Rovinné nosníkové soustavy

1. Stavební statika, 1.ročník kombinovaného studia Rovinné nosníkové soustavy • Složené rovinné nosníkové soustavy • Statická určitost a neurčitost rovinných soustav • Gerberův nosník • Trojkloubový rám • Trojkloubový rám s táhlem Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2. Staticky neurčité konstrukce Přímý staticky neurčitý nosník podepřený na více než dvou podporách, z nichž pouze jedna je pevná a ostatní posuvné Spojitý nosník: a b c d d a b c Rám: a b c

3. Rovinné složené nosníkové soustavy Vzniknou spojením tuhých desek (prutů) navzájem klouby nebo táhly. Spojitý nosník: a b c d d a b c Rám: b c

4. Jednoduché klouby – vnitřní vazba dvojnásobná Složky interakcí ve vnitřní vazbě, spojující navzájem dva tuhé pruty Počet tuhých prutů spojených kloubem: np = 2 Rcx +x tuhý prut Rcz Rcz c +z Rcx tuhý prut Vnitřní kloub, spojující navzájem dva tuhé pruty Klouby spojující dvě tuhé desky - zabraňují vzájemnému posunu konců připojených tuhých prutů v ose x a z. (→ dvě silové vazby = interakce). Klouby nezabraňují vzájemnému natočení konců prutů (moment = 0). vi= 2

5. Klouby spojující více než dvě tuhé desky +x Kloub spojující tři tuhé desky (np=3) ruší soustavě 4 stupně volnosti (4násobná vnitřní vazba) tuhýprut +z c tuhý prut Vnitřní vazba, spojující navzájem tři tuhé pruty tuhý prut Obecně: vi= 2.(np - 1) S každým přidaným prutem přibývají soustavě dvě vnitřní silové vazby (nebo-li přidáme soustavě jeden stupeň volnosti – moment)

6. VNĚJŠÍ VAZBY VNITŘNÍ VAZBY 1 Raz nebo 1 Raz Raz nebo Rax Rax 2 Raz Raz Ma 2 Raz Ma 3 Rax Raz

7. Stupeň statické neurčitosti složené soustavy v rovině nv = v staticky i kinematicky určitá soustava nv < v staticky neurčitá,kinematicky přeurčitá soustava nv > v staticky přeurčitá,kinematicky neurčitá soustava Tuhá deska v rovině – 3° volnosti Soustava tuhých desek (p) navzájem spojených klouby → celkem p . 3° volnosti Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině: Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem) Celkový počet vazeb = celkový počet odebraných stupňů volnosti soustavě: Stupeň statické neurčitosti

8. Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Most přes řeku Ostravici, 3 pole, 2 vnitřní klouby, Černá louka, Ostrava

9. Další ukázky spojitého nosníku s vloženými klouby Ocelový most přes řeku Odru z r.1980, délka 130 m, hmotnost 2.840 t, Ostrava - Svinov

10. Příklady – určete stupeň statické neurčitosti Příklady – stupeň statické neurčitosti

11. Základní typy staticky určitých nosníkových soustav v rovině xz a) Spojitý nosník s vloženými klouby (tzv. Gerberův nosník) Vložením kloubů do spojitého nosníku tak, že vznikne nosník staticky určitý→ Gerberův nosník. Vnitřní klouby nelze vkládat libovolně. Heinrich Gerber(1832 - 1912)významný německýkonstruktérocelových mostů (a) b) Trojkloubový rámnebo oblouk (b) Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav

12. Gerberův nosník - stupeň statické neurčitosti spočtěte počet tuhých desek a vynásobte třemi sečtěte vnější reakce spočtěte klouby a vynásobte dvěma F3 F1 F2 e f Rax a d c b Raz Rdz Rbz Rcz F3 F4 F1 F2 Mc c d e Rcx a b a Rcz Raz Rbz

13. Gerberův nosník - stupeň statické neurčitosti spočtěte počet tuhých desek a vynásobte třemi sečtěte vnější reakce spočtěte klouby a vynásobte dvěma F3 F1 F2 e f Rax a d c b Raz Rdz Rbz Rcz F3 F4 F1 F2 Mc c d e Rcx a b a Rcz Raz Rbz

14. Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku Platí následující pravidla: a) v krajním poli s kloubově podepřeným nebo převislým koncem smí být nejvýše 1 kloub k1 k2 a b c d b) v krajním poli s vetknutým koncem musí být alespoň 1 a smí být nejvýše 2 klouby k1 k2 k3 a d b c k1 k2 k3 d a b c

15. Správné rozvržení kloubů na spojitého nosníku c) ve vnitřním poli smí být nejvýše 2 klouby k1 k2 a b c d d) ve dvojici sousedních polí musí být alespoň 1 kloub (nesmí sousedit 2 pole bez vložených kloubů) k1 k2 a b c d e) ve dvojici sousedních polí, z nichž jedno je krajní s vetknutým koncem, musí být alespoň 2 klouby k1 k2 k3 a d b c k1 k2 k3 d a b c

16. Pohyblivý mechanismus – výjimkové případy Na nosníku nesmí vzniknout nestabilní část – pohyblivý mechanismus. Vzniká v důsledku nedodržení předchozích pravidel. k2 a b c k1 d k1 k3 a b c k2 d k1 k3 a b c k2 d Pohyblivý mechanizmusObr. 9.3. / str. 146

17. Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci a) krajní pole bez kloubů, vnitřní pole s 2 klouby k1 k2 a b c d b) krajní pole s 1 kloubem, vnitřní bez kloubů k1 k2 a b c d c) první (krajní) pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu k1 k2 a b c d Nosníky nesoucí (červená tlustá čára) a nesené (černá tenká čára).

18. Typické způsoby rozvržení kloubů v konstrukci Nesoucí nosníky (červená tlustá čára) – dostatečně podepřeny vnějšími vazbami, nosná funkce zachována i při odstranění nesených nosníků. Nesené nosníky (černá tenká čára) – podepřeny také konci nosníků nesoucích Případ (c) nedoporučuje, při vyřazení jediného nesoucího nosníku hrozí řetězové zhroucení celé konstrukce. (a) (b) (c) Tři typické způsoby rozvržení vložených kloubů ve spojitém nosníkuObr. 9.4. / str. 147 Spojitý nosník s vloženými klouby

19. Krajní pole bez kloubu, v ostatních polích po 1 kloubu Centrum pokročilých technologií, VŠB-TU Ostrava, realizace 2007

20. Postup při řešení spojitého nosníku s vloženými klouby a) Nejdříve vyřešit osovou úlohu – veškeré vodorovné zatížení přebírá jediná vodorovná složka reakce v pevné podpoře. b) Rozdělení spojitého nosníku na dílčí pole - nosníky nesoucí a nesené. (Postup montáže x postup výpočtu reakcí). c) Odhad směrů svislých vnějších reakcí v podporách a vnitřních interakcí v kloubech. e)Výpočet začít vždy na neseném nosníku. Z momentových podmínek rovnováhy k podporovým bodům určit reakce v podporách a interakce v kloubech daného pole. (a) f) Přejít s výpočtem do dalšího pole nosníku, nesoucí nosník zatížit akcemi nesených nosníků (silou stejně velkou a opačně orientovanou), a opět z podmínek rovnováhy určit reakce a interakce. (b) Rozklad spojitého nosníku s klouby na nosníky nesoucí a nesené - příčná úloha

21. Rcx Příklad 1 – ověření statické určitosti soustavy Fz q = 5 kNm–1 F = 8 kN M = 7 kNm Mc a = 70° Fx k2 f b e c d a k1 Rcz 1 2 2 2 Raz 3 2 3 3 4 Rbz Dokažte, že je úloha staticky určitá

22. Rcx Příklad - Výpočet vodorovné reakce Rcx a normálové síly Fx = F · cos a = 2,736 kN Fz = F · sin a = 7,518 kN Fz q = 5 kNm–1 F = 8 kN M = 7 kNm a = 70° Fx k2 f b e c d a k1 1 2 2 2 SFx = 0: –Fx + Rcx = 0 Rcx = Fx Rcx = 2,736 kN (→) 3 2 3 3 4 Průběh normálových sil: +2,736 N 0 (+) [kN]

23. Mc Raz Rcz Rbz d a Raz b k1 Rbz Mc k2 c Rcz Příklad – rozklad na nesoucí a nesené nosníky I II III k2 b d c a k1 …..snažíme odhadnou správný směr reakcí Řešíme nejprve reakce nesených nosníků. Uplatní se 3. Newtonův zákon – akce a reakce.

