FI-11 Kmity a vlnění II.

1. FI-11 Kmity a vlnění II.

2. Hlavní body • Kmity • Skládání kmitů rovnoběžných a kolmých • Tlumené kmity • Nucené kmity • Úvod do vlnění • Harmonické vlny • Popis, periodicita v čase a prostoru • Přenos energie • Stojaté vlny, interference vln, Dopplerův jev

3. Skládání kmitů I • Působí-li několik různých návratových sil, může hmotný bod vykonávat několik kmitavých pohybů současně. • Obecně platí, že složenýkmit je superpozicíjednotlivýchkmitů a výchylka v určitém okamžiku jesuperpozicí jednotlivých výchylek. • Často nás zajímá, za jakých podmínek bude výsledný kmit periodický či dokonce harmonický.

4. Skládání kmitů II • I když jsou skládající se kmity harmonické je výsledný kmit obecněaperiodický. Speciálně: • Je-li jedna frekvence racionálnímnásobkem druhé, bude výsledný kmit periodický. • Jsou-li si výchozí frekvencerovny, je výsledný kmit dokonce harmonický. • Zde rozebereme několik speciálních případů skládání harmonických kmitů.

5. Skládání kmitů v jedné přímce I • Jsou-li harmonické kmity stejnéfrekvence, mohou se lišit pouze amplitudou nebo fází. Jejich výsledný kmit : • má opět stejnou frekvenci jako každý z kmitů. • jeho výslednou amplitudu a fázi lze vypočítat jako součet dvojrozměrnýchvektorů nebo komplexníchčísel.

6. Skládání kmitů v jedné přímce II • Dokážeme tvrzení pro dva kmity. Důkaz lze potom snadno rozšířit pro více kmitů. • Předpokládejme dva kmity určené parametry x10, 1 a x20, 2. Platí : • cosiny rozložíme pomocí součtových vzorců, přeskupíme a opět složíme pomocí součtového vzorce :

7. Skládání kmitů v jedné přímce III

8. Skládání kmitů v jedné přímce IV • Výsledný kmit má úhlovou frekvenci, stejnou jako skládané kmity, amplitudux120 a fázi. • Amplituda a fáze výsledného kmitu jsou určeny amplitudami a fázemi kmitů skládaných. • Každý kmit tedy musíme charakterizovat dvourozměrnou veličinou, která nese informaci o amplitudě a fázi, buď speciálním vektorem – fázorem nebo komplexním číslem. • Ilustrujme popis skládání kmitů pomocí fázorů :

9. Skládání kmitů v jedné přímce V • zobrazme kmit pomocí vektoru, jehož velikost je rovna amplitudě x10 a úhel, který svírá s kladnou částí osy x úhel rovný fázi . • kdyby takový vektor rotoval s úhlovou rychlostí , byl by jeho průmět do osy x roven výchylce kmitu. • Vektor, popisující druhý kmit, má obecně jinou velikost i počáteční směr, ale rotuje se stejnou úhlovou rychlostí • Oba vektory jsou tedy vzájemně v klidu. Můžeme zavést souřadnou soustavu, rotující také s úhlovou rychlostí . Potom oba kmity i jejich výsledný kmit v této soustavě v klidu.

10. Skládání kmitů v jedné přímce VI • V předchozím závěru vidíme, že první složka výsledného kmitu je tedy součetprvních složek kmitů skládaných : a podobně složka druhá : • To přesně odpovídá sčítání vektorů.

11. Skládání kmitů v jedné přímce VII • Zajímavý případ nastává, když frekvence obou kmitů nejsou stejné, ale jsou blízké. Pro jednoduchost budeme předpokládat u obou stejnou amplitudu a nulovou fázi :

12. Skládání kmitů v jedné přímce VIII • Výsledný kmit má : • frekvenci rovnou průměrné frekvenci obou kmitů, srovnatelnou s původními frekvencemi • a je modulován kmitem s frekvencí rovnou jejich rozdílu. To může být velmi nízká frekvence. V akustice se tomuto jevu říká zázněje nebo rázy.

13. Skládání kmitů kolmých I • Výsledkem je kmit, který je superpozicí původních kmitů a obecně se odehrává v dvojrozměrném prostoru – rovině. • Mají-li oba kmity stejnoufrekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky se stejnou frekvencí po elipse, která se v závislosti na počátečních podmínkách může zjednodušit na kružnici, či přímku.

14. Skládání kmitů kolmých II • Mají-li oba kmity blízkou frekvenci, pohybuje se hmotný bod periodicky s průměrnou frekvencí obecně po elipse, jejíž velikost se mění s pomalejší periodou. • Dají-li se frekvence obou kmitů vyjádřit jako poměr celých čísel, hmotný bod se periodicky pohybuje po Lyssajousově křivce.

