470 likes | 1.45k Views
ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟี เรียร์ (Limit Superior and Limit Inferior). ลิมิตซูพีเรียร์. พิจารณาเมื่อ มีขอบเขตบน และเมื่อ ไม่มีขอบเขตบน. กรณีที่ มีขอบเขตบน จะมีจำนวนจริง M ที่ s n M, ทุก n .
E N D
ลิมิตซูพีเรียร์และลิมิตอินฟีเรียร์(Limit Superior and Limit Inferior)
ลิมิตซูพีเรียร์ พิจารณาเมื่อ มีขอบเขตบนและเมื่อ ไม่มีขอบเขตบน กรณีที่ มีขอบเขตบนจะมีจำนวนจริง M ที่ sn M, ทุก n
สำหรับแต่ละ nกำหนดเซต { sn, sn+1, sn+2, … } เช่น n = 1 ได้ { s1, s2, s3, … } n = 2 ได้ { s2, s3, s4, … } เป็นต้น ซึ่งแต่ละเซตเป็นเซตที่มีขอบเขตบน ให้ Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } เนื่องจาก { sn, sn+1, sn+2, … } { sn+1, sn+2, sn+3, … } ทำให้ Mn Mn+1ทุก n ดังนั้น เป็นลำดับไม่เพิ่ม ลำดับไม่เพิ่มอาจเป็นลำดับที่ลู่เข้าหรือลำดับที่ลู่ออกสู่ –อย่างใดอย่างหนึ่ง
บทนิยาม 3.5.1ให้ เป็นลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขตบน และMn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิมิตซูพีเรียร์ของลำดับ แทนด้วย sup sn ถ้า เป็นลำดับลู่เข้า แล้วให้ sup sn = Mn ถ้า เป็นลำดับลู่ออกสู่ –แล้วให้ sup sn = –
ตัวอย่าง 1 = เป็นลำดับที่มีขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 1 ทุก n เป็นลำดับลู่เข้า sup sn = Mn = 1
ตัวอย่าง 2 คือ 1, –2, , - 4 , , -6 เป็นลำดับที่มีขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } และลำดับ คือ 1, , , , , , ,... ซึ่งลู่เข้า ดังนั้น sup sn = Mn = 0
ตัวอย่าง 3คือ –1, –2, –3, –4, –5, … เป็นลำดับที่มีขอบเขตบน Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –n , n เป็นลำดับลู่ออกสู่ – sup sn = –
บทนิยาม 3.5.2ถ้าเป็นลำดับจำนวนจริงที่ไม่มี ขอบเขตบนแล้วให้ sup sn = ตัวอย่าง 4คือ 1, 2, 1, 4, 1, 6, … เป็นลำดับที่ไม่มีขอบเขตบน ดังนั้น sup sn =
ทฤษฎีบท 3.5.3ถ้าเป็นลำดับจำนวนจริงและ เป็นลำดับลู่เข้าแล้ว sup sn = sn การพิสูจน์ให้ sn = L สำหรับ > 0 จะมีจำนวนเต็มบวก k ที่ทำให้ | sn – L | < , n k L – < sn < L + , n k สำหรับ n k จะมี L + เป็นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … } แต่ L – ไม่เป็นขอบเขตบนของเซต { sn, sn+1, sn+2, … }
L – < Mn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } L + , n k { Mn } เป็นลำดับไม่เพิ่มที่ลู่เข้าและโดยบทแทรก 3.4.4 ทำให้ L – Mn L + L – sup sn L + เนื่องจากเป็นจำนวนจริงบวกใดๆ ดังนั้นย่อมได้ว่า sup sn = L
บทนิยาม 3.5.4ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มีขอบเขตล่างและ mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ลิมิตอินฟีเรียร์ แทนด้วย inf sn 1. ถ้า เป็นลำดับลู่เข้าแล้วให้ inf sn = mn 2. ถ้า เป็นลำดับลู่ออกสู่ แล้วให้ inf sn =
บทนิยาม 3.5.5ให้ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ไม่มีขอบเขตล่าง แล้วให้ inf sn = – ตัวอย่าง 5 = เป็นลำดับที่มีขอบเขตล่าง mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = –1 ทุก n เป็นลำดับลู่เข้า inf sn = mn = –1
ตัวอย่าง 6 คือ 2, 4, 6, 8, 10, … เป็นลำดับที่มีขอบเขตล่าง mn = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = 2n , n เป็นลำดับลู่ออกสู่ inf sn = ดังนั้น
ตัวอย่าง 7 คือ 1, –2 , 1, –4, 1, –6, … เป็นลำดับที่ไม่มีขอบเขตล่าง inf sn = – ดังนั้น
= ตัวอย่าง 8 เป็นลำดับที่มีขอบเขต sup sn = Mn = 0 mn = 0 inf sn =