24. Příklad – výpočet reakcí v příčné úloze Fz = 7,518 kN q = 5 kNm–1 e k2 b k1 Rbz Rk1 = 6,25 kN opačným směrem než reakce na I Rk2 1 2 3 3 Mc M = 7 kNm Rk2 = 3,756 kN opačným směrem než reakce na II f k2 c 2 2 4 Rcz Reakce z podmínek rovnováhy oddělených nosníků q = 5 kNm–1 I  Mi,a = 0,  Mi,k1 = 0, kontrola: ∑Fiz = 0 k1 d a Raz = 6,25 kN Rk1 31,25 kN = 3 2 II  Mi,b = 0,  Mi,k2 = 0, kontrola: ∑Fiz = 0 =5,012 kN = 3,756 kN (↑) = 22,023 kNm III  Mi,c = 0,  Mi,k2 = 0, kontrola: ∑Fiz = 0 = 3,756 kN

25. Příklad – řešení příčné úlohy +16,25 +6,25 +3,762 0 2° n + V – –1,25 –3,756 xn –15 –22,023 –22,5 –14,512 + + –8,75 –7,512 2° -5,625 – – – 2° 0 M 3° +3,75 +4,771 +7,512 Fz = 7,518 kN q = 5 kNm–1 M = 7 kNm Mc = 22,023 kNm e k2 f b c d a k1 Rbz = 5,012 kN Raz = 31,25 kN Rcz = 3,756 kN 1 2 2 2 3 2 3 3 4 Kontrola reakcí: nutná !!!: Ověřte rovnováhu silve svislém směru. SFiz = 0 1° Kontrola posouvajících sil: Ověřte, že hodnoty posouvajících sil v kloubech odpovídají interakcím Rk1 a Rk2. xn = 1,225 m Kontrola ohyb. momentů: Ověřte, že hodnoty ohybovýchmomentů v kloubech vyšly nulové.

26. Příklad– výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením – ze všech sil zprava Rcx qn = 2,042 kNm–1 Fz q = 5 kNm–1 F = 8 kN M = 7 kNm Qn = 1,25 kN Mc a = 70° Fx n k2 f b e c d a k1 xn /3 Rcz 1 2 2 2 xn Raz Rbz 3 2 3 3 4 MnP = – Mc + Rcz·(7+xn) +M – Fz·(1+xn)+ Rbz · xn – Qn·(xn /3) nebo – Mc + Rcz·(7+xn) +M – Fz·(1+xn)+ Rbz · xn – q · (xn3 / 6·Ltrojúh) MnP = +4,771 kNm

27. Příklad 1 – výpočet extrému M pod trojúhelníkovým zatížením - jiná možnost - uvolnění prutu v kloubu k2 Mk2=0 Nk2 Vk2 Směr šipek je podlekonvence pro vnitřní síly(v tomto případě zprava). qn = 2,042 kNm–1 q = 5 kNm–1 Fz = 7,518 kN Qn = 1,25 kN k1 n xn /3 b k2 e 1 xn 3 3 Rbz =5,012 kN MnP =– Vk2·(3+xn) – Fz·(1+xn)+ Rbz · xn– Qn·(xn /3) nebo – Vk2 · (3+xn) – Fz ·(1+xn)+ Rbz · xn– q · (xn3 / 6·3) MnP = +4,771 kNm

28. Příklad 1 – výpočet V a M, pro x =1m q = 5 kNm–1 QX qX Mb Nb b k1 x x/3 Pozor – Vb není Rbz !!! x = 1 Vbk1 3 VxP = +Vbk1+ QX = +Vbk1+ q · (x2 / 2·3) = -0,417 kN MxP = +Mb – Vbk1·x – Qx·(x/3) nebo+Mb – Vbk1 · x – q · (x3 / 6·3) MnP = +3,75 – (–1,25)·1,0 – 0,833·(1,0/3) MnP = +4,722 kNm 22

29. Trojkloubový rám nebo oblouk Staticky neurčitý rovinně lomený nebo zakřivený nosník v rovinné úloze se dvěma kloubovými vodorovně i svisle neposuvnými (pevnými) podporami → dvojkloubový rám nebo oblouk. Vložením 1 kloubu vznikne staticky určitý trojkloubový rám nebo oblouk. Klouby nesmí být v jedné přímce! (a) b c (b) Základní typy kinematicky určitých rovinných kloubových soustav

