Nazwa szkoły: Zespół Szkół Publicznych w Reptowie ID grupy: 98/61_mf_g1

2. Nazwa szkoły: Zespół Szkół Publicznych w Reptowie ID grupy: 98/61_mf_g1 Opiekun: Maria Szyndlarewicz Kompetencja: Matematyka – Fizyka Temat projektowy: Geometria trójkąta Semestr/rok szkolny: V/2011/2012

3. Dane informacyjne Skład osobowy grupy 98/61_MF_g1 Wiadomości ogólne o trójkątach Własności trójkątów Zadania Ciekawostki o trójkątach Wnioski

4. Prezentację przygotowali: • Dominik Banaszak • Natalia Brzoza • Katarzyna Fierdonek • Tomek Karpiński • Dagmara Rutkowska • Patrycja Siwiec • Emilia Stasiak • Luiza Stateczna • Natalia Wojciukiewicz • Monika Zeplin • Opiekun: Maria Szyndlarewicz

5. ZADANIE GŁÓWNE Opracowanie multimedialnej prezentacji przedstawiającej różnorakie własności trójkątów i pokazujące w jaki sposób można te własności wykorzystać do wykonywania konstrukcji cyrklem i linijką przy danych elementach trójkąta lub pokazującej niemożliwość wykonania takich konstrukcji

6. Zadania cząstkowe • Uporządkowanie dotychczasowej wiedzy o trójkątach • Wyszukanie w literaturze i zasobach internetowych różnych własności trójkątów i zbadanie zależności między tymi własnościami • Samodzielne wykonanie i opracowanie konstrukcji, w realizacji których zostaną wykorzystane własności trójkątów

7. Trójkąt to figura wyznaczona przez trzy punkty nie leżące na jednej prostej. C B A W trójkącie ABC pokazanym powyżej mamy: wierzchołki: A, B, C; boki: AB, BC, CA; kąty: CAB, ABC, ACB

8. Klasyfikacja trójkątów ze względu na kąty • Trójkąt ostrokątny- wszystkie kąty ostre Trójkąt rozwartokątny-jeden kąt rozwarty Trójkąt prostokątny-jeden kąt prosty

9. Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki c a b b a b a a a Trójkąt różnoboczny-wszystkie boki różnej długości Trójkąt równoramienny-przynajmniej dwaboki tej samej długości Trójkąt równoboczny-wszystkie boki tejsamej długości

10. Klasyfikacja trójkątów nie istnieje nie istnieje

11. Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°. Twierdzenie     +  +  = 180 Zobacz dowód

12. Dowód l C Rysujemy pomocniczą prostą l równoległą do boku AB, prze-chodzącą przez wierzchołek C.    = = są to kąty naprzemianległe   A B Zatem ++=++. Ponieważ ++=180, więc również ++=180.

13. Kąt zewnętrzny trójkąta Zadanie 1 Znajdź miary kątów zewnętrznych x i y. Kąt zewnętrzny trójkąta, to kąt utworzony przez jeden bok trójkąta i przedłużenie drugiego boku. 103 x y 32 ROZWIĄZANIE

14. Rozwiązanie Ponieważ suma kątów w trójkącie wynosi 180°, to brakujący kąt trójkąta ma miarę 45º. y + 32º = 180ºy = 180º - 32ºy = 48º x + 45º = 180º x = 180º - 45ºx = 135º Odpowiedź: Kąty zewnętrzne trójkąta mają miary odpowiednio równe x=135º i y=48º.

15. Zadanie Znajdź miarę kąta x. c) a) 32º 2x b) x 3x x x 41º 76º x Sprawdź

16. Rozwiązania a) 41º + x + 32º = 180ºx + 73º = 180ºx = 180º - 73ºx = 107º b) x + x + 76º = 180º2x = 180º - 76º2x = 104ºx = 52º c) x + 2x + 3x = 180º6x = 180ºx = 30º

17. Dwusieczna kąta Dwusieczną kąta nazywamy półprostą, która dzieli go na dwa przystające kąty (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy).    = 

18. Dwusieczna kąta. Dwusieczna kąta płaskiego to prosta (dla kąta dwuściennego - płaszczyzna) przechodząca przez wierzchołek kąta (dla kąta dwuściennego przez krawędź) i dzielącą go na dwa kąty przystające (stąd nazwa: dwu-sieczna = krojąca na połowy). Dwusieczna jest jedyną osią symetrii kąta. W każdym kącie płaskim dwusieczną można skonstruować cyrklem i linijką.

