Dynamické systémy

1. Dynamické systémy

2. Dynamické systémy • obecné dynamické modely chování systémových jevů • často se vychází ze struktury systému, na které se popisuje chování • úlohy formulovány tak, aby byly řešitelné pomocí známých matematických metod a univerzálních algoritmů (např. matematické a dynamické programování), využijí se pojmy z • teorie diferenciálních a diferenčních rovnic • teorie pravděpodobnosti a stochastických procesů • teorie automatů • výsledkem často soustavy rovnic a nerovností

3. Základní pojmy • časová množina T={t} • spočetná T={…, t0, t1, … tk, …} nespočetná T={t : t0t tk} • omezená/neomezená • množina stavů X={x} • může být definována jako X = X1 x X2 x … Xn • x … stavový vektor, popisuje stav systému • externí proměnné • popisují interakci systému s okolím • vstupní proměnné u = (u1, u2 …, um), výstupní proměnné v = (v1, v2 …, vr) • vektor externích proměnných y = (u, v)

4. Základní pojmy • externí funkce • popisují interakci systému s okolím • vstupní funkce U’ – vektorová funkce zobrazující T do U, kde U je množina všech vektorů u = (u1, u2 …, um) • výstupní funkce V’– vektorová funkce zobrazující T do V, kde V je množina všech vektorů v = (v1, v2 …, vr) • vstupní/výstupní prostor – množina všech definovaných vstupních/výstupních funkcí

5. Základní pojmy • definice dynamického systému pomocí množin (Štach, 1982) S = M1 x M2 x … x Mn soustava množin M1, M2, .. Mn obsahuje časové množiny (T) nebo množiny funkcí času (např. množiny U’, V’) • dělení dynamických systémů • typu vstup-výstup: S = U’ x V’ • stavové systémy: S = M1 x M2 x … x Mn, alespoň jedna množina je množina stavů X spojitý systém diskrétní systém x’(t) = f( x(t), u(t), t) x(n+1) = f( x(n), u(n), n) v(t) = g( x(t), u(t), t) v(n) = g( x(n), u(n), n)

6. Základní pojmy • přechodová transformace T x T x X x X’ x U’ x V’  X’’ T x T … množina počátečních a koncových časových okamžiků X … množina stavů X’ … množina funkcí zobrazující T  X U’, V’ … množiny vstupních a výstupních funkcí X’’ … koncová množina • množina stavů X – deterministické systémy • pravděpodobnostní rozdělení X – stochastické systémy

7. x21 x1 x(t) x20 x0 x10 x11 Základní pojmy • stavová trajektorie • funkce x popisující vývoj stavů v čase (v závislosti na příčinách změn i na minulých stavech systému)

8. Základní pojmy • výstupní transformace T x X x U  V T x X  V • soustava omezujících podmínek f(x, y, t) ≥ 0, t  T • fyzikální, ekonomická, institucionální a další omezení týkající se zdrojů systému

9. Základní pojmy • jednoduchý dynamický systém • definován pomocí relace, např. R(T, T, X, U, U’, V, V’) • složený dynamický systém • množina jednoduchých dynamických systémů v13 u31 u21 u32 S1 S2 S3 v12 u v23 v u23 v32

10. Dynamický systém G = (P, A, T, τ, ) P … množina disjunktních množin objektů systému a okolí A … množina vztahů mezi objekty T … časová množina τ … množina přechodových funkcí (měnících strukturu systému, popisuje pohyb objektů mezi skupinami z P)  … funkce přechodu stavů (definuje nový stav systému na základě nových vztahů vzniklých působením τ) Kenneth R. Thompson: “General System” Defined for Predictive Technologies of A-GSBT (Axiomatic-General Systems Behavioral Theory), Scientific Inquiry, vol. 7, No. 1, June, 2006, pp. 1 – 11

11. Definice dynamického systému (Štecha, 2002) S = (T, X, U, U’, Y, Y’, φ, g) T … množina časových okamžiků T X … množina stavů systému U … množina okamžitých hodnot vstupních veličin U’ … množina přípustných vstupních funkcí U’ = {u(t): T  U} Y … množina okamžitých hodnot výstupních veličin Y’ … množina přípustných výstupních funkcí Y’ = {y(t): T  Y} φ … přechodová funkce g … výstupní zobrazení y(t) = g(x(t), u(t), t) (t, x(t)), t  T, x  X … událost T x X … prostor událostí

