Prodor valjka i kugle

1. S” x S’ Prodor valjka i kugle Prodorna krivulja kugle i rotacijskog valjka prostorna je krivulja 4. reda. Dvije koaksijalne rotacijske plohe prodiru se uvijek u kružnicama. Ravnine su tih kružnica okomite na njihovu zajedničku os. Ako je polumjer kugle jednak polumjeru baze valjka, dvije kružnice padaju zajedno  kugla dira valjak. S” x S’

2. S’ Prodor valjka i kugle S” S” x x S’

3. 2” 4” a2 3” 1” 1’=2’ s1 3’=4’ g1 N” Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna. e” S” Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica. Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2. x M” Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka. e’ U ravnini  nalazi se najviša i najnižatočka prodorne krivulje. S’ U ravnini  leže konturne točke valjka, M’=N’

4. 2” 4” 3” 1” 1’=2’ r1 s1 3’=4’ g1 N” Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna. e” S” Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica. Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2. x M” Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka. e’ U ravnini  nalazi se najviša i najnižatočka prodorne krivulje. S’ U ravnini  leže konturne točke valjka, M’=N’ a u ravnini P konturne točke kugle.

5. 2” 4” 3” 1” b1 1’=2’ r1 s1 3’=4’ g1 d1 N” Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna. e” S” Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica. Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2. x M” Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka. e’ U ravnini  nalazi se najviša i najnižatočka prodorne krivulje. S’ U ravnini  leže konturne točke valjka, M’=N’ a u ravnini P konturne točke kugle. Granične ravnine  i B tangencijalne su ravnine valjka.

6. 2” 4” 3” 1” 1’=2’ 3’=4’ g1 N” Prodor valjka i kugle ako plohe nisu koaksijalne Iz projekcija je vidljivo da valjak prolazi kroz kuglu (potpun prodor), pa je prodorna krivulja 4. reda dvodijelna. e” S” Tlocrt prodorne krivulje 4. reda jest dvostruko brojena kružnica. Za konstrukciju je točaka prodorne krivulje najpovoljnije koristiti metodu presječnih ravnina paralelnih s 2. x M” Prodorna je krivulja simetrična u odnosu na dvije ravnine: horizontalnu A točkom S te vertikalnu , koja sadržava središte kugle i os valjka. e’ U ravnini  nalazi se najviša i najnižatočka prodorne krivulje. S’ U ravnini  leže konturne točke valjka, M’=N’ a u ravnini P konturne točke kugle. Granične ravnine  i B tangencijalne su ravnine valjka.

7. S” S” S’ S’ M’ M’ Prodor valjka i kugle – središte kugle ne leži na osi valjka Ako baza valjka dira tlocrtnu konturu kugle, prodorna je krivulja jednodijelna s dvostrukom točkom. Ako je zajednička ravnina simetrije paralelna s 2, nacrt je prodorne krivulje krivulja 2. reda. Ako baza valjka siječe tlocrtnu konturu kugle, prodorna je krivulja jednodijelna. S” S’ M’

8. S” x S’ Prodor stošca i kugle Prodorna krivulja kugle i rotacijskog stošca prostorna je krivulja 4. reda, koja se raspada na dvije kružnice ako su plohe koaksijalne. Može se dogoditi da te dvije kružnice padnu zajedno  kugla dira stožac. S” x S’

9. S’ Prodor stošca i kugle S” S” x x S’

10. V’’’ O’’’ s1 Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V” Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu. Uputa. Ravnina , određena središtem O kugle i osi SV stošca, zajednička je ravnina simetrije tih ploha. O” x Nužno je konstruirati: S” • točke na tlocrtnoj konturi kugle O’ V’=S’

11. V’’’ O’’’ g1 s1 Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V” Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu. Uputa. Ravnina , određena središtem O kugle i osi SV stošca, zajednička je ravnina simetrije tih ploha. O” x Nužno je konstruirati: S” • točke na tlocrtnoj konturi kugle • točke na nacrtnoj konturi stošca Napomena. Točke na nacrtnoj konturi kugle nije moguće točno konstruirati (ravnina ). O’ V’=S’

12. V’’’ O’’’ s1 Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V” Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu. O” x S” O’ V’=S’

13. s1 Prodor stošca i kugle – središte kugle nije na osi stošca V” Zadane su projekcije rotacijskog stošca i središte kugle O. Polumjer kugle odrediti tako da plohe s prednje strane imaju zajedničku dirnu ravninu. O” x S” Prodorna krivulja može biti jednodijelna bez dvostruke točke te dvodijelna. O’ V’=S’

14. k2 p” A” U” O”=C”=D” S” B” x D’ p’ U’ S’ O’ B’ A’ C’ k1 Prodor dviju kugala Prodorna krivulja dviju kugala krivulja je 4. reda raspadnuta na dvije kružnice, od kojih je jedna uvijek beskonačno daleka imaginarna (tzv. apsolutna kružnica). U” S” Spojnica se središta kugala naziva centrala. x Ravnina se zajedničke kružnice dviju kugala okomita na centralu zove kordalna ravnina tih kugala. S’= U’ Ako je centrala paralelna s 2, kordalna je ravnina druga projicirajuća.

