Gli elettroni nei cristalli

1. esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) Gli elettroni nei cristalli funzione d’onda elettronica: deve risolvere l’equazione di Schrödinger in presenza di un potenziale periodico come si risolve il problema per il singolo elettrone:  funzione d’onda che “rispecchia” la periodicità del potenziale  bande di energia permessee bande di energia proibite come si tratta il problema nel caso di molti elettroni:  antisimmetrizzazione della funzione d’onda  meccanica statistica quantistica  statistica di Fermi Dirac

2. E2max E2u E2 E2g E2min E1u E1max E1 E1g E1min esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) gli elettroni nei cristalli atomo singolo  livelli energetici singoli due atomi  livelli energetici sdoppiati molti atomi  multipletti di livelli energetici

3. x rB r rA z A B R 1sg(r): la funzione è grande nella zona fra i due nuclei dove l’elettrone ha effetti “leganti” Due atomi: funzione d’onda della molecola ione-idrogeno 1s(rA) 1s(rB) due soluzioni, g e u due livelli energetici 1s(rA) potenziale di attrazione elettrone-nuclei in funzione di z per un valore fissato di x e y 1s(rB) 1su(r): la funzione è nulla proprio nella zona fra i due nuclei dove l’elettrone avrebbe effetti “leganti”, mentre è grande nelle zone dove ha effetti “antileganti”

4. funzione d’onda elettronica 7 “nodi” 3 “nodi” 1 “nodo” nessun “nodo”

5. E1max E1atomico E1min livelli energetici elettronici gli elettroni occupano i livelli energetici a partire dal più basso, rispettando il principio di Pauli il solido si forma a una distanza di equilibrio tale da minimizzare l’energia complessiva degli elettroni che occupano i livelli distanza di equilibrio

6. molti elettroni per atomo:  riempimento fino al livello 4  distanza di equilibrio = a bande di energia E4max E4max E4max  E4atomico E4min E4min E4min E3max E3max E3max E3atomico E3min E3min E3min E2max E2max E2atomico E2min E2min E1atomico

7. E’2max E’2min bande di energia  E4atomico pochi elettroni:  si riempiono solo i primi livelli  distanza di equilibrio = a’ E3atomico E’2max E2atomico E’2min E1atomico E’1

8. esempio in una dimensione: V(x)=V(x+a) moto di un elettrone in un potenziale periodico: soluzione formale Hamiltoniana: l’hamiltoniana è invariante per traslazioni di passo a (periodica): H(x)=H(x+a) funzione d’onda: H(x) (x) = E (x) anche  (x) deve essere invariante per traslazioni? Non necessariamente, ma | (x)|2deve esserlo | (x)|2 =| (x+a)|2

9. per soddisfare la condizione |(x)|2 =|(x+a)|2la funzione d’onda deve poter essere scritta come (x)= eikxu(x) con u(x) invariante per traslazioni: u(x) = u(x+a) (x) è chiamata “onda di Bloch” il teorema di Bloch verifica del teorema di Bloch: come conseguenza dell’invarianza traslazionale, (x) può differire da (x+a) al più per una fase: (x+a) = ei (x) infatti: (x+a) = eik(x+a)u(x+a) = eika eikxu(x) =eika (x) = ei (x) con  = ka, u(x+a) = u(x)

10. px  costante del moto  k buon numero quantico significato fisico dell’onda di Bloch: è il prodotto di - un’onda piana eikx  elettrone libero - una funzione u(x) identica sotto traslazioni di un passo reticolare au(x) funzione d’onda “in vicinanza” del singolo atomo funzione d’onda di Bloch potenziale modulatore periodico V(x) piccolo:  si parte dall’onda di elettrone libero e si corregge per l’effetto di V(x)  elettroni di conduzione nei metalli;  “quantum corral” potenziale modulatore periodico V(x) grande:  si parte dalla funzione d’onda periodica e si include l’effetto della fase eikx  approssimazione di legame forte

11. x  (x+a) equivale a cambiare n  (n-1) n+1 n-1 n n-1 n n+1 Ep,n-1 Ep,n+1 n-1 n n+1 Ep,n funzione d’onda: approssimazione di legame forte potenziale periodico:

12.  (x-na) è soluzione dell’equazione di Schrödinger per l’elettrone nell’atomo isolato approssimazione di legame forte Sostituendo nell’equazione di Schrödinger per l’elettrone nel reticolo: modifica dovuta alle altre buche di potenziale del reticolo livello di energia atomica

