افلاطون بالای سردر آکادمی خود این جمله را حک کرده بود:

1. افلاطون و... سرآغاز افلاطون بالای سردر آکادمی خود این جمله را حک کرده بود: هرکس هندسه نمی‏داند وارد نشود 1

2. مقدمه: توصیه ها و.. مقدمه • چرا هندسه بخوانیم؟ • هندسه : افزایش قدرت تفکر • توصیه هایی در باره حل مسائل و تکالیف هندسه: • خودمان آنهارا حل کنیم و لذت این تجربه را از دست ندهیم. • یک مسئله هندسه همیشه لاینحل نیست. • نگذاریم مسائل برای شب آخر جمع شود. • در رسم اشکال دقت کنیم تا شکل ها دقیق و واقعی باشند. • همه مسائل ، حتی مسائل ساده اهمیت دارند • سعی کنید از حل مسائل هندسه لذت ببرید. خصوصاً از مسائل دشوار. • فهمیدن آری، حفظ کردن... 2

3. چگونگی ارزشیابی ارزشیابی مقدمه • لازم است تا در طول نیمسال اول برای نمره مستمر خود، 200 امتیاز به صورت زیر بدست آورید: 3

4. راه های کشف اطلاعات مشاهده کشف اطلاعات • مشاهده * بررسی احتمال خطا در مشاهده: مثال: روزنامه های 0/075میلیمتری بار اول: یک ورق روی یک ورق موجود بر زمین بار دوم: دو ورق رو ی دو ورق موجود بار سوم: چهار برگ روی چهار برگ موجود بار دهم: ضخامت برگه ها به ارتفاع: بیش از 7/5 سانتی متر بار پنجاهم: ؟ حدس بزنید! • کمتر از 7/5 متر • حدود 75 متر • حدود 750 متر • بیش از 750 متر • پاسخ: تعداد برگه ها: 1،125،899،906،842،624 معادل 84 میلیون کیلومتر و معادل بیش از نصف فاصله زمین تا خورشید • پخش تصاویر مشاهده و برداشت های گوناگون با خطای دید و ... 4

5. استدلال کشف اطلاعات راه های کشف اطلاعات • استدلال استقرایی: بررسی حالت های مختلف در یک موضوع و نتیجه گیری کلی بر اساس آن • استدلال استنتاجی: نتیجه گیری و حکم کردن از کنار هم قرار دادن حقایقی که درستی آنها را قبول داریم. آشنایی با برخی اصطلاحات • مسائل: (یافتنی یا ثابت کردنی) • مفاهیم تعریف نشده • تعریف قضیه • اصل یا اصل موضوع 5

6. انواع زاویه زاویه • زاویه • تعریف: اجتماع دو نیم خط که مبدا آنها با یکدیگر مشترک است. به مبدأ مشترک : رأس زاویه، دو نیم خط: اضلاع زاویه می گویند. • انواع زاویه: حاده- قائمه- منفرجه 1) حاده: کمتر از 90 2 ) قائمه= 90 3) منفرجه: بیش از90 * مکمل : دو زاویه که مجموع آنها 180 درجه باشد. * متمم: دو زاویه که مجموع آنها 90 درجه باشد. * مجاور: دو زاویه ای که یک ضلع و یک رأس مشترک داشته باشند. * مجانب: دو زاویه ی مکمل که با یکدیگر مجاور باشند. • روش های نام گذاری زاویه: A , Â , x Ây > 6

7. برابری زوایا زاویه • نکته:برابری زوایا یک رابطه ی هم ارزی است. • تعریف رابطه هم ارزی: رابطه ای که سه ویژگی بازتابی، تقارن، و ترایایی داشته باشد را رابطه هم ارزی می گویند. • بازتابی: a=a • تقارن: a=b ←b=a • ترایایی: a=b ← a=c b=c • مسئله: مجموع دو زاویه 75 درجه است مجموع مکمل های آنها چند درجه است؟ (کنکور77) جواب: 285 درجه • مسئله: A و B متممند. A 4/9 مکمل B است. مقدار A را بدست آورید. (کنکور75) جواب: 72 درجه 7

