Soustavy rovnic - metoda dosazovací, sčítací

1. Zkvalitnění výuky přírodovědných předmětů s cílem zvyšování motivace žáků ke vzdělávání v těchto oborechregistrační číslo projektu:CZ.1.07/1.1.26/02.0068 Soustavy rovnic - metoda dosazovací, sčítací Vytvořil: Mgr. Lukáš Doležel

2. Metoda dosazovací

3. Př.: Najdi řešení soustavy lineárních rovnic: x + y = 12 2x - y = 3 1) Z jedné rovnice soustavy vyjádříme jednu neznámou pomocí druhé neznámé. Například z první rovnice vyjádříme neznámou x pomocí neznámé y. x + y = 12 / - y x = 12 - y 2) Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou x. Dostaneme rovnici s jednou neznámou, kterou už umíme vyřešit. 2 . (12 – y) – y = 3 24 – 2y – y = 3 24 – 3y = 3 / -24 -3y = -21 / : (-3) y = 7

4. 4) Nyní dosadíme y = 7 do výrazu vyjádřeného v prvním kroku řešení: x = 12 – y x = 12 – 7 x = 5 5) Získali jsme dvojici čísel x = 5 a y = 7, uspořádanou dvojici [5;7]. Nyní provedeme zkoušku. Ověříme si, že uspořádaná dvojice [5;7] je řešením první i druhé rovnice soustavy. x + y = 12 2.5 - 7 = 3 5 + 7 = 12 10 - 7 = 3 12 = 12 3 = 3 L1 = P1 L2 = P2 6) Uspořádaná dvojice [5;7] je řešením první i druhé rovnice, je tedy řešením dané soustavy lineárních rovnic.

5. Vyjádření neznámé y z druhé rovnice pomocí neznámé x. x + y = 122x - y = 3 → y = -3 + 2x x + (-3 + 2x) = 12 x – 3 + 2x = 12 3x – 3 = 12 / + 3 3x = 15 / : 3 x = 5 y = -3 + 2x y = - 3 + 2 . 5 y = -3 + 10 y = 7

6. Sčítací metoda

7. Př.: Najdi řešení soustavy lineárních rovnic: x + y = 12 2x - y = 3 1) Rovnice vynásobíme takovými čísly (různými od nuly), abychom po sečtení upravených rovnic dostali jednu lineární rovnici s jednou neznámou. Jinými slovy, násobíme tak, aby členy s jednou z neznámých představovaly po násobení opačné výrazy a jejich součet byl tedy nula. x + y = 12 / -2 2x - y = 3 -2x - 2y = -24 2x - y = 3 2) Rovnice sečteme a vypočítáme neznámou (v našem případě y): 0x - 3y = -21 -3y = -21 / : -3 y = 7

8. 3) Stejným způsobem budeme se soustavou pracovat jako v prvním kroku, jen s tím rozdílem, že členy s neznámou, které budou představovat po násobení opačné výrazy a jejich součet bude tedy nula, budou členy y. x + y = 12 2x - y = 3 x + y = 12 2x - y = 3 Vidíme, že násobit nemusíme, protože členy s neznámou y jsou již v zadání opačné výrazy. Tudíž můžeme rovnice rovnou sečíst a vypočítat neznámou x. 3x + 0y = 15 3x = 15 / : 3 x = 5 4) Získali jsme dvojici čísel x = 5 a y = 7, tedy uspořádanou dvojici [5; 7]. Nyní provedeme zkoušku.

9. Ověříme si, že uspořádaná dvojice [5;7] je řešením první i druhé rovnice soustavy. x + y = 12 2.5 - 7 = 3 5 + 7 = 12 10 - 7 = 3 12 = 12 3 = 3 L1 = P1 L2 = P2 5) Uspořádaná dvojice [5;7] je řešením první i druhé rovnice, je tedy řešením dané soustavy lineárních rovnic.

10. Použité zdroje: Objekty použité k vytvoření této prezentace jsou součástí Microsoft PowerPoint, dále vlastní nápady. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech základních škol. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lukáš Doležel. Zkvalitnění výuky přírodovědných předmětů s cílem zvyšování motivace žáků ke vzdělávání v těchto oborechregistrační číslo projektu:CZ.1.07/1.1.26/02.0068