Variables Aléatoires & Lois de Probabilités Usuelles

1. Variables Aléatoires&Lois de Probabilités Usuelles

2. Caractéristiques d’une Variable Aléatoire

3. Soit X une variable aléatoire qui peut prendre des valeurs xi dans un intervalle donné de façon qu’à chaque valeur particulière de xi correspond une probabilité pi. Caractéristiques d’une V.A. On cherche à résumer cette distribution par quelques paramètres de position (moyenne, médiane, mode..) et de dispersion (variance, écart-type..).

4. La moyenne théorique ou Espérance mathématique de X est définie par E(X) = X telle que: E(X) = X = x1.p1 + x2.p2 +….+xi.pi +….xn.pn E(X) = X = S1n xi.pi I- Moyenne ou Espérance Mathématique: Soit X une V.A. telle que: X={x1, x2, x3, ……..xi, …….xn}, avec: Caractéristiques d’une V.A.

5. Chaque valeur possible de Xi est pondérée par une probabilité pi; la moyenne indique une valeur centrale de la distribution. Cette équation est valable pour les variables discrètes. Si les variables sont quantitative et continue; elle sera caractérisée par une densité de probabilité f(x), telle que: Caractéristiques d’une V.A. La moyenne est donnée par une formule plus générale:

6. Propriétés de l’Espérance Mathématique: ♣ • Si X’ = X+a • E(X’)=E(X+a) = E(X)+a ♣ • Si X’ = b.X • E(X’)=E(b.X) = b.E(X) a et b sont des constantes ♣ • Si Z = X+Y • E(Z)=E(X+Y) = E(X)+E(Y) Caractéristiques d’une V.A. X, Y et Z sont des variables aléatoires D’une manière générale: • E(a.X = b.Y) = a. E(X) + b. E(Y)

7. II- Mode ou Valeur Modale: Le mode ou la valeur modale d’une variable aléatoire est la valeur de xi qui correspond à la fréquence maximale. C’est la valeur de la variable qui a le plus de chance d’être réalisée. Caractéristiques d’une V.A. Une distribution de probabilité peut présenter une seule valeur modale (Distribution Unimodale), ou 2 valeurs modales (Distribution bimodale) ou plus de 2 modes (Distribution plurimodale) .

8. III- Médiane et Fractiles : La médiane Me d’une variable aléatoire X est la valeur de xi située exactement au milieu de l’intervalle de variation; de sorte que: P(X≤Me) = 1/2 & Fx(Me) = 1/2 De manière plus générale, on peut définir les fractiles d’une variable aléatoire X . Ainsi, on appel fractile d’ordrea de X, dont la fonction de répartition Fx , la valeur xa telle que: Caractéristiques d’une V.A. FX(xa) = a & P(X≤xa)=a • Remarques: • La médiane est la fractile d’ordre ½ Fx(Me) = FX(x1/2) = ½ • Le 1er et le 3éme quartile correspondent à a = ¼ et a = ¾

9. _ V(X) = sx2 = E[X – E(X)]2 = S1n pi (xi -x)2 _ V(X) = sx2 = E(X)2 – [E(x)]2 = S1n pi xi2-x2 III- Variance & Ecart-type : La variance de la variable aléatoire X ou l’espérance mathématique d’ordre 2, est défini par la quantité: En pratique, on utilise une formule plus simplifiée: Caractéristiques d’une V.A. Si la variable est discrète Et Si la variable est continue

10. _ La moyenne E(X) = X = S1n xi.pi E(X) = X = x1.p1 + x2.p2 +….+xi.pi +….xn.pn IV- Exemple: Jet de Dé On lance un Dé, et on note le nombre de points apparu. X peut prendre les valeurs {1,2,3,4,5,6}. Où pxi=1/6 Caractéristiques d’une V.A. E(X) = (1+2+3+4+5+6).1/6 = 21/6 =7/3

11. puisque la variable est discrète La variance V(X) = sx2 = E(X)2 – [E(x)]2 = S1n pi xi2-x2 _ Or, E(X) = 7/3 E(X)2 – [E(x)]2 = [12+ 22+32+42+52+62].1/6 + [7/3]2 = 91/6 + 49/4 = 35/12 Caractéristiques d’une V.A.

12. Théorie des ProbabilitésÉtude des lois de probabilités usuelles

13. Introduction: Une variable aléatoire X peut prendre des valeurs xi dans un intervalle donné de façon qu’à chaque valeur particulière de xi correspond une probabilité pi. pi apparaît comme une fonction de xiet l’ensemble des probabilités élémentaires pi constitue la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Théorie des Probabilités

14. Autrement dit, affecter une probabilité pi à chacune des valeurs de xi, c’est doter la variable aléatoire X d’une loi de probabilité. Ceci ne pose aucun problème lorsque la var. aléatoire est discrète. • Exemple : • Si on lance successivement 3 fois une pièce de monnaie: Théorie des Probabilités

15. Le problème des lois de probabilité devient plus délicat lorsque la V.A. X est continue. En effet, pour des V.A. continue, la probabilité d’une valeur particulière est nulle.(De la même manière que le choix d’un point sur une droite). On est donc amener à distinguer deux catégories de lois de probabilité: Théorie des Probabilités - Les Lois relatives à la variation discontinue et, - Les Lois relatives à la variation continue.