8. قضایا زاویه • قضیه ی مکمل ها: اگردو زاویه با هم برابر باشند، مکلهای آنها هم با هم برابرند. • قضیه ی متمم ها: اگردو زاویه با هم برابر باشند، متمم‏های آنها هم با هم برابرند. • قضیه ی زوایای متقابل با رأس : دو زاویه ی متقابل به رأس برابرند. تعریف: دو زاویه ای که رأس مشترک داشته باشند و اضلاع آنها دو به دو در امتداد هم باشند متقابل به رأس نامیده می شوند. • قضیه: نیمسازهای دو زاویه مجانب، متممند. • قضیه: نیمسازهای دو زاویه متمم مجاور، 45 درجه اندازه دارند. 8

9. وضعیت برخورد خطوط(3 خط به بالا) در یک صفحه: قضایا زاویه 1) غیرهمرس:اگر چند خط یکدیگر را در نقاط متمایز قطع کنند نا همرسند. خطمورب: خطی است که چند خط دیگر را در نقاط متمایز قطع کند. 2) همرس: خطوطی هستند که هم دیگر را در یک نقطه قطع کنند. به این خطوط متقارب نیز می گویند. 1 2 3 4 در اثر برخورد خط مورب با دو خط 8 زاویه به صورت زیر بوجود می آیند : 5 6 • هر دو زاویه ای که در یک طرف خط مورب وجود دارند متقابل نامیده می شوند. 7 8 • اگر یک زاویه در یک طرف خط و زاویه ی دیگر در طرف دیگر آن باشد آن دو زاویه متبادل نامیده می شوند. • زوایایی که بین دو خط 1L و2L باشند متبادل یا متقابل داخلی نامیده می شوند. در غیر این صورت خارجی نامیده می شوند. 9

10. قضایا زاویه • اصل 5 اقلیدس: اگر موربی دو خط دیگر را قطع کند آن دو خط از طرفی به یکدیگر می رسند که مجموع دو زاویه متقابل داخلی کم تر از 180 باشد. • قضیه ی خطوط موازی و مورب: اگر موربی دو خط موازی را قطع کند تمامی زوایای حاده بایکدیگر و تمامی زوایای منفرجه با یکدیگر برابرند. • قضیه 1: در خطوط موازی و مورب دو زاویه ی متقابل داخلی مکمل اند. • قضیه 2:در خطوط موازی و مورب، نیم سازهای زوایای متقابل داخلی متعامدند( بر یکدیگر عمودند) • قضیه 3:در خطوط موازی و مورب، نیم سازهای زوایای متبادل داخلی متوازی اند. • نکته:موازی بودن خطوط با یکدیگر ، یک رابطه ی هم ارزی است. 10

11. زاویه در مثلث و سایر چندضلعی ها قضایا زاویه • قضیه : در هر مثلث مجموع زوایای داخلی 180 درجه است. • تعریف فرع: قضایایی هستند که از قضایای اصلی منتج می شوند. • فرع 1: اگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشد، زاویه ی سوم از دو مثلث با یکدیگر برابرند. • فرع 2: زوایای حاده در هر مثلث قائم الزاویه متمم اند. • فرع 3: در هر مثلث اندازه ی زوایه ی خارجی برابر است با مجموع دو زاویه ی داخلی غیر مجاور و زاویه ی خارجی از هر زاویه ی داخلی غیر مجاور بزرگ تر است. عکس قضیه ی خطوط موازی و مورب:موربی دو خط را قطع کرده اگر دو زاویه ی متبادل درونی غیرمجاور برابر باشند آن دو خط متوازی اند. قضیه : در هر 4 ضلعی محدب مجموع دو زاویه ی مقابل برابر است با مجموع دو زاویه ی خارجی غیر مجاور. • قضیه : اگر اضلاع دو زاویه نظیر به نظیر بر یک دیگر عمود باشند آن دو زاویه با هم برابرند به شرط اینکه رأس یک زاویه درون زاویه ی دیگر نباشد که آنگاه مکمل هم می شوند.) • قضیه : مجموع زوایای داخلی در هر n ضلعی محدب برابر است با: (2-n) 180 11

