LA MATEMATICA DISCALCULIA, DIFFICOLT Á DI CALCOLO, DIFFICOLT Á DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI

1. LA MATEMATICADISCALCULIA, DIFFICOLTÁ DI CALCOLO,DIFFICOLTÁ DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI

2. IL NUMERO È LA SOSTANZA DELLE COSEPitagora…L’UNIVERSO… È SCRITTO IN LINGUA MATEMATICAGalilei

3. Da ventiseimilanove a NEI QUADERNIDI MATEMATICA… ASSENZA DI MONITORAGGIO: il risultato della sottrazione è superiore al valore di partenza (Marco, 11 anni) CONFUSIONE TRA PROCEDURE DI SOTTRAZIONE E ADDIZIONE (Giuseppe, 11 anni) IL PRESTITO DIVENTA RIPORTO (Matteo, 10 anni) ERRATA APPLICAZIONE DELLA STRATEGIA (Giuseppe, 11 anni) ERRORE DI TRANSCODIFICA (Fabio, 11 anni) 31-19:Io in mente li metto in colonna: 1 - 9 che non si può fare, poi si prende l’1 dall’altro numero che diventa 12, poi prendo un numero dall’altro numero e faccio la sottrazione, cioè, vedi, è un po’ complicato (Chiara, I anno Istituto Psicopedagogico)

4. Un’addizione con numeri interi… una divisione con numeri decimali Calcolo a mente… calcolo scritto… calcolo con sussidi (calcolatrice) CALCOLARE… • …in termini di apprendimento e di processi cognitivi coinvolti… • LEGGERE I NUMERI • COMPRENDERE LA NUMEROSITÁ(qual è il numero • più grande tra 2) • RECUPERARE LE TABELLINE E ALTRI FATTI • NUMERICI • APPLICARE LE PROCEDURE DI CALCOLO • (addizione, sottrazione…) ?

5. COMPRENSIONE dei principi che governano un determinato dominio e delle correlazioni tra aree di conoscenza e il dominio stesso INTELLIGENZA NUMERICA Apprendere la matematica… …sviluppare la CONOSCENZA CONCETTUALE

6. Competenze elementari legate alla RAPPRESENTAZIONE NUMERICA • PROCESSI PREVERBALI • PROCESSI DI CONTEGGIO CONOSCENZA (INTELLIGENZA) NUMERICA INTELLIGERE (capire, pensare) IL MONDO IN TERMINI NUMERICI Abilità innata e condivisa da uomo e animali

7. dalla nascita DISCRIMINARE IL NUMERO DI OGGETTI DI INSIEMI PRESENTATI VISIVAMENTE Il neonato non sa determinare il numero di elementi di un insieme MA • percepisce come differenti insiemi con numerosità distinte • distingue i cambiamenti di numerosità provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti (possiede aspettative aritmetiche) COME? SUBITIZING Processo specializzato di percezione visiva che consente di determinare la numerosità di un insieme visivo di oggetti (fino ad un massimo di circa 4) in modo immediato, senza contare NUMEROSITÁ (CARDINALITÁ) Il numero di elementi che costituisce un insieme

8. abilità matematiche di base (RAPPRESENTARE LA NUMEROSITÁ)geneticamente codificate e presenti fin dalla nascita: non è necessario apprenderle DIFFERENZE INDIVIDUALI Capacità più avanzate riconducibili all’istruzione: STRUMENTI CONCETTUALI FORNITI DALLA CULTURA DI APPARTENENZA- 1, 2, 3… - uno, due, tre… COMPETENZE LINGUISTICO-SIMBOLICHE MODULO NUMERICO (Butterworth, 1999) CIRCUITI CEREBRALI SPECIALIZZATI PER CATEGORIZZARE IL MONDO IN TERMINI DI NUMEROSITÁ (piccoli insiemi di oggetti, fino a 4-5 elementi)

9. dai 2 ai 6-8 anni Apprendimento basato sul concetto di NUMEROSITÁ PROCESSI DI CONTEGGIO Quanti sono? I PRINCIPI DEL “COME CONTARE” Gelman e Gallistel, 1978 CONOSCENZE INNATE basate sulla COMPETENZA NUMERICA VERBALE ORDINE STABILE: produrre le parole-numero ordinate in una sequenza fissa e inalterabile FINO A 100 A 6-8 ANNI CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: a ogni elemento dell’insieme contato deve corrispondere una sola parola-numero e viceversa 5 ANNI CARDINALITÁ: l’ultima parola numero usata nel conteggio rappresenta la numerosità dell’insieme 4 ANNI

