Endereços Úteis

2. Endereços Úteis • www.ufrn.br/olimpiada • www.obm.org.br • www.obmep.org.br

3. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA • PALESTRA • RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS • Prof. Benedito Tadeu V. Freire

4. INTRODUÇÃO  Na busca da solução de um problema, o primeiro passo é entender o problema. O que significa entender o problema?

6. Entender o problema é identificar, perfeitamente, o que é dado e o que o problema pede.

7. O QUE É A SOLUÇÃO DO PROBLEMA?

8. Asoluçãodo problemaé a argumentação que se faz, por passos lógicos, constituindo a ligação entre o(s) dado(s) e o que se pede.

9. Depois de entender perfeitamente o problema, inicia-se a fase seguinte, que é a da construção de uma estratégia de solução. As estratégias usadas na resolução de problemas são chamadas heurísticas. Quando se estuda heurística, o nome de referência é o do matemático húngaro George Polya (1877-1985).

10. George Polya (1877-1985).

11. George Polya (1877-1985).

12. Identificamos, a seguir, algumas das estratégias desenvolvidas por Polya, para serem aplicadas na resolução de problemas:

13. ANTES DE FAZER, TENTE ENTENDER! • Procure semelhanças com outros problemas  • Começar pelo fácil torna fácil o difícil • Faça um desenho e, dependendo da situação, pinte a figura. • Modifique o enunciado, para ver se lhe ocorre um caminho possível • Explore a simetria • Use um raciocínio por Redução ao Absurdo • Suponha o problema resolvido

14. Problema 1 Escreve-se no quadro-negro os números inteiros de 1 a 100. Dois jogadores disputam o seguinte jogo, em que jogam alternadamente. Uma jogada consiste em apagar um dos números escritos. O jogo termina quando restam somente dois números no quadro-negro. O primeiro jogador vence se a soma desses dois números é divisível por 3; o segundo jogador ganha caso contrário. Quem vence: o primeiro ou o segundo jogador? Qual a estratégia usada para vencer?

15. Problema 2 Qual é o maior número de ângulos agudos que um polígono convexo pode ter?

16. Problema 2 Solução A soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é igual a 360o. Portanto, no máximo três destes ângulos podem ser obtusos, caso contrário a soma seria maior do que 360o. Assim, o maior número de ângulos agudos em qualquer polígono convexo é 3.

17. Problema 3 Tem-se quarenta e três pedaços de palitos, cujos comprimentos são: 1, 2, 3, ... , 42, 43 centímetros, respectivamente. Diga, justificando, se é possível: (a)Formar um quadrado usando todos estes pedaços de palitos. (b) Formar um retângulo usando todos estes pedaços de palitos.

18. Problema 4 • Determine o número que fica imediatamente acima de 164 na disposição triangular seguinte: • 1 • 3 4 • 6 7 8 9 • 10 11 12 13 15 16 • ...................................................

19. Problema 5 Numa escola, 100 crianças contam suas economias. Elas verificam que o total de cada uma é um número inteiro de reais e que a quantia de todos varia de 1 e 100 reais, sendo que duas crianças quaisquer não possuem a mesma quantia. É possível dividir as crianças em dois grupos, de modo que nenhuma criança de qualquer um dos grupos tenha duas vezes a quantidade de reais que outra do mesmo grupo?

20. Problema 6 Um saco contém 12 bolas azuis, 9 vermelhas, 8 verdes e 6 amarelas. As bolas são todas idênticas, a menos da cor. Quantas delas temos de retirar do saco, aleatoriamente, para que tenhamos certeza de que: No mínimo 5 bolas têm a mesma cor? No mínimo 3 são verdes? No mínimo uma de cada cor?

21. Problema 7 Escreva um número em cada círculo da fila acima, de modo que a soma de três números quaisquer vizinhos (consecutivos) seja 12.

22. PROBLEMA 8 Considere um tabuleiro de xadrez (8 x 8) e 32 dominós de dimensão 2 x 1. Os dominós podem ser arranjados sobre o tabuleiro de modo a cobri-lo inteiramente, cada dominó cobrindo dois quadrados.Dois quadrados situados nos cantos do tabuleiro são retirados, veja Figura abaixo.

24. Diga, justificando, se 31 dominós cobrem completamente o tabuleiro reduzido.  

26. Problema 9 Dois amigos se divertem com o seguinte jogo.O primeiro jogador escreve no quadro-negro um inteiro de 1 a 8 inclusive. O segundo jogador escolhe um número qualquer de 1 a 8 inclusive, e escreve no quadro-negro a soma do número escolhido com o número que está no quadro-negro. A seguir, o primeiro jogador escolhe um número de 1 a 8 inclusive e soma este número ao último número no quadro, e assim eles vão jogando, alternadamente, até que um deles obtenha o número 46, vencendo o jogo. Quem vence o jogo? Qual é a estratégia para vencer?

27. PROBLEMA 10É muito popular um jogo de palitos para duas pessoas, que jogam alternadamente. Colocam-se 20 palitos sobre uma mesa. Uma jogada consiste na retirada de 1, 2 ou 3 palitos. O jogador que retirar o última palito perde. Qual é a estratégia para vencer o jogo?

28. PROBLEMA 11Os números de 1 até 20 são escritos em linha, numa folha de papel, deixando-se um pequeno espaço entre dois qualquer deles. Dois jogadores iniciam o jogo e jogam alternadamente. Uma jogada consiste em colocar um sinal + ou - entre dois desses números. Quando todos os sinais são colocados o resultado da expressão é calculado. O primeiro jogador ganha se o resultado é par, e o segundo ganha se o resultado é ímpar. Quem ganhará e qual a sua estratégia para vencer?

29. PROBLEMA 12Imagine que você tenha uma xícara de café e uma xícara de leite, com iguais quantidades de líquidos em cada xícara. Uma colher de leite é transferida da xícara de leite para a de café e misturada, e então uma colher da mistura é colocada na xícara de leite, de forma que no final a quantidade de líquido das duas xícaras permanece a mesma. Tem mais leite na xícara de café ou mais café na xícara de leite?

30. PROBLEMA 13Uma pessoa tem 10 sacos de moedas, e cada saco tem 10 moedas.Num dos sacos só há falsas e nos outros só há moedas verdadeiras.As falsas pesam 9 gramas e as verdadeiras 10 gramas.Apenas com uma pesagem, como descobrir qual o saco das moedas falsas?

31. Problema 14Temos dez sacos, cada um deles com muitas moedas.Alguns sacos, mas não sabemos quantos nem quais, estão cheios de moedas falsas.As moedas verdadeiras pesam dez gramas, enquanto as falsas pesam nove.Com uma só pesagem, é possível identificar todos os sacos que têm moedas falsas?

32. Problema 15Peça a um seu amigo, que escreva numa folha de papel um número qualquer de três dígitos distintos, e que faça o seguinte :inverta a ordem dos dígitos do número escrito,diminua o maior do menor,inverta a ordem dos dígitos do resto ,some os dois últimos números obtidos.Em seguida, sem você conhecer o resultado obtido pelo seu amigo, você pede a ele para:(i) abrir um livro na página correspondente aos dois últimos dígitos do número final por ele obtido (ii) ler, em voz baixa, a linha, contado de cima para baixo, correspondente aos dois primeiros dígitos obtidos. (iii) fechar o livro e entregar a você. Você, então, abre o livro e lê em voz alta a linha que o seu amigo leu. Como pode fazer isso ?