12. مسائل زاویه • مسئله: مجموع زوایای خارجی در هر n ضلعی محدب را بدست آورید. • مسئله: یک 12 ضلعی محدب حراکثر چند زاویه محدب(داخلی) می‏تواند داشته باشد؟ • مسئله: در شکل زیر مقدار A+B+C+D+E را بدست آورید. • مسئله: BO و CO نیمسازند، با توجه به شکل، مقدار x را بدست آورید. • مسئله: CD و BD نیمسازهای زاویه های ACB و EBA هستند. x را بدست آورید. E A A A D D 80 x 80 B C O C x B B E 12 C

13. همنهشتی مفاهیم همنهشتی • مفهوم همنهشتی: دو شکل که این قابلیت را داشته باشند که کاملاً بر یک دیگر منطبق شوند ،همنهشت نامیده می شود. • نکته: اگر دو شکل همنهشت باشند تناظر یک بر یک بین اجزای دو شکل برقرار است. • همنهشتی در مثلث ها: • حالت اول: اگر دو ضلع و زاویه ی بین از یک مثلث با دو ضلع و زاویه ی بین از مثلث دیگر برابر باشد آن دو مثلث با هم همنهشت هستند. تناظر (ض ز ض) • حالت دوم: اگر دو زاویه و ضلع بین از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین از مثلث دیگر با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم همنهشت هستند. تناظر (ز ض ز) • حالت سوم:اگرسه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم همنهشت هستند. تناظر (ض ض ض) • فرع از اصل دوم: در دو مثلث قائم الزاویه اگر وتر و یک زاویه ی حاده ازیک مثلث با وتر و یک زاویه ی حاده از مثلث دیگر برابر باشند آن دو مثلث هم همنهشت هستند. 13

14. قضایا متساوی الساقین • مثلث متساوی الساقین: • تعریف:مثلثی که دو ضلع از اضلاع آن با یکدیگر برابر باشند. آن دو ضلع برابر را ساق های مثلث و ضلع سوم را قاعده ی مثلث می گویند. محل برخورد ساق ها رأس مثلث است. • قضیه ی اساسی مثلث متساوی الساقین: در هر مثلث متساوی الساقین زوایای مجاور ساق ها با یکدیگر برابرند. • قضیه 1:در هر مثلث متساوی الساقین ارتفاع وارد بر قاعده میانه ی وارد بر قاعده، نیم ساز زاویه ی رأس و عمود منصف قاعده همگی بر هم منطبق اند. • قضیه 2:اگر در یک مثلث دو زاویه با هم برابر باشند آن مثلث متساوی الساقین است. • قضیه 3:درهر مثلث متساوی الساقین ارتفاع های وارد بر ساق ها با یکدیگر برابرند. • قضیه 4:درهر مثلث متساوی الساقین میانه های وارد بر ساقها با یکدیگر برابرند. • قضیه 5:در هر مثلث متساوی الساقین نیم سازهای زوایای مجاور به ساق ها با هم برابرند. • قضیه 6:مجموع فواصل هر نقطه واقع بر قاعده ی یک مثلث متساوی الساقین از دو ساق برابر است با ارتفاع وارد بر یک ساق. 14