10. LETTURA e SCRITTURA DEI NUMERI ABILITÁ DI CONTEGGIO Primo collegamento tra la competenza numerica innata e quella acquisita dall’interazione con l’ambiente • SCRITTURA • evolve gradualmente: • 3-4 a.: notazione con grado • informativo nullo per osservatore • esterno, ma con significato • personale per bambino • (FORMATO PITTORICO-FIGURATIVO) • 4-5 a.: notazione basata sulla • corrispondenza biunivoca • (SEGNI PIÚ O MENO ASTRATTI) • 5-6 a.: notazione convenzionale • (FORMATO NUMERALE) • LETTURA • evolve, prima della scrittura, gradualmente, da acquisizione del nome dei numeri a riconoscimento dei simboli arabici: • 3-4 a.: identificazioneerrata • (non attribuisce il nome corretto e • può confondere il segno grafico con • lettere o altri numeri) • 4-5 a.: lettura dei numeri più • semplici e frequenti • 5-6 a.: lettura corretta entro 10

11. Le tipologie di notazione numerica dai 3 ai 5 anni:ALCUNI ESEMPI

12. La sequenza di azioni per risolvere ciascun problema: ALGORITMI, ABILITÁ, STRATEGIE PROCEDURE DI CALCOLO Apprendere la matematica… …sviluppare la CONOSCENZA PROCEDURALE

13. Anche 1+3 fenomeno cognitivo complesso che richiede l’attivazione di diversi processi mentali 1 • I SEGNI DELLE OPERAZIONI • Per stabilire la natura dell’operazione • Per accedere ai FATTI NUMERICI qualora l’operazione lo consenta RISULTATI DI PROBLEMI ELEMENTARI (tabelline, addizioni semplici) ARCHIVIATI IN MLT CAPACITÁ DI CALCOLO INSIEME DEI PROCESSI CHE CONSENTONO DI OPERARE SUI NUMERI TRAMITE OPERAZIONI ARITMETICHE

14. RISULTATO RISULTATO RECUPERATO DALLA MEMORIA UTILIZZO DI PROCEDURE E STRATEGIE da LENTE PROCEDURE DI CONTEGGIO all’UTILIZZO DI UNA SERIE DI REGOLE APPLICATE IN MODO SEMPRE PI AUTOMATICO Nell’esecuzione di un compito aritmetico possono agire 2 TIPI DI STRATEGIE FATTI NUMERICI CALCOLO VS *TIPO DI OPERAZIONE *ETÁ *FAMILIARITÁ DELL’ESERCIZIO

15. STRATEGIE COSTRUTTIVE *n + 1 *raggruppamenti *scomposizioni *arrotondamenti a 10 *recupero fatti numerici UTILIZZA ed ESERCITA UTILIZZA ed ESERCITA APPLICAZIONE DI PROCEDURE PIÚ O MENO AUTOMATIZZATE LA CONOSCENZA PROCEDURALE NEL… CALCOLO A MENTE:opera scomposizioni sui numeri per ottenere operazioni intermedie più semplici • CALCOLO SCRITTO:determina… • la forma grafica della specifica operazione • l’incolonnamento dei numeri • la direzione spazio-temporale delle azioni (l’ordine di • recupero delle operazioni parziali dalla memoria) • il modo di utilizzare le operazioni parziali tramite le regole • vere e proprie

16. MA Come si integrano tali competenze? *CONOSCENZA NUMERICA *ABILITÁ DI CALCOLO I meccanismi di calcolo e manipolazione del sistema numerico possono avere origine solo quando I MECCANISMI PREVERBALI DI RICONOSCIMENTO DELLA QUANTITÁ  si sono sviluppati si sono integrati con gli apprendimenti relativi ai sistemi di CONTEGGIO, LETTURA e SCRITTURA

17. MECCANISMI DI CALCOLO MECCANISMI DI COMPRENSIONE DEI NUMERI MECCANISMI DI PRODUZIONE DEI NUMERI IL MODELLO MODULAREMcCloskey et al., 1985

18. Il SISTEMA DI COMPRENSIONE trasforma la struttura superficiale dei numeri (diversa a seconda del codice, verbale o arabo) in una rappresentazione astratta di quantità • Il SISTEMA DI CALCOLO assume questa rappresentazione come INPUT e la manipola attraverso il funzionamento di 3 componenti: • i segni delle operazioni • i fatti aritmetici o operazioni di base • le procedure di calcolo 3 = Il SISTEMA DI PRODUZIONE fornisce le risposte numeriche, l’OUTPUT del sistema del calcolo MODELLO SEMANTICO VIA SEMANTICA = unico accesso alla produzione numerica L’elaborazione di un numero comporta sempre una RAPPRESENTAZIONE CONCETTUALE comprensione della QUANTITÁ