19. . . . . . . . Wysokość trójkąta Ortocentrum to punkt przecięcia się wysokości trójkąta. h1 h1 h2 h1 h2 h2 h3 h3 • h3 h1, h2, h3- wysokości trójkąta Wysokość to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z podstawą lub jej przedłużeniem pod kątem prostym. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.

20. Zadanie Dany jest trójkąt o kątach przy podstawie 70º i 80º. • Wyznacz kąt pod jakim przecinają się dwusieczne tych kątów. • Wyznacz kąt , pod jakim przecinają się wysokości trójkąta poprowadzone z wierzchołków tych kątów. Uwaga. Podając kąt, pod jakim przecinają się proste nie prostopadłe, będziemy podawać kąt ostry.

21. C 80º 70º B A Rozwiązanie a) x y 40º 35º x + y = 180ºx = 180º - yx = 180º - 105ºx = 75º 40º + y + 35º = 180ºy + 75º = 180ºy = 180º - 75ºy = 105º Odpowiedź: Dwusieczne kątów przecinają się pod kątem 75º.

22. C . .   80º  70º B A Rozwiązanie b) Z  ABF70º + 90º +  = 180º160º +  = 180º = 20º Z  ABD80º + 90º +  = 180º170º +  = 180º = 10º Z  ABO +  +  = 180º20º + 10º +  = 180º = 150º F Zatem  + x = 180ºwięc x = 180º - 150ºx = 30º D O x Odp.:Wysokości przecinają się pod kątem 30º.

23. Własności trójkątów

24. Nierówność trójkąta Dowolny bok trójkąta ma mniejszą długość od sumy długości pozostałych boków.Przykłady:

25. Trójkąt równoboczny. Kąty w trójkącie. Wysokość i pole

26. Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w jednym punkcie. W trójkącie równobocznym: wysokości , środkowe , dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie i zawarte są w osiach symetrii trójkąta.Wysokości są równe. Punkt przecięcia dzieli wysokość na odcinki w stosunku 2:1

27. Trójkąt równoramienny.a – podstawab - ramiona W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

28. Wysokość dzieli podstawę i kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego na dwie równe części.

29. Pole trójkąta i wzory. a – podstawa b - wysokość P=½ah

30. Pole trójkąta i wzory. Wzór z wykorzystaniem długości boków (wzór Herona) Zadanie Oblicz pole trójkąta o bokach odpowiednio 5cm; 5cm; 6cm Dane : Rozwiązanie: a= 6cm b=5cm c =5cm Pole tego trójkąta wynosi 12 cm²

31. Twierdzenie Pitagorasa.W każdym trójkącie prostokątnym: PRZYKŁADY :

32. Zależności między bokami w trójkątach prostokątnych-ekierkach. Przykłady:

33. Środkowa trójkąta. Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący środek boku trójkąta z wierzchołkiem trójkąta nie należącym do tego boku. Każdy trójkąt posiada trzy środkowe Środkowe przecinają się w jednym punkcie. Nazywamy go środkiem ciężkości trójkąta (barycentrum). Środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2:1

34. Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

35. Symetralne boków trójkąta.Symetralna boku trójką to prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek. Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie , który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

36. Dwusieczna.Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca go na dwa równe kąty. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie , który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

37. Twierdzenie o dwusiecznej Dwusieczne dzieli bok trójkąta na odcinki c i d o długościach spełniających równanie :

38. Cechy przystawania trójkątów (bbb) b-b-b odpowiednie boki trójkątów są równe. (bkb) b-k-b odpowiednie dwa boki trójkątów są równe. (kbk) k-b-k odpowiednie dwa kąty trójkątów są równe.

