Determinare l’equazione della parabola

1. Determinare l’equazione della parabola A cura di Calò

2. Cosa dobbiamo conoscere? Per determinare l’equazione di una parabola il testo deve indicare: • l’asse di simmetria. • tre punti non allineati della parabola oppure vertice e un punto della parabola

3. Quali modelli? • Se il testo indica che l’asse di simmetria è parallelo all’asse delle y il modello sarà y=x2+bx+c • Se il testo indica che l’asse di simmetria è parallelo all’asse x il modello sarà x=y2+by+c

4. Come si determinano i parametri?Parabola noti tre punti non allineati • Se il problema ci da tre punti della parabola,A, B,C tanti quanti sono i parametri (a,b,c) bisogna • 1-sostituire alla x e alla y del modello le coordinate di A( condizione di appartenenza) • 2- sostitiuire alla x e alla y del modello le coordinare di B ( condizione di appartenenza) • 3- sostitire alla x e alla y del modello le coordinate di C ( condizione di appartenenza) • Svolgere il sistema lineare delle tre equazioni per trovare i parametri a,b,c • Sostituire al modello i parametri a , b, c ottenuti dal sistema e trovare così l’equazione della parabola

5. Esempio • Determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y passante per A(2,0) B( -1,-1) C( 1,0) • Il modello sarà y=ax2+bx+c • Sostitisco A al modello 0=4a+2b+c • Sostituisco B al modello -1= a-b+c • Sostituisco C al modello 0= a+b+c • La soluzione del sistema delle tre equazioni mi darà i valori a , b, c che verranno sostituiti al modello

6. Parabola noti vertice e un punto • Se il problema ci da il vertice V e un punto A, è possibile trovare il terzo punto A’, simmetrico di A, e poi si procede come prima Nota : esistono anche altri metodi ma utilizzeremo solo questo

7. Esempio • Deterninare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y di vertice V=(2,0) e passante per A=(0,4) • Il simmetrico di A ( ti puoi aiutare con il grafico) è A’= ( 4,4) • Il modello è y= ax2+bx +c • Sostituisco A al modello 4= c • Sostituisco V al modello 0= 4 a + 2b+c • Sostituisco A’ al modello 4= 16 a + 4b+c • Svolgo il sistema delle tre equazioni e ottengo a,b, c • Sostituisco al modello i valori a,b,c

8. Casi elementari Esempio • Determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria l’asse y con vertice in ( 0,4) e passante per A( 1,2). • Qui il modello è y=ax2+b • Sappiamo subito che è b=4 perché (0,b) è il vertice. • Per conoscere il parametro a basta sostituire al modello A ed svolgere l’equazione. Rifletti: occorre stabilire correttamente il modello e poi procedere alle sostituzioni

9. Caso elementare Esempio • Stabilire l’equazione della parabola con asse di simmetria l’asse y e vertice nell’origine passante per A= (-1,-4) • Il modello è y= a x2 • Per conoscere il parametro a basta sostituire A al modello Rifletti: occorre stabilire correttamente il modello e poi procedere alle sostituzioni