30. b c Stupeň statické neurčitosti trojkloubového nosníku v rovině Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině: Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem) Celkový počet vazeb: Stupeň statické neurčitosti nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

31. Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku Výpočet čtyř složek reakcí: 3 podmínky rovnováhy + podmínka 1. Postup: Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b. → Rbx , Rbz 2. 3. Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a. → Rax , Raz 4. 5. Kontrola: Výpočet vede na soustavy dvou rovnic o dvou neznámých 6. (a) (b)

32. Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku Výhodnější pořadí rovnic 1.varianta 1. Postup: Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě b. → Rbx , Rbz 2. → Rax 3. 4. → Raz 5. Kontrola: 6. (a) (b)

33. Postup při výpočtu složek reakcí trojkloubového rámu nebo oblouku Výhodnější pořadí rovnic 2.varianta 1. Postup: Podmínky rovnováhy, v níž vystupují pouze reakce v podporovém bodě a. → Rax , Raz 2. 3. → Rbx 4. → Rbz 5. Kontrola: 6. (a) (b)

34. Vnitřní vazby Složky interakce ve vnitřních vazbách kloubu Rcx, Rcz z podmínek rovnováhy levé nebo pravé části rámu (oblouku). (Vysvětleno na Gerberově nosníku) ↓ (a) (b) Složky reakcí a interakce trojkloubového rámu

35. Ukázky trojkloubového oblouku Maloměřický most z roku 1928, 3 oblouky o rozpětí 33 m s průřezem 1 m2, mezilehlá mostovka, Brno

36. Příklad 1 - reakce Ověřte, že zadaná konstrukce je staticky určitá: Q1 = 4kN Q2 = 8kN q = 2kN/m c d e Rbx . 4–P.3 = 0 3 Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx. 1+Rbz .4 = 0 Rax P = 2kN a Rbz = 3,375kN Rbx =1,5kN, f 1 Q1 .5 + Q2 . 2 + Rax. 1– Raz .4 – P.1 = 0 Raz b Rbx Q1 .5 + Q2 . 2 – Rax. 3–Raz .4 = 0 Rbz Raz 4 Rax = 8,625kN = 0,5kN, 2 Kontrola: U trojkloubových rámů nutné 2 kontrolní rovnice Řešení vede na soustavu 2 rovnic o 2 neznámých.

37. Příklad 1 - reakce Konstrukce tohoto trojkloubového nosníku umožňuje výhodnější řešení. Důvodem je uložení kloubu na nositelce jedné ze složek reakcí (tady Rbz), tudíž z každé podmínky rovnováhy spočítáme jednu reakci přímo. Není třeba řešit soustavy 2 rovni o 2 neznámých. Rbx . 4–P.3 = 0 Q1 = 4kN Q2 = 8kN q = 2kN/m – Rax + P= 0 c d e Q1 .1 – Q2 . 2 – Rbx. 1+Rbz .4 = 0 3 Rax = 0,5kN, P = 2kN a f 1 Q1 .5 + Q2 . 2 + Rax. 1– Raz .4 – P.1 = 0 b Raz = 8,625kN Rbx =1,5kN, Pořadí 2. a 3. rovnice možno zaměnit Rbz = 3,375kN U trojkloubových rámů nutné 2 kontrolní rovnice 4 2 9

38. Příklad 1 - normálové síly Q1 = 4kN N [kN] Q2 = 8kN q = 2kN/m c 0,5 0,5 d e e c d 3 P = 2kN Rax = 0,5kN a f 1 f Raz =8,625kN a b -8,625 Rbx = 1,5kN Rbz = 3,375kN b 4 2 -3,375

39. Q1 = 4kN Q2 = 8kN xn´ xn q = 2kN/m c d e 4,625 n 3 c P = 2kN d = 0,5kN e -3,375 a -4 f 1 =8,625kN f b -0,5 a Rbx = 1,5kN 0,5 Rbz = 3,375kN b 4 2 1,5 Příklad 1 - posouvající síly V [kN] Rax Raz Vn = 0 Vce+ q.xn´ = 0 Vn = 0 Vec - q.xn = 0 xn = 2,312 m xn´= 1,688 m