12. Definice dynamického systému (Štecha, 2002) • je dána orientace času – T je uspořádaná podmnožina množiny reálných čísel • množina U’ vyhovuje podmínkám: • je neprázdná • sjednocení vstupních dějů (jsou-li dva vstupní děje na různých intervalech přípustné, vstupní děj vzniklý jejich sjednocením je také přípustný)

13. Definice dynamického systému (Štecha, 2002) přechodová funkce φ: x(t) = φ(t, τ, x(τ), u) • v intervalu <τ, t) působí funkce u • orientace času – funkce φje definována pro t ≥ τ • identičnost – φ(t, t, x(t), u) = x(t) • vlastnost pologrupy – φ(t3, t1, x, u) = φ(t3, t2, φ(t2, t1, x, u), u)pro t1 ≤ t2 ≤ t3 • kauzalita – φ(t2, t1, x, u) = φ(t2, t1, x, u’) pro u, u’  U, u(t) = u’(t) na intervalu t1 ≤ t ≤ t2 je dáno výstupní zobrazení g • y(t) = g(x(t), u(t), t) • y(t) = g(x(t), t) – nezávislé na řízení (ryze dynamický systém)

14. Dělení dynamických systémů • podle typu přechodové transformace (zobrazení T x T x X x U’  X) • deterministické – jednoznačné • nedeterministické – víceznačné • stochastické – náhodné • adaptivní – závisí i na minulosti systému • podle typu časové množiny • spojité • diskrétní

15. Dělení dynamických systémů • podle typu množiny stavů • s konečnou množinou (konečné systémy) • s nekonečnou množinou • podle typu změny stavů • se spojitými změnami • s nespojitými změnami • podle stacionarity • stacionární (invariantní v čase) – jejich struktura a definiční relace se v čase nemění • nestacionární (proměnné v čase) • další typy • reverzibilní – přechodová funkce f(…t1, t2…) je definována pro t1, t2T, ne pouze pro t1 ≤ t2 • konečný automat – množina stavů, vstupních a výstupních veličin jsou konečné množiny

16. Vlastnosti dynamických systémů • řešení stavových rovnic • x’(t) = f(x, u, t) • y(t) = g(x, u, t) • řízení systému • schopnost ovlivňovat hodnoty vstupních proměnných • dosažitelnost • u(t) – řídicí veličina způsobující změnu počátečního stavu do stavu koncového • dosažitelný stav – existuje řízení u(t), které za konečný čas převede poč. stav x(t0) = 0 do stavu x • dosažitelný systém – všechny stavy systému dosažitelné

17. Úlohy na dynamických systémech • řiditelnost • u(t) – řídicí veličina způsobující změnu určitého stavu • řiditelný stav – existuje řízení u(t), které převede stav x do počátku (nulový stav) • řiditelný systém – všechny stavy řiditelné • pozorovatelnost a rekonstruovatelnost • mají význam z důvodu častého skrytí a tedy nemožnosti měření vnitřních veličin systému (stavu) • pozorovatelnost – změřením vstupu a výstupu na určitém časovém intervalu lze určit hodnotu stavu na počátku měření • rekonstruovatelnost (obnovitelnost, identifikovatelnost) –změřením vstupu a výstupu na určitém časovém intervale lze určit hodnotu stavu na konci měření

18. Úlohy na dynamických systémech • úlohy o stabilitě • stabilita • vlastnost systému vzhledem ke množině rovnovážných stavů (konstantní stavy, stavy, kde se určité systémové proměnné v čase nemění, jsou splněny podmínky rovnováhy) • schopnost vrátit se do původního stavu po odeznění působení vstupního signálu • rušivý vliv – vstup znamenající vychýlení z rovnovážného stavu • hledají se rovnovážné stavy stabilní vůči konkrétním/všem rušivým vlivům