19. MECCANISMI SEMANTICI Regolano la comprensione della quantità 3 = MECCANISMI LESSICALI Regolano il nome del numero 1 11 MECCANISMI SINTATTICI Grammatica interna = valore posizionale delle cifre • da U • 3 • 3 1 I 3 SISTEMI… …adoperano i codici UDITIVO (fonologico) e VISIVO (arabico e grafemico) …funzionano in base a… LA POSIZIONE cambia NOME e SEMANTE

20. LE COMPONENTI DELL’ABILITÁ DI CALCOLO ARITMETICO

21. LA DISCALCULIA EVOLUTIVA Sintomi delle difficoltà nell’elaborazione del numero (ICD-10 e DSM-IV) • incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni • mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici • mancato riconoscimento dei simboli numerici • difficoltà ad attuare le manipolazioni aritmetiche standard • difficoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema • aritmetico che si sta considerando • difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o • simboli durante i calcoli • scorretta organizzazione spaziale dei calcoli • incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le tabelline della • moltiplicazione

22. 1 • Debolezza nella strutturazione cognitiva delle componenti di COGNIZIONE NUMERICA = intelligenza numerica basale • subitizing • meccanismi di quantificazione • comparazione • seriazione • strategie di calcolo a mente CECITÁ PER I NUMERI Incapacità di comprendere e manipolare le numerosità Butterworth, 2005 2 Difficoltà nell’acquisizione delle PROCEDURE ESECUTIVE (lettura, scrittura e messa in colonna dei numeri) e degli ALGORITMI DEL CALCOLO (recupero dei fatti numerici e algoritmi del calcolo scritto). Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSAConsensus Conference(2007) 2 PROFILI DISTINTI DI DISCALCULIA

23. 20% della popolazione scolastica MA • DATI IARLD (International Academy for Research in • Learning Disabilities) • DIFFICOLTÁ NELLA COGNIZIONE NUMERICA IN • COMORBILITÁ CON ALTRI DISTURBI: 2,5% della • popolazione scolastica • DISTURBO DEL CALCOLO (DISCALCULIA): 0,5-1% della • popolazione scolastica ~ 90% delle segnalazioni FALSI POSITIVI = casi di generale difficoltà di apprendimento non di disturbo specifico del calcolo Perché questa distinzione? In Italia segnalati con difficoltà di calcolo 5 bambini per classe (~ 25 alunni)

24. RESISTENZA AL CAMBIAMENTO BUONI RISULTATI IN POCO TEMPO DISTURBO vs DIFFICOLTÁ ESITO INTERVENTO • DISTURBO DI CALCOLO • - base neurologica • comorbilità: dislessia, disortografia e disgrafia; • difficoltà nella soluzione di problemi • specificità: abilità generali e apprendimento in altri • ambiti adeguati DIFFICOLTÁ DI CALCOLO: profilo simile al disturbo

25. Studenti che non dovrebbero affatto incontrare difficoltà di apprendimento così consistenti Perché si riscontrano con una certa frequenza FORME DI DISAGIO GENERALIZZATO? PROFILI DI APPRENDIMENTO DEL CALCOLO SIMILI A QUELLI DEI SOGGETTI DISCALCULICI, IN ASSENZA DI TALE DEFICIT COGNITIVO • ATTEGGIAMENTO EMOTIVO-MOTIVAZIONALE: • ansia, resistenza al ragionamento matematico, timore di sbagliare • I DIVERSI ASPETTI DELL’APPRENDIMENTO • MATEMATICO S’INTERSECANO: • - la rappresentazione della quantità è sottesa a tutte le aree della • matematica • - soluzione di problemi e geometria richiedono operazioni di • calcolo • - il calcolo richiede la comprensione dell’operazione • …

26. in COMPRENSIONE e PRODUZIONE MECCANISMI LESSICALI MECCANISMI SINTATTICI ANALISI DEGLI ERRORI *SISTEMA DEI NUMERI *SISTEMA DI CALCOLO DAL MODELLO DI McCLOSKEY ERRORI NEL SISTEMA DEI NUMERI