40. Q1 = 4kN Q2 = 8kN q = 2kN/m c d e 3 P = 2kN a f 1 b M Rbx Rbz 4 2 Mc =0 -2,5 = Mec n Vce = -3,375 e Vec = 4,625 2,5 4 1,5 Příklad 1 - ohybové momenty kontrola momentů v trojném styčníku e: Med = -Q1 .1 xn =2,312 xn´=1,688 Mea = Rax . 3 -4 -2,5 Mec = -Q1 .1 + Rax . 3 2° n e c d Rax 1,5 2° ve styčníku c musí být moment nulový – je tam kloub ! 2,85 Raz f -1,5 a [kNm] Uvolněný prut ec (příčná úloha): b xn =2,312 xn´=1,688 MnL = Vec. xn +Mec – q.xn2/2 MnP = - Vce. x´n + Mc – q.x´n2/2 12 Momenty v polovinách úseků: M0,5ec = 2,75kNm, M0,5ed = -1kNm

41. Ukázka táhla Konstrukce obloukové nosné konstrukce s táhlem, výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava Využití v praxi: Přenáší pouze kladné osové síly → může být tenký prut (nedochází ke ztrátě stability prutu – více v předmětu Pružnost a plasticita)

42. Stupeň statické neurčitosti trojkloubového rámu s táhlem F2 F3 F1 Počet stupňů volnosti složené soustavy v rovině: c Rax táhlo a b Rbz Raz Vazby - ve - vnější (reakce v podporách) - vi - vnitřní (vazby v kloubech, spojení prutů táhlem) táhlo → jednonásobná vnitřní vazba Celkový počet vazeb: Stupeň statické neurčitosti nv = v staticky i kinematicky určitá soustava

43. Stupeň statické neurčitosti trojkloubového rámu s táhlem F2 F3 F1 c c Rax b a Rcz Raz Rbz

44. Kontrola statické určitosti nosníku s táhlem F2 F3 F1 c Rcx c Rax b a Rcz Raz Rbz

45. Trojkloubový rám a oblouk s táhlem Postup výpočtu: Vnější vazby (reakce): statické podmínky rovnováhy. Vnitřní vazba (Nt v táhle): odstranit táhlo a nahradit jej interakcí v kladném směru (táhlo tažené). Velikost Nt z momentové podmínky: (a) (b) (c) Vnitřní síly: další postup shodný jako u rámu(oblouku) bez táhla. Do výpočtu je nutno zahrnout působení Nt . (působí větší Nt) Trojkloubový rám a oblouk s táhlem

46. Okruhy problémů k ústní části zkoušky • Složené rovinné soustavy, výpočet stupně statické neurčitosti, podmínka statické určitosti složených rovinných soustav • Gerberův nosník, způsoby rozvržení vložených kloubů • Postup výpočtu reakcí a vnitřních sil Gerberova nosníku • Trojkloubový rám, postup výpočtu reakcí a vnitřních sil • Trojkloubový rám s táhlem, postup výpočtu reakcí, síly v táhle a vnitřních sil

47. Program

48. q c P 2 A 4 1,5 2 a b 3 3 q c 2 B 4 táhlo 1 b 1 a 1 3 2 5

49. Trojkloubový rám s táhlem zadání a vnější reakce ∑ Fix =0: -Rbx + P= 0 Rbx = 2 kN ( ) ∑ Mia =0: - Q.2 - P.1+ 4.Rbz -1.Rbx = 0 Rbz =21 kN ( ) ∑ Mib =0: -P.2 + Q.2 - 4.Raz = 0 Raz =19 kN ( ) Kontrola: ∑ Fiz =0: - Raz- Rbz + Q = 0 q = 10kN/m Q = 40kN Ověřte, že zadaná konstrukce je staticky určitá: c 1 P=2kN 1 3 a táhlo 1 b Rbx Raz 2 2 Rbz 4

50. Výpočet síly v táhle McL=0: q.2.1 - 2.Raz +2.Nt = 0 Nt =9 kN nebo: McP=0: P.1 - q.2.1 + 2.Rbz -3.Rbx -2.Nt = 0 Nt =9 kN q = 10kN/m Q = 40kN c 1 P=2kN 1 3 Nt Nt a 1 b Rbx=2kN Raz=19kN 2 2 Rbz=21kN 4