkandalam bebastapakiniterdapat 3 hal yang salingekivalen, yaitu : • untuksuatufungsi f • bebasdaritapak • untuksetiaptapaktertutup C Bukti: PR
Latihan Soal • Find a potential function for the vector field a. b. 2. 3. Hitung integral garis berikut: a. b.
Latihan Soal 4. For which numbers a and b is F= axyi + (x2+ by)j a gradient field?