15. k2 p” A” O”=C”=D” B” D’ p’ O’ B’ A’ C’ k1 Prodor dviju kugala Prodorna krivulja dviju kugala krivulja je 4. reda raspadnuta na dvije kružnice, od kojih je jedna uvijek beskonačno daleka imaginarna (tzv. apsolutna kružnica). U” U” S” x S” Spojnica se središta kugala naziva centrala. x Ravnina se zajedničke kružnice dviju kugala okomita na centralu zove kordalna ravnina tih kugala. U’ S’ S’= U’ Ako je centrala paralelna s 2, kordalna je ravnina druga projicirajuća.

16. O0 . O” a2 D’ a1 d1 B’ O’ s3 r1 A’ . U’’’ C’ A’’’ C’’’=D’’’=O’’’ B’’’ S’’’ g3 Prodor dviju kugala kojima je centrala u općem položaju S”  (S, r1);  (U, r2) U” Tragovi se kordalne ravnine određuju pomoću stranocrta. Kugle se prodiru u kružnici koja leži u ravnini A. 1x2 – određuje tlocrtne konturne točke kugle  – određuje tlocrtne konturne točke kugle  U’ P – određuje nacrtne konturne točke kugle  S’  – određuje nacrtne konturne točke kugle  1x3

17. O0 . O” a2 D’ a1 O’ . U’’’ C’ A’’’ B’’’ S’’’ Prodor dviju kugala kojima je centrala u općem položaju S”  (S, r1);  (U, r2) U” Tragovi se kordalne ravnine određuju pomoću stranocrta. Kugle se prodiru u kružnici koja leži u ravnini A. 1x2 – određuje tlocrtne konturne točke kugle  – određuje tlocrtne konturne točke kugle  U’ P – određuje nacrtne konturne točke kugle  S’  – određuje nacrtne konturne točke kugle  1x3

18. . O” a2 a1 O’ . U’’’ A’’’ B’’’ S’’’ Prodor dviju kugala kojima je centrala u općem položaju S”  (S, r1);  (U, r2) U” 1x2 U’ S’ 1x3

19. C” A” O” B” k1 B’ a1 O’=C’=D’ b1 A’ Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i . (r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1) 1x2 S” U” S’ U’

20. C” r2 A” O” B” r1 B’ s3 a1 O’=C’=D’ b1 A’ r3 Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i . (r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1) 1x2 S” U” k1 • za konstrukciju se presjeka koristi stranocrt S’ • r3 i s3 zadani su proizvoljno U’ 1x3

21. s2 C” r2 A” O” B” r1 B’ s3 a1 O’=C’=D’ b1 A’ r3 Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i . (r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1) 1x2 S” U” = s1 k1 • za konstrukciju se presjeka koristi stranocrt S’ • r3 i s3 zadani su proizvoljno U’ 1x3

22. C” A” O” B” B’ s3 O’=C’=D’ A’ r3 Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i . (r1 = s1 podudara se s prvim tragom kordalne ravnine k1) 1x2 S” U” • za konstrukciju se presjeka koristi stranocrt S’ • r3 i s3 zadani su proizvoljno U’ 1x3

23. Primjena Prikazati dijelove kuglinih ploha omeđenih njihovom prodornom krivuljom i presječnim krivuljama ravninama P i . 1x2 Na temelju ovog je zadatka izgrađen sistem kuglinih ljusaka na zgradi Opere u Sidneyu (Australija). Kuglini se segmenti spojeni u obliku školjki uzdižu do visine od 67 m.

24. Zgrada Opere u Sydneyu (Australija)

25. Zgrada opere u Sydneyu (Australija)

26. Metoda koncentričnih kugala Metoda se sastoji u postavljanju kugala različitih polumjera sa zajedničkim središtem u sjecištu osi danih rotacijskih ploha. Traži se prodor pojedine kugle s jednim i drugim valjkom. • Metoda se koristi ako vrijedi sljedeće: • plohe su rotacijske • osi se ploha sijeku • zajednička ravnina simetrije paralelna je s ravninom projekcije Kugla upisana u širi valjak  obratišta prodorne krivulje. Zajednička ravnina simetrije valjaka paralelna je s 2  nacrt je prodorne krivulje hiperbola. Ako uži valjak proširimo tako da valjci imaju jednake polumjere, prodorna se krivulja raspada na dvije elipse (57-14). U projekciji su to asimptote hiperbole. Napomena. Tlocrtnu projekciju ovog prodora nepotrebno je crtati. Zašto?

27. Metoda koncentričnih kugala