Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale

1. Calcolo Elettromagnetico Intensivo per la soluzione di problemi basati su formulazione integrale Antonello Tamburrino, Salvatore Ventre Ass. EURATOM/ENEA/CREATE, DAEIMI, Università di Cassino, Italy Flavio Calvano, Guglielmo Rubinacci Ass. EURATOM/ENEA/CREATE, DIEL, Università di Napoli Federico II, Italy

2. Sommario • Introduzione • Il problema di riferimento • Velocizzazione del calcolo • Risultati • Conclusioni e prospettive

3. Introduzione • Calcolo elettromagnetico • Progetto di sistemi elettrici/elettronici: macchine elettriche, dispositivi micro e nano, dispositivi fusionistici • Equazioni di governo • Full Maxwell o sue approssimazioni quasi statiche • Calcolo intensivo • Full 3D modelling, Effetti non lineari, Parti in movimento • Tecniche veloci e codice parallelo • Compressione e parallelizzazione

4. Il Problema di riferimento Calcolo degli sforzi elettrodinamici in un turbo generatore R. Albanese, F. Calvano, G. Dal Mut, F. Ferraioli, A. Formisano, F. Marignetti, R. Martone, G. Rubinacci, A. Tamburrino, S. Ventre, “Electromechanical Analysis of End Windings in Turbo Generators”, presented at the 14th IGTE Symposium, Graz (Austria), 2010.

5. Formulazione Integrale del problema magnetostatico M magnetizzazione incognita (1) BS è l’induzione magnetica prodotta correnti (imposte) sul rotore e sullo statore Vf è la regione dello spazio occupata dal materiale magnetico (di statore e rotore) Vf rappresenta la frontiera di Vf (2) Equazione costitutiva non lineare (senza memoria) Sostituendo la (2) nella (1) (3)

6. Modello numerico La soluzione della (3) come convergenza a punto fisso è una contrazione IncognitaM Shape function Galerking diventa Il termine

7. Definizione delle matrici ; Matrici Numeriche Matrice Piena Ciclo k=0, calcola usando applica la relazione caratteristica per il calcolo di Se la differenza tra e è piccola ci si ferma, altrimenti si ritorna al punto 1.

8. Problematiche numeriche nello schema di calcolo Calcolo dell’induzione prodotta dalle sorgenti imposte assemblaggio della matrice piena calcolo del prodotto matrice piena per vettore Per il punto 2. due la memoria e il calcolo cresce come O(n2) dove n è il numero di incognite pari a 3 volte il numero di elementi Il tempo di calcolo del passo 3. cresce come O(n2) Il passo 3. va ripetuto per ogni passo del ciclo

9. Velocizzazione del calcolo • Parallelizzazione del codice • Le macchine multicore sono poco costose • Sono presenti strumenti e librerie parallele collaudate • Utilizzo di architetture parallele (ad esempio Gridcomputing ) Miglioramenti proposti • La matrice W calcolata suddividendo in maniera equilibrata il carico sui processori • La matrice E trattata efficacemente • a) Assemblaggio equilibrato • b) Compressione • c) Distribuzione equilibrata della memoria • d) Calcolo E*M equilibrato

10. Velocizzazione del calcolo • Trattamento della matrice E • Una parallelizzazione semplice è inefficace • Il costo computazionale dipende quadraticamente dalle incognite T(Ns)= T(Np) Usando p processori (ideale) Tp(N)=O(N2/p) E’ necessario Algoritmo lineare per avere uno speedup lineare Sparsificazione della matrice E

11. Velocizzazione del calcolo OBIETTIVO Integrare in maniera efficiente il metodo di compressione in una implementazione parallela Fattori determinanti le prestazioni • Assembly balancing • Memory balancing • Computation balancing

12. Metodo Veloce Sparsificazione di E (con complessità quasi lineare) • Introduzione di una griglia multilivello che include tutta la mesh • Decomposizione in parte vicina e lontana • Calcolo e compressione della parte lontana, ottenuta secondo una tolleranza assegnata (precisione) • Calcolo esatto della parte vicina

13. Metodo Veloce Introduzione Griglia Multilivello

14. Metodo Veloce . Decomposizione in parte vicina e lontana Calcolata senza errori Matrice di interazione locale tra due box lontane ib1 e ib2 Basso rango # totale di interazioni lontane approssimata

15. Metodo Veloce Compressione QR approssimata della matrice di interazione Siano me and m (ne and n) rispettivamente il numero degli elementi e delle incognite in ib1 (in ib2). r×n m×n m×r ≈ Q R r rango che dipende dalla errore richiesto (Modified Gram-Schmidt QR) (m+n) × r << m×n. EFFICIENTE Si osservi che Memory Required e ComputationTime sono uguali a (m+n) × r

16. Metodo Veloce Implementazione Parallela di EFAR Costo assemblaggio della matrice di interazione locale Costo Totale assemblaggio Distribuire il carico di in maniera equilibrata su p processori Assembly balancing

17. Metodo Veloce Algoritmo di distribuzione dei carichi Problema con complessità esponenziale risolto usando algoritmo sub-ottimo Costo di assemblaggio del k-simo processore In uscita Int2proc(i) fornisce il processore a cui compete l’interazione i Prestazioni dell’algoritmo sub-ottimo

18. Metodo Veloce Memory /Computation balancing di Lfar Sono automaticamente verificati se la dimensione del problema è sufficientemente grande (problemi di interesse per il parallelo) Non c’è bisogno di ulteriori comunicazioni Memory/Computation balancing ottenuti automaticamente

19. Risultati Contract AenGe_CiFe10 CREATE-Ansaldo Energia 2009/10

20. MMFs in phase MMFs in quadrature Computational Cost MMFsopposite No. of elements: 11038 No. of unknows: 33114 No. of iterations: 500 Iteration time: 0.39s Preproc. time: 2792s Machine: ALTIX 4700 N proc.: 32 CPU: Dual Core Montecito (IA-64) @1,6 GHz, 8MB L3 cache and 533 MHz Bus

21. Risultati Validazione del metodo con codice commerciale Radial component of the magnetic induction Br (in Tesla) in function of the angular coordinate  (in deg): comparison between the 3D integral formulation (--) and the 2D commercial code (continuous line) calculated at z=2.4.

22. Conclusioni e prospettive • Utilizzando la sparsificazione SVD e la sua parallelizzazione è possibile studiare strutture la cui una complessità computazione non è altrimenti affrontabile dai codici attualmente disponibili: • dettagliata descrizione della geometria • Validazione con codice commerciale • Attività corrente: estensione del metodo (sparsificazione + parallelizzazione) al problema delle eddy-current

23. Grazie per l’attenzione ……