39. Cech podobieństwa trójkątów • (bbb) b-b-b • Jeżeli odpowiednie boki trójkątów są proporcjonalne , to trójkąty są podobne. k- skala podobieństwa. Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe : Jeżeli trójkąty są podobne,to boki trójkątów są proporcjonalne.

40. Zadanie • Jak zmieni się pole trójkąta , jeżeli jeden bok i wysokość poprowadzoną do tego boku zwiększymy o 10% ? • Dane: • a 1,1a • h 1,1h • P1= ½a•h P2 = ½•1,1a•1,1h = ½•1,21ah • P2-P1= ½•1,21ah -½•ah= ½•1,21ah-½ah=0,21 =21% • Odp: Pole trójkąta zwiększy się o 21%.

41. Cech podobieństwa trójkątów • (bkb) b-k-b • Jeżeli trójkąty mają jeden kąt równy,a boki tworzące ramiona kąta są proporcjonalne,to trójkąty,które są podobne. k- skala podobieństwa. Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe : Jeżeli trójkąty są podobne,to ramiona tych samych kątów są proporcjonalne.

42. Cech podobieństwa trójkątów • (kkk) k-k-k • Jeżeli kąty trójkątów są równe ,to trójkąty są podobne. W praktyce , jeżeli trójkąty mają dwa kąty równe , to trzeci też musi być równy. Twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe : Jeżeli trójkąty są podobne , to odpowiednie kąty są takie same.

43. W każdym trójkącie -Obwód trójkąta jest sumą długości jego boków. -Suma miar kątów wewnętrznych jest równa 180 stopni. α+β+γ=180° -Suma długości każdych dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku. a+b>c, a+c>b , b+c>a -Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. R- promień okręgu opisanego.

44. Zadanie Znajdź promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 9 i 12. Przeciwprostokątna ma długość: C=√ 9² + 12² =√ 81+144 =15 obwód trójkąta jest równy a+b+c=36 , a pole P=½a•b = ½ 9•12 = 54 Przekształcając wzór na pole P=½(a+b+c) r otrzymujemy : r=2P:(a+b+c)=108:36 Skąd r=3

45. Zadanie Dany jest kwadrat o boku 5 cm . Przez wierzchołek kwadratu przeprowadzono prostą dzielącą kwadrat na trójkąt i trapez. Pole trójkąta wynosi 15/2. Jaką długość mają przekątne trapezu? d1=5 2 √ 2²+5²=d² 4+25=d² 29=d² / √ d=√29 d2 15/2=½a·5 /·2 15=a·5 / : 5 a=3 d1 5 cm a=3 2 5 cm Odp : Przekątne trapezu mają 5√2 ; √29

46. Konstrukcje

47. Etapy rozwiązywania zadań konstrukcyjnych • Analiza • Konstrukcja i jej opis • Uzasadnienie poprawności konstrukcji • Dyskusja • - warunki, które trzeba spełnić by zadanie miało rozwiązanie • - liczba rozwiązań

48. Zadanie Zbuduj trójkąt, mając dane dwa jego boki a i b oraz wysokość h opuszczoną na bok a. I Analiza Przypuśćmy że skonstruowaliśmy żądany trójkąt i że jest nim trójkąt ABC przedstawiony na rysunku zaś danymi odcinkami są AB i AC i CD, przy czym IABI=IaI IACI=IbI ICDI=IhI. C Z treści zadania wynika, że punkt C jest odległy od punktu A o odcinek b, zaś od prostej AB o odcinek h. Możemy go zatem skonstruować. Mając punkty A i C skonstruujemy punkt B i będziemy wtedy mieli wszystkie trójkąta. h A D B

49. II Konstrukcja i jej opis • Konstrukcje przedstawioną na poprzednim slajdzie opiszemy w tabeli: l C h D A B a h b a

50. III Uzasadnienie poprawności konstrukcji • AC = b na podstawie konstrukcji • CD AB na podstawie konstrukcji • CD = h na podstawie konstrukcji • AB = a na podstawie konstrukcji