16. I- Distribution Binomiale

17. La distribution binomiale ou loi binomiale est une loi de variation discontinue dite de Bernoulli. Si X est la V.A. qui associe à tout élément de A la valeur 1 et à tout élément n’appartenant pas à A la valeur 0. Cette variable ne prend donc que deux valeurs 1 et 0, avec: Loi Binomiale P(A) = p et P(Ã) = q = 1-p

18. ☻ ☻ ☺ ☻ ☺ ☻ ☻ ☻ ☺ ☺ ☻ ☺ ☺ ☻ ☺ ☻ ☻ ☻ ☺ ☻ 1- Urne de BERNOULLI: Considérons une urne qui contient deux types de boules: - Des boules blanches d’effectif n1 (8): ☺ - Des boules noires d’effectif n2: (12)☻ Loi Binomiale n1 + n2 = N = 20

19. ☺ ☻ ☻ ☺ ☻ ☻ ☺ ☻ ☻ ☻ ☺ ☺ ☻ ☺ ☺ ☻ ☺ ☻ ☻ ☻ ☺ ☻ On suppose que le tirage se fait avec remise, de sorte que la composition de l’urne ne change pas d’un tirage à l’autre. p = n1/N = 8/20 = 0,4 q = n2/N = 12/20 = 0,6 Loi Binomiale: urne de Bernoulli On constate que p+q = n1 + n2 /N = 20/20 = 1

20. 2- Définition: Une Variable aléatoire X suit une Loi Binomiale β(N,p) si elle peut être considérée comme une somme de plusieurs variables aléatoires indépendantes, suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p. Loi Binomiale: urne de Bernoulli Ce qui nous intéresse donc, c’est la probabilité des associations qui peuvent résulter de n tirages successifs.

21. 2- 1. Épreuve du double tirage: Considérons l’exemple simple d’un sac de 3 boules, dont une blanche et deux noires. On se propose de voir ce qui va se passer sur le plan de probabilités quand on procède à deux tirages successifs avec remise. Loi Binomiale: Épreuve du double tirage La probabilité de tirer une boule blanche étant p=1/3 et celle de tirer une boule noire est q=1-p = 2/3.

22. Ce qui nous intéresse, c’est la probabilité des associations issues du premier et du second tirage. Loi Binomiale: Épreuve du double tirage p=1/3 q=2/3

23. Au total, on aura trois catégories d’associations (2 tirages + 1) Si on ne tient pas compte de l’ordre du tirage, on aura: 1- Association BB de probabilité (1/3)(1/3)=p2 2- Association BN ou NB de probabilité 2(1/3)(2/3)=2pq Loi Binomiale: Épreuve du double tirage 3- Association NN de probabilité (2/3)(2/3)=q2 Ces divers associations de 2 boules, comportant respectivement 0, 1 et 2 boules noires, ont donc pour probabilités respectives les termes successifs du développement de (p+q)2 = p2 + 2pq + q2

24. 2-2. Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale En résonnant de la même manière que précédemment, on arrivera dans le cas d’un triple tirage à 4 associations (3+1) de boules blanches ou noires, avec 0, 1, 2 ou 3 boules noires. En démontre facilement que les probabilités des 4 associations seront obtenues par les termes du développement de (p+q)3. Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple (p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2 3B 2N+ B 3N 2B+ N

25. Probabilité 3pq2= 12/27 q3=8/27 3p2q=6/27 p3 = 1/27 Nombrede boules Noires 0 1 2 3 Épreuve du tirage multiple: La loi Binomiale [ p = 1/3 ; q = 2/3 ] (p+q)3 = p3 + 3p2q + 3 pq2 + q2 Loi Binomiale: Épreuve du tirage multiple

26. Tirage Échantillon D’une manière générale: • En répétant l’épreuve plusieurs fois; la structure des échantillons sera la suivante: • - 0 boules Blanches et n boules noires. • 1 boules Blanches et (n-1) boules noires. • 2 boules Blanches et (n-2) boules noires. • …. • …. • k boules Blanches et (n-k) boules noires. • …. • …. • n boules Blanches et 0 boules noires. Soit une urne composée de N boules , dont k boules blanches et N-k boules noires. Loi Binomiale: En général E: n boules (n < N)

27. La probabilité d’avoir k boules blanches est: p. p. p…..p… p = pk K fois Si X: nombre de réalisations de E dans un échantillon de n boules. X: peut prendre (n+1) valeurs possibles tel que: X = { 0, 1, 2, ………., K, ……., n } Si X = k réalisations de E et si l’on tient pas compte de l’ordre du tirage des boules Loi Binomiale: En général Dans l’échantillon, on aura (N-k) boules noires de probabilité q. q. ….q…….q = q(N-k)

28. Ainsi, la probabilité d’avoir k boules blanches et (n-k) boules noires dans l’échantillon serait; fk = pk.q(n-k). Mais il y a autant d’échantillon satisfaisants (k boules blanches et n-k boules noires) que de combinaisons de n boules avec k boules blanches; on aura donc: Loi Binomiale: En général

29. Si X est le nombre de réalisation de E avec X = { 0,1,2,……k,……N} Les probabilités liées à chacune des réalisations xi correspondent aux termes successifs du développement du binôme de Newton (p+q)n. Loi Binomiale: En général C’est cette distribution de probabilités qui est connue sous le nom de Distribution Binomiale.