19. Úlohy na dynamických systémech • prognostické úlohy • na základě počátečního stavu systému x(t0), hodnot externích proměnných y(t) na časové množině T hledáme budoucí hodnoty stavových proměnných x(t) • optimalizační úlohy • řeší matematická teorie optimalizace • obsahují dynamický systém, kritérium optimality, soustavu omezení a množinu přípustných řešení • úlohy o spojení systémů – hledá se zobrazení systému vzniklého spojeních vstupů a výstupů několika systémů • simulace

20. vnitřní proměnné s … míra spoření d … míra depreciace A … technologie H … lidský kapitál L … práce vnější proměnné C … spotřeba S … úspory D … odpisy NI … čisté investice Příklad – Solowův růstový model výstup – produkční funkce Y = A*F(K, H, E*L) přechodová transformace vývoj kapitálové zásoby ΔK = s*F(K, H, E*L) – dK vývoj pracovní síly Lt+1 = Lt(1 + gL) Zdroj: http://www.fgn.unisg.ch/eurmacro/Tutor/solow.html

21. Proces identifikace • identifikace = ztotožnění, aplikace systémových poznatků na objekt s cílem pomocí modelu zobrazit jeho systémové vlastnosti • identifikace je jedním z rozhodujících metodologických znaků systémového inženýrství (Vlček, 1999) • směry identifikace • od objektu k modelu na základě rozpoznaných vlastností objektu (deduktivní, axiomatický postup) • objekt se přizpůsobuje vzoru • vzor je vyhledáván na objektu • tento směr v rámci SI převažuje (zejména vyhledávání vzoru na objektu) • směr od definice systému směrem k objektu (induktivní postup) • vzor se přizpůsobuje objektu • objekt je vyhledáván na vzoru

22. Kroky identifikace • zvolení úrovně podrobnosti – význam pro zvládnutelnost rozsahu modelu • výběr prvků na zvolené rozlišovací úrovni – rozlišení systému od jeho okolí • přiřazení funkcí vybraným prvkům • význam pro chápání systému jako dynamického objektu s určitými cíli • F=(f) – množina disponibilních funkcí = schopnost systému ai := f(x)  y aiA (množina prvků), i=1, 2, … n (počet prvků) f … funkce, schopnosti jednotlivého prvku celku x … argumenty funkce (vstupy) y … výsledek funkce

23. Kroky identifikace • vytvoření dvojic prvků, které spolu spolupracují, a jejich zřetězení • produkční funkce • zřetězení funkcí ai aj představuje procesy na konkrétním objektu a nazývají se produkční funkce • na jednom systému může být definováno více produkčních funkcí • u produkční funkce rozlišujeme předmět, uplatněné schopnosti, nástroje transformující tento předmět

24. Kroky identifikace • předmět produkční funkce • týká se argumentů a výsledků funkce, hovoříme o tzv. bohatství • obsah – nerostné, hmotné, energie, sociální prostředí (zdraví, vzdělanost, životní prostředí) • rozložení – individuální, skupinové, státní • nástroj produkční funkce • formální tvar (jak je funkce zapsána) – např. numerická matematika • smysl a cíle funkce • reprodukce x  y = x • transformace x  y <> x • rozvoj x  y > x • spotřeba x  y < x • kapacita realizátora funkce

25. Kroky identifikace • nástroj produkční funkce (pokračování) • prostor = kde funkce působí (odpovídá složkám Vlčkovy definice systému) • jednotlivé části • funkce dvojic prvků = funkce spolupráce • funkce zřetězení prvků = funkce procesů • funkce v prostoru cílů chování = funkce formující účel • funkce v prostoru přežití druhu = funkce formující smysl existence • úroveň • technologická (základní, prostý popis fungování), ekonomizovaná (zahrnuje směnu v rámci rozložení bohatství nezbytnou pro fungování funkce), normová atd.

26. Kroky identifikace • stanovení metriky celého systému • získání hodnot prvků funkcí, procesů • závisí také na parametrech rozhraní vazeb mezi jednotlivými prvky • identifikace cílů procesů • „k čemu“ systém je • nejobecněji definováno jako vztah mezi zdroji a produkty, je možno sledovat nákladovou, příjmovou či obě stránky • základním cílem systému je přežití, udržitelný rozvoj • identifikace druhových předpokladů systému • silné funkce, dědičnost atd.