15. Tlumené kmity I • U reálných kmitů obvykle dochází ke ztrátám energie a jsou tedy tlumené. • Vyšetříme jednoduchý případ, kdy brzdící síla závisí na (první mocnině) rychlosti, což je v souladu například se Stokesovým zákonem :

16. Tlumené kmity II • Pohybová rovnice má v tomto případě tvar : • Jedná se o diferenciální rovnici druhého řádu, jako v případě netlumených kmitů, ale nyní obsahuje i člen řádu prvního. To • mírně komplikuje řešení, ale hlavně • jeho charakter silně závisí na počátečních podmínkách, hlavně míře tlumení

17. Tlumené kmity III • Rovnici přeskupíme a vydělíme m.Zavedeme konstantutlumení2 = b/m a použijeme úhlovou frekvenci netlumených kmitů20=k/m: • Předpokládáme řešení ve tvaru:

18. Tlumené kmity *I • Po dosazení dostáváme charakteristickou kvadratickou rovnici pro  : • Její řešení závisí na diskriminantu čili na míře tlumení :

19. Tlumené kmity *II • Pro velkétlumení je diskriminant kladný a výsledkem je jeden přetlumenýkmit, který nemusí ani dosáhnout rovnovážné polohy. • Situace pro nulovýdiskriminant se nazývá kritickétlumení a rovnovážné polohy je dosaženo, ale akorát není překročena. • zajímavým řešením je málo tlumený pohyb.

20. Tlumené kmity *III • Zavedeme novou úhlovou frekvenci  : • A tedy : • Obecné řešení můžeme psát jako :

21. Tlumené kmity *IV • Použijeme okrajových podmínek : • Takže konečně :

22. Tlumené kmity IV • Pro málo tlumené kmity, kdy   0 , je : • Kde : • Výsledný kmit • je superpozicí harmonického kmitu s menší úhlovou frekvencí než měl kmit netlumený • a exponenciálně se snižující amplitudy.

23. Tlumené kmity V • Bývá zvykem zavádět útlum jako poměr amplitud vzdálených jednu periodu : nebo jeho logaritmus, zvaný logaritmický dekrement :

24. Nucené kmity I • Rozebereme situaci, kdy na oscilátor s vlastní úhlovou frekvencí  působí periodickásíla s frekvencí . Pohybovou rovnici, předpokládáme-li i tlumení, lze napsat : • Po vydělení m a úpravě: • Jedná se o nehomogenní diferenciální rovnici druhého řádu.

25. Nucené kmity II • Řešení se skládá z tlumené části, která za určitou dobu zmizí a z části stabilní : • Pro amplitudu stabilní části platí :

26. Nucené kmity III • Toto řešení má takzvaný rezonančnícharakter, kdy je amplituda maximální pro  blízké 0. • Rezonance: k nejefektivnějšímu přenosu energie do kmitajícího systému dochází, je-li budící frekvence rovnavlastní frekvenci. • Příkladem je třeba dětská houpačka.

27. Vlny I • Prostředím složeným z hmotných bodů, z nichž každý může vykonávat kmity a mezi kterými jsou vazby, charakterizované například moduly E a G, se výchylka může šířit jako vlna – postupné kmitání v prostoru a čase. • Podle charakteruvazeb může být vlnění : • příčné, u něhož je výchylka kolmá ke směru šíření • podélné, kde je výchylka se směrem šíření rovnoběžná • surerpozicí obojího

28. Vlny II • Vlnění je typické tím, že se prostorem šíříenergie(informace), ale ne hmota. • Popišme výchylku harmonické vlny, šířící se rychlostíc ve směru osy x : • znaménko “-” platí pro kladná x • v bodě x je tedy výchylka, která byla v počátku před doboux/c = , za kterou do něj vlna dospěla • Dále uvažujme jen velikost výchylky.

29. Vlny III • Výchylka každé vlny splňuje obecnou Laplaceovu nebo-li vlnovou rovnici : • splňují ji i obecnější vlny, ale my se budeme podrobněji zabývat jen vlnami harmonickými, které se šíří v prostředíharmonickýchoscilátorů

30. Vlny IV • Harmonická vlna je periodická v čase i prostoru : kde  = cT je vlnová délka, čili dráha, kam vlna dospěje za jednu periodu. Vyjadřuje periodicitu v prostoru.

31. Vlny V • Pomocí periodičnosti funkce cos, lze totiž snadno ukázat, že pro t = t + mT : nebo pro x = x + n:

32. Vlny VI • Z definice vlnové délky platí důležité vztahy: • Často, například ve spektroskopii se používá vlnočet, což je počet vln na jednotku délky : Je zjevně prostorovou analogiífrekvence.

33. Vlny VII • Prostorovou analogií úhlové frekvence je vlnové číslo, jeho význam je patrný po úpravě: • Vystihuje ho zjevně lépe jeho druhý název úhlový vlnočet.

34. Vlny VIII • Dále platí : • V třírozměrném prostoru, lze šíření vlny popsat pomocí vlnovéhovektoru , kde je jednotkový vektor mající směršíření a jehož velikostí je vlnové číslo. • Pro výchylku rovinné vlny v bodě platí :