30. 2-3. Paramètre de La loi Binomiale 2-3-1. La moyenne d’une loi Binomiale Si X est le nombre de réalisation de E avec X={0,1,2,……k,……N}; à chacune des valeurs xi s’associe une probabilité P(xi), telle que: Loi Binomiale:Moyenne (p+q)(n-1) = 1

31. La variance V(X) = sx2 = E(X)2 – [E(x)]2 = S1n pi xi2-x2 = Spi xi2 - x +x -x2 _ _ _ _ 2-3-2. La variance d’une loi Binomiale Loi Binomiale:Variance

32. (p+q)(n-2) = 1(n-2)=1 Loi Binomiale:Variance

33. 3- Exemples d’application 3-1. Exemple 1: Dans les familles de 3 enfants, quelle est la probabilité d’avoir 2 filles?. La probabilité de naissance d’une fille est p=0.48. Solution: n=3, k=2, p=0.48 et q=1-p=0.52 Loi Binomiale Quel est le nombre moyen de filles et la variance? Solution: E(X) = np = 3 (0.48) = 1.44 Var(X) = npq = 3 (0.48) (0.52)= 0.75

34. 3-2. Exemple 2: Dans les familles de 5 enfants, définir la loi de probabilité de X (nombre de filles) si la probabilité d’avoir une fille est de 0.3 et donner la valeur moyenne et la variance de X Solution: Loi de Probabilité La Moyenne est: E(X) = n.p =5(0.3)=1.5 Loi Binomiale La Variance est: Var(X) = n.p.q =5(0.3)(0.7) =1.05

35. Fonction de répartition: Solution: FX(x) = P(X ≤ xi) Loi Binomiale

36. 3- 3. Exemple 3: Soit un Dé cubique à 6 faces numérotés de 1 à 6, ayant la même probabilité. On lance 9 fois de suite le Dé. On considère que l’on obtient un succès si la réponse obtenue est supérieur à 5. Soit X, la V.A. associée aux nombre de succès obtenus sur les 9 jets. Déterminer la probabilité de X=0, X=4 et de X=9, la moyenne et la variance de cette distribution.

37. Sur un jet, la probabilité de succès est p = 2/6 = 1/3 Solution: La probabilité de l’échec est q = 4/6 = 2/3 X suit une loi binomiale b (N,p) = b (9, 1/3)

38. La moyenne de X : b (N,p) est: np = 9.1/3 = 3 La variance de X : b (N,p) est: npq = 9.1/3.2/3 = 2

39. 3- Distribution binomiale symétrique ou asymétrique: L’expression générale de la loi binomiale est donnée par: Si p = q; l’expression générale de terme k, abstraction faite du coefficient C, devient pk.q(n-k) = pk.p(n-k) = pn. Loi Binomiale Dans ce cas, tous les termes sont de la forme pn et ne différent que par C. Il en résulte que, si p=q, les termes situés à égales distance du binômes (p+q)2 deviennent respectivement égaux entre eux: La distribution est dite alors Symétrique.

40. Exemple: X: Nombre de fois « pile » dans l’épreuve de 3 tirages successifs d’une pièce de monnaie non truquée (p = q = 1/2) (P,F,F)→1 (P,P,P)→3 (F,P,P)→2 (F,F,P)→1 (F,F,F)→0 (P,F,P)→2 (F,P,F)→1 (P,P,F)→2 X = {0, 1, 2, 3} P(X=3) = P(P,P,P) = 1/8 P(X=2) = P(P,P,F)+P(P,F,P)+P(F,P,P) =3/8 P(X=1) = P(P,F,F)+P(F,P,F)+P(F,F,P) =3/8 P(X=0) = P(F,F,F) = 1/8 Avec ∑ Pi = 1

41. P k 0 1 2 3 La forme générale de la distribution symétrique est la suivante:

42. 4- Utilisation de la table de la Loi Binomiale:P (X ≤ x) Par définition: P(X=xi) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(i-1)) P(X=5) = P(X≤5) – P(X ≤4) P(X=5) = 0,999 – 0,998 = 0,001

43. Probabilité d’un intervalle: P (xi ≤X ≤ xk) Par définition: P(xi ≤X ≤xK) = P(X ≤xi) – P(X ≤x(k-1)) P(2≤X ≤4) = P(X≤4) – P(X ≤1) P(X=5) = 0,998 – 0,736 = 0,262

44. Probabilité P (X ≥ xk) Par définition: P(X ≥xi) = 1 -P(X ≤x(i-1)) P(X ≥4) = 1 -P(X≤3) P(X=5) = 1 – 0,987 = 0,013