ทฤษฎีบท 3.5.6ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริงที่ลู่เข้าแล้ว inf sn = sn ทฤษฎีบท 3.5.7ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริง แล้ว inf sn = supn
การพิสูจน์ (1) ถ้ามีขอบเขต mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } = Mn mn inf sn sup sn Mnดังนั้น (2) ถ้าไม่มีขอบเขต sup sn = หรือ ดังนั้น inf sn = – inf sn จาก (1), (2) นั่นคือ sup sn
ทฤษฎีบท 3.5.8ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริง sup sn = inf sn = L และ L แล้ว เป็นลำดับลู่เข้า และ sn = L การพิสูจน์ให้ > 0 เนื่องจาก L = sup sn = l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … }
จะมีจำนวนเต็มบวก k1ที่ทำให้ | l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | < , n k1 l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } < L + , n k1 ทำให้ sn < L + , n k1 inf sn เนื่องจาก L = = g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … }
จะมีจำนวนเต็มบวก k2ที่ทำให้ | g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } – L | < , n k2 L – < g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n k2 ทำให้ L – < sn , n k2 ให้ k = max { k1, k2 } ทำให้ L – < sn < L + , n k ดังนั้น | sn – L | < , n k นั่นคือ sn = L
ทฤษฎีบท 3.5.9ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริง และ sup sn = = inf sn แล้วลำดับ เป็นลำดับลู่ออกสู่บวกอนันต์ การพิสูจน์ให้ M > 0 เนื่องจาก inf sn = จะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่งทำให้ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } > M , n k sn g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } , n k ดังนั้น sn > M , n k นั้นคือ ลู่บวกออกสู่อนันต์
ทฤษฎีบท 3.5.10 ถ้า และ เป็นลำดับ จำนวนจริงและเป็นลำดับ ที่มีขอบเขตถ้า sn tn , n แล้ว (1) sup sn sup tn (2) inf sn inf tn
การพิสูจน์เนื่องจาก sn tn , n Mn= l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = Mn และ เป็นลำดับไม่เพิ่มที่ลู่เข้าและจาก ทฤษฎีบท 3.4.4 ดังนั้น sup sn sup tn
mn = g.l.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } g.l.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } = mn และ เป็นลำดับไม่ลดที่ลู่เข้าและจากทฤษฎีบท 3.4.4 ดังนั้น inf sn inf tn
ทฤษฎีบท 3.5.11 ถ้า และ เป็นลำดับ จำนวนจริงและเป็นลำดับ ที่มีขอบเขตแล้ว (1) sup ( sn + tn ) sup sn + sup tn (2) inf ( sn + tn ) inf sn + inf tn
การพิสูจน์ (1) เนื่องจากและ เป็นลำดับ ที่มีขอบเขต ให้ Mn = l.u.b.{ sn, sn+1, sn+2, … } sk Mn ( k n ) Pn = l.u.b.{ tn, tn+1, tn+2, … } tk Pn ( k n ) พิจารณาผลบวกของลำดับกับ
จะได้ว่า sk + tk Mn + Pn ( k n ) ดังนั้น Mn + Pnเป็นขอบเขตบนของ { sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } โดยทฤษฎีบท 3.4.4 และทฤษฎีบท 3.4.1 l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } Mn + Pn l.u.b.{ sn+ tn, sn+1+ tn+1, sn+2+ tn+2, … } (Mn + Pn) นั้นคือ sup ( sn + tn ) sup sn + sup tn สำหรับการพิสูจน์ (2) สามารถทำได้ในทำนองเดียวกันกับ (1) = Mn + Pn
ทฤษฎีบท 3.5.12ให้ เป็นลำดับจำนวนจริงและเป็น ลำดับที่มีขอบเขต ถ้า sup sn = M แล้วสำหรับ > 0 (1) sn < M + สำหรับทุกค่าของ n ยกเว้นเพียงบางค่า มีเป็นจำนวนจำกัด (2) sn > M – สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์
การพิสูจน์ (1) สมมติข้อความ (1) ไม่จริง จะมี > 0ที่ทำให้ sn M + สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้นแต่ละ n , จะมี sk { sn, sn+1, sn+2, … } ซึ่ง sk M + ทำให้ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } M + , n l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ( M + ) sup sn M +