13. m+1 m+1 m-1 m-1 m m Energia media: approssimazione di legame forte dove C = <(x)|(x)> attrazione da parte delle buche vicine m n=m-1 j=m+1 m j=m termine di sovrapposizione (o di risonanza)

14. limitandosi ai “primi vicini” (n=m1): approssimazione di legame forte dove:

15. k=8 kmin  overlap positivo:  (x-ma) e  (x-(m-1)a) hanno lo stesso segno  contributo negativo all’energia di overlap k=4 kmin k=2 kmin k=kmin Ep(x-ma) <0 (potenziale attrattivo) termini di overlap overlap negativo (x-ma) e  (x-(m-1)a) hanno segno opposto contributo negativo all’energia di overlap

16. E Eoverlap Eat Ecoul k -/a 0 /a a partire da ciascun livello atomico approssimazione di legame forte prima “zona di Brouillin” -G/2 G/2

17. E4atomico E3atomico E2atomico E1atomico bande E4min E3max E3min E2max E2min E1max E1min

18. bande di energia permesse e bande proibite

19. bande di energia permesse e bande proibite

20. E3min E = E3min- E2max E2max Passaggio da una banda all’altra eccitazione radiativa da unabanda alla banda superiore (se permessa dal principio di Pauli) E2min E1max E = E2min- E1max sol3-18

21. v k Hamiltoniana di una particella libera: Il problema del trasporto funzione d’onda: H(x) (x) = E (x) px  costante del moto  k buon numero quantico relazione di dispersione parabolica velocità di gruppo:

22. due onde k1= 1 Å-1 k2= 1,05 Å-1 velocità di fase e velocità di gruppo 4 onde k1= 1 Å-1 ; k2= 1,05 Å-1 k3= 1,1 Å-1 ; k4= 1,15 Å-1 x xk 2

23. v dk k moto dell’elettrone libero in presenza di una forza esterna Vel schermo catodo in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il “pacchetto” che all’istante t aveva un certo numero d’onda ko e velocità vo, all’istante (t+dt) ha numero d’onda (ko+dk) e velocità (vo+dv) con: ; per l’elettrone libero, d2E/dk2=costante, quindi m=costante

24. V E moto di un elettrone nel cristallo in presenza di una forza esterna in presenza di una forza esterna, dovuta ad es. a un campo elettrico, il “pacchetto” di onde di Bloch che all’istante t aveva un certo numero d’onda ko e velocità vo, all’istante (t+dt) ha numero d’onda (ko+dk) e velocità (vo+dv) con: per l’elettrone nel cristallo, d2E/dk2 non è costante, quindi m non è costante  “massa efficace” zone di massa efficace negativa l’elettrone si comporta come se avesse carica elettrica positiva  “buca”

25. Riflessione al bordo di zona riflessione al bordo di zona

26. Evoluzione temporale della funzione d’onda:  (x,t) = ei(kx-ωt) dove E k -/a 0 /a La massa efficace a piccoli k per l’elettrone libero, d2E/dk2=costante, quindi m=costante per l’elettrone nel cristallo: d2E/dk2 = - Eoverlap a2 cos(ka) a piccoli k: d2E/dk2 = - Eoverlap a2(1-(ka)2/2)

27. bande con gap diretta e con gap indiretta nel Si gap diretta gap indiretta a = 0,543 nm

28. bande con gap diretta e con gap indiretta nel Ge gap indiretta gap diretta a = 0,565 nm

29. B r v tipico esperimento microonda B direzione della corrente campione Risonanza ciclotronica e misura della massa efficace Moto (classico) di un elettrone in un campo magnetico: Se l’elettrone entra nella zona del campo magnetico B con una velocità v perpendicolare a B descrive un’orbita circolare con raggio r e pulsazione ω = v/r dati da: forza di Lorentz forza “centrifuga” • due modi di condurre la misura: • B fisso e scan in ω della microonda • ω fisso e scan in B

30. tipico esperimento z B y x h VH I a campione Effetto Hall e misura del segno della carica elettrica La forza di Lorentz devia le cariche elettriche che viaggiano con componente vx della velocità sono deviate nella direzione dell’asse y creando un campo elettrico Ey che compensa la forza di Lorentz: • jx è la densità di corrente jx= nev • n è la densità elettronica • RH è la “resistenza di Hall; permette di • conoscere il segno della carica elettrica • determinare la densità elettronica n