27. In base al nome… • NUMERI PRIMITIVI • ELEMENTI MISCELLANEI (-cento; -mila; -milioni…): • si aggiungono ai primitivi a seconda della loro posizione • all’interno di un numero Posizione Classe INCAPACITÁ DI TROVARE L’ETICHETTA VERBALE ADEGUATA PUR INDIVIDUANDO CORRETTAMENTE LA CLASSE DIRE “cinque” PER “sette” LEGGERE “316” PER “319” UNITÁ TEENS DECINE 0 1^ 2^ 3^ 4^ 5^ 6^ 7^ 8^ 9^ venti trenta quaranta cinquanta sessanta settanta ottanta novanta dieci undici dodici tredici quattordici quindici sedici diciassette diciotto diciannove uno due tre quattro cinque sei sette otto nove ERRORI LESSICALI (nel dire il NOME del numero)

28. ERRORI DI TRANSCODIFICA dal codice arabico a quello verbale e viceversa: 13 PER 31; 154 PER 145 ERRORI SINTATTICI INCAPACITÁ DI STABILIRE I RAPPORTI TRA LE CIFRE IN UNA STRUTTURA SINTATTICA CORRETTA, pur rimanendo integra la capacità di codificare le singole cifre • Errori di conteggio dovuti al mancato controllo della struttura sintattica: 1, 2, 3, 4, 15, 15, 17…; 13, 14, 40, 41, 42… • Mancato riconoscimento del valore dello 0 nella transcodifica da codice verbale ad arabico: • DETTATO “centoquarantasette” SCRIVE 1047 • DETTATO “ventiseimilanove” SCRIVE 2609 • Gli elementi miscellanei vengono uniti ai primitivi come potenze di 10 oppure con relazioni additive: • RELAZIONI MOLTIPLICATIVE RESE ADDITIVE: “trecento”: 103; “tremilasettanta”:1073 • RELAZIONI ADDITIVE RESE MOLTIPLICATIVE: “centocinque”: 500; “centotrentadue”: 3200

29. ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO • ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI • ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI • PROCEDURE E STRATEGIE • ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE • ERRORI DOVUTI ALLE DIFFICOLTÁ VISUOSPAZIALI

30. ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO possono essere attivati anche I NODI CONTIGUI = risposte molto vicine a quella cercata ma scorrette FAR RIPETERE ESERCIZI IN CUI SI SONO VERIFICATI ERRORI automatizzo l’esercizio ma anche l’errore ! MA Ogni risposta numerica prodotta (corretta o sbagliata) registrata in memoria ASSOCIAZIONE TRA OPERAZIONE PROPOSTA E RISULTATO Aumenta la probabilità di comparsa ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI SISTEMA DEI NUMERI rappresentato in MLT come rete di informazioni Aschcraft, 1982 Il compito attiva i nodi genitori interessati fino ad attivare il nodo di intersezione tra i due (il risultato di operazioni elementari)

31. ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO 27 x 15 = 55 • Effetto INTERFERENZA, dovuti al lavoro parallelo dei due meccanismi di attivazione indispensabili per il recupero diretto: da parte dei due operatori e dell’operazione nel suo complesso ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI • Nelle TABELLINE… • ERRORI DI CONFINE, inappropriata attivazione di tabelline confinanti: 6 x 3 = 21 • ERRORI DI SLITTAMENTO, in cui una cifra è corretta e l’altra sbagliata: 4 x 3 = 11 • Effetto CONFUSIONE tra il recupero di fatti aritmetici di addizione e moltiplicazione: 3 + 3 = 9 • Effetto INFERENZA: la semplice presentazione di 2 cifre produce un’attivazione automatica della somma: 2 e 4  6

32. ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO REGOLE DI ACCESSO RAPIDO AL RISULTATO DETERMINANO SOVRACCARICO DEL SISTEMA DI MEMORIA: dispendio di energia e accumulo di informazioni in memoria  decadimento mnestico ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI PROCEDURE E STRATEGIE • Non utilizzo delle procedure di conteggio facilitanti: • 3 + 5  partire a contare da 5 per aggiungere 3 • Confusione tra semplici regole di accesso rapido • n x 0 = 0 e n + 0 = n • Incapacità di tenere a mente i risultati parziali

33. ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO • Difficoltà nella condotta da seguire per la specifica operazione e nel suo mantenimento fino alla risoluzione • 75 – 6 = 71  dimenticata regola direzione • Difficoltà nell’applicazione delle regole di prestito e riporto: • 75 – • 58 = • 20 unità: 5 – 8 = 0 decine: 7 – 5 = 2 ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE • Difficoltà nella scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle quattro operazioni:incolonnamento o meno, posizione dei numeri… • Difficoltà nel passaggio ad una nuova operazione: • perseverazione nel ragionamento precedente • Difficoltà nella progettazione e verifica: • immediato svolgimento dell’operazione senza soffermarsi ad individuare difficoltà e strategie da utilizzare

34. ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO ERRORI VISUOSPAZIALI • Difficoltà nel riconoscimento dei segni di operazione • Difficoltà nell’incolonnamento dei numeri • Difficoltà nel seguire la direzione procedurale

35. SPUNTI DI LAVORO Il quaderno delle regole Co-costruzione di schemi fruibili dal ragazzo • USO DEGLI STRUMENTI COMPENSATIVI • Tabella pitagorica • Calcolatrice • Formulario • …E DISPENSATIVI • Tempi di lavoro più lunghi • Riduzione del carico di lavoro

36. Alcuni esempi…

37. Alcuni esempi…

38. ? STUDENTI CHE PUR NON AVENDO PROBLEMI PARTICOLARMENTE ACCENTUATI NEL CALCOLO NON RIESCONO A RISOLVERE I PROBLEMI ! Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSAConsensus Conference(2007): NON INCLUDE SOLUZIONE DI PROBLEMI CATTIVA EDUCAZIONE DELLA PRASSI DI SOLUZIONE DEI PROBLEMI CAUSATO DA PROBLEM SOLVING Le difficoltà nella soluzione dei problemi matematici… * dipendono dalle difficoltà di calcolo? * richiedono abilità diverse e specifiche?

39. FLUSSO COGNITIVO CHE TRASFORMA IL TESTO VERBALE IN UNA STRUTTURA LOGICA MATEMATICA RISOLVERE UN PROBLEMA PROCESSO DINAMICO DI PENSIERO DIFFICOLTÁ? NO DISTURBO SPECIFICO…MA… *DISTURBO SECONDARIO dovuto a deficit nelle competenze generali (INTELLIGENZA, MEMORIA, ATTENZIONE…) *“QUESTIONE DI FLUSSO DI APPRENDIMENTO” dovuto a inciampo in una delle componenti del flusso  educabile

40. = CAPIRE UN PROBLEMA RISOLVERE UN PROBLEMA ancorata a COMPRENSIONE ma non implicita in essa Quali sono le componenti che garantisconoIL FLUSSO COGNITIVO? COMPRENSIONE CATEGORIZZAZIONE PRODUZIONE

41. COMPRENSIONE DEL TESTO MATEMATICO RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO DEL PROBLEMA CATEGORIZZAZIONE FLUSSO DI SOLUZIONE LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO FLUSSO DI COMPRENSIONE

42. DOMANDAriorganizza il testo verbale (“3 bambini giocano a biglie”) e lo trasforma in una struttura matematica ! CATTIVI SOLUTORI restano sulle informazioni verbali del testo RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO DEL PROBLEMA, cioè dello schema in cui è traducibile la relazione funzionale dei dati alla domanda LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO COMPRENSIONE DEL TESTO MATEMATICO (non verbale): identificazione dei dati in relazione alla logica della domanda • Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11. • Chi ne ha di più? • Quante biglie hanno in tutto? M = 3 + A; M = G – 7; G = 11 (M + A + G)

43. riconosco la struttura matematica profonda del problema come simile a quella di altri problemi, indipendentemente dalle differenze a livello verbale ! BUONI SOLUTORI riunisconoi problemi con la stessa struttura profonda VS CATTIVI SOLUTORI noperché restano sulle informazioni verbali del testo LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO CATEGORIZZAZIONE: identificazione dello schema matematico di soluzione

44. FLUSSO DI COMPRENSIONE MONITORAGGIO PIANIFICAZIONE VALUTAZIONE LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO FLUSSO DI SOLUZIONE: processi strategici e metacognitivi

45. (M + A + G) SCHEMA MATEMATICO Da… 1) G (11) …trovo… 2) M (11-7 = 4) …trovo… 3) A (4 + 3 = 7) sostiuisco alla struttura matematica profonda le operazioni di calcolo nell’ordine che le rende matematicamente possibili LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO PIANIFICAZIONE (fase principale del flusso di soluzione): riorganizza la relazione tra i dati in modo da farla corrispondere alla successione corretta di operazioni di calcolo Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11. Quante biglie hanno in tutto?

46. CONSENTE DI STABILIZZARE L’APPRENDIMENTO DEL FLUSSO ! Apprendimento del flusso è innaturale (VS comprensione verbale) va educato FARLO RIFARE MENTALMENTE COME PROCESSO DI CONTROLLO LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO MONITORAGGIO: sistema di controllo durante lo svolgersi del flusso VALUTAZIONE: sistema di controllo del flusso a soluzioni ottenute