ทำให้ M M + เกิดการขัดแย้ง นั่นคือทุก > 0 , sn < M + สำหรับทุกค่าของ n ยกเว้นเพียงบางค่า และมีเป็นจำนวนจำกัด
(2) สมมติข้อความ (2) ไม่จริง จะมี > 0ที่ทำให้ sn > M – สำหรับ n บางค่ามีเป็นจำนวนจำกัด ทำให้มีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn M – , n k ดังนั้น M – เป็นขอบเขตบนของ { sn, sn+1, sn+2, … } , n k และ l.u.b. { sn, sn+1, sn+2, … } M – sup sn M – ทำให้ M M – เกิดการขัดแย้ง นั่นคือทุก > 0 , sn > M – สำหรับค่าของ n มีจำนวนเป็นอนันต์
ทฤษฎีบท 3.5.13ให้ เป็นลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขตถ้า inf sn = m แล้วสำหรับ > 0 (1) sn > m – สำหรับทุกค่าของ n ยกเว้นเพียงบางค่า มีเป็นจำนวนจำกัด (2) sn < m + สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์
การพิสูจน์ (1) สมมติข้อความ (1) ไม่จริง จะมี > 0ที่ทำให้ sn m – สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ดังนั้น สำหรับแต่ละ n, จะมี sk { sn, sn+1, sn+2, … } ซึ่ง sk m – ทำให้ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } m – , n g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } ( m – ) inf sn m – m m – เกิดการขัดแย้งนั่นคือทุก > 0 , sn > m – สำหรับทุกค่าของ n อาจยกเว้น เพียงบางค่ามีเป็นจำนวนจำกัด
(2) สมมติข้อความ (2) ไม่จริง จะมี > 0ที่ทำให้ sn < m + สำหรับ n บางค่ามีเป็นจำนวนจำกัด ทำให้มีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง sn m + , n k ดังนั้น m + เป็นขอบเขตล่างของ { sn, sn+1, sn+2, … } , n k และ g.l.b. { sn, sn+1, sn+2, … } m + inf sn m + m m + เกิดการขัดแย้ง นั่นคือทุก > 0 , sn < m + สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์
ทฤษฎีบท 3.5.14 ทฤษฎีบทโบลซาโน–ไวแยร์สตราสส์ สำหรับลำดับ (The Bolzano–Weierstrass Theorem for Sequence) ถ้า เป็นลำดับจำนวนจริงที่มีขอบเขต แล้วจะมีลำดับ ย่อยที่เป็นลำดับลู่เข้า การพิสูจน์เนื่องจาก เป็นลำดับที่มีขอบเขต ให้sup sn = M สร้างลำดับย่อยของลำดับ
โดยทฤษฎีบท 3.5.12 (2) จะได้ว่า sn > M – 1 สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ให้ n1ที่> M – 1 และ sn > M – สำหรับ n มีเป็นจำนวนอนันต์ ให้ n2โดยที่ n1 < n2และ > M – พจน์ต่อๆไปของสร้างในทำนองเดียวกัน โดยที่พจน์ที่ i ของลำดับย่อยนั้น ni > ni–1และ > M – .....()
ต่อไปจะแสดงว่าลำดับย่อย ลู่เข้า ให้ > 0โดยทฤษฎีบท 3.5.12 (1) จะได้ว่า sn < M + สำหรับทุกค่า n ยกเว้นเพียงบางค่าเป็นจำนวนจำกัด ดังนั้นจะมี kที่ทำให้ sn < M + , n k เลือก k ซึ่ง < และ nk > kทำให้ < M + .....()
สำหรับ i k จะได้ว่า < และ ni > k จาก () และ () จะได้ว่า M – < M – < < M + , i k | – M | < , i k นั่นคือ เป็นลำดับลู่เข้าสู่ M
ทฤษฎีบท 3.5.15ให้ F เป็นเซตย่อยของเซตจำนวนจริง F เป็นเซตปิด ก็ต่อเมื่อ ถ้าเป็นลำดับจำนวนจริงและเป็นลำดับลู่เข้า ที่ xnF สำหรับทุก nแล้วxnเป็นสมาชิกของ F การพิสูจน์ ( )เนื่องจาก เป็นลำดับลู่เข้าให้ xn= x จะแสดงว่า xF สมมติ xF ดังนั้น xF เนื่องจาก Fเป็นเซตเปิดจะมี > 0 ซึ่งทำให้ ( x – , x + ) F
เนื่องจาก x = xnจะมีจำนวนเต็มบวก k ซึ่ง | xn – x | < สำหรับ n k ดังนั้น xnF เกิดการขัดแย้งเพราะ xnF สำหรับทุก n ดังนั้น xF
( )สมมติ F ไม่ใช่เซตปิดดังนั้น Fไม่ใช่เซตเปิด จึงมี y0F สำหรับแต่ละ nสร้างลำดับ โดย ynF ซึ่ง | yn – y0 | < เป็นลำดับใน F ที่ yn = y0F เกิดการขัดแย้ง ดังนั้น F เป็นเซตปิด