15. متساوی الساقین قضایا و مسائل • قضیه 7: در هر مثلث متساوی‏الساقین، خطی که به موازات قاعده، از رأس مثلث می‏گذرد، زاویه خارجی آن رأس را نصف می‏کند. • قضیه 8: در هر مثلث اگر نیمساز یک زاویه خارجی با یک ضلع مثلث موازی باشد، آن مثلث متساوی الساقین است. • مسئله: در مثلث ABC نیمسازهای داخلی زاویه های A و B با یکدیگر در T برخورد می‏کنند. خطی که از T موازی با AB رسم شود با AC و BC به ترتیب در D و E برخورد می‏کند. ثابت کنید پاره‏خط DE با مجموع دو پاره‏خط AD و BE برابر است. • مسئله: خطی موازی با قاعده BC از مثلث متساوی‏الساقین ABC رسم شده‏است و با AB و AC به ترتیب در D و E برخورد کرده است. ثابت کنید عمودمنصف ED از رأس A می‏گذرد. 15

16. مسائل متساوی الساقین • مسئله: در مثلث ABC زاویه B حاده و دو برابر زاویه C است. ارتفاع AH از مثلث را رسم می‏کنیم و AB را از طرفB تا نقطه E امتداد می دهیم به طوری که BE برابر با BH باشد. اگر M نقطه برخورد AC و امتداد HE باشد، ثابت کنید که پاره‏خط‏های AM و MC و MH با هم برابرند. • مسئله: در شکل، ثابت کنید AF میانه متناظر YX از مثلث AXY است. ( (AB=AY , AX=AC X F Y A B E C 16

17. مسائل متساوی الساقین A • مسئله: ABC متساوی‏الاضلاع و MN=BM . ثابتکنید AM=CN M B A N D C • مسئله: در شکل AB=AC و EB=CD • ثابت کنید EM=MD • مسئله: در شکل AB=AC و EA=AD • X=? A 30 E C E B M N B x C D D 17

18. متساوی الساقین قضایا و مسائل خواص نقاط متعلق به عمود منصف و نیمساز تعریف عمود منصف: خطی است که پاره خطی را نصف می کند ودر محل تلاقی بر آن عمود است. • مسئله: می‏خواهیم ایستگاهی بسازیم که از دو روستا به یک فاصله باشد. چگونه محل آن را پیدا کنیم. قضیه: هر نقطه واقع بر عمود منصف یک پاره خط از دو سر آن پاره خط به یک فاصله است. (به عبارت دیگر عمودمنصف یک پاره خط مکان هندسی ...) قضیه: هر نقطه واقع بر نیم ساز هر زاویه از دوضلع آن زاویه به یک فاصله است.(به عبارت دیگر نیمساز یک زاویه مکان هندسی ...) مسئله: سه روستای قلی‏آباد، جابرآباد و شورآباد در یک منطقه و به صورت غیرهمخط واقعند. می خواهیم یک سیلو احداث کنیم تا با این سه روستا به یک فاصله باشد. چگونه این نقطه را بیابیم. جابرآباد برره 18

19. همرسی قضایا و مسائل مسئله: چگونه در نمازخانه مدرسه نقطه ای پیدا کنیم که فاصله آن تا دیوار سمت راهنمایی و دیوار در ورودی و همچنین تا دو نقطه محراب و کنج نزدیک به تخته سیاه به یک اندازه باشد. • برخی قضایای همرسی در مثلث: • در هر مثلث عمود منصف های اضلاع آن مثلث همرسند. • در هر مثلث نیم سازهای زوایای آن مثلث همرسند. • در هر مثلث ارتفاع های آن مثلث همرسند. مسئله: مطلوبست مکان هندسی نقاطی در فضا که همگی از دو سر یک پاره‏خط به یک فاصله باشند. 19

20. خم مسطح خم مسطح تعاریف بطور کلی، خم بر دو گونه‌است: • خم مسطح: خمی است که بر روی یک سطح دوبعدی (صفحه)، قابل جایگیری و ترسیم است. • خم کج: خمی فضایی است که روی هیچ صفحه‌ای قرار نگیرد. • بطور شهودی، خم مسطح به مجموعه‌ای از نقطه‌ها گفته می‌شود، به شرط آنکه بتوانیم بدون بلند کردن قلم از روی کاغذ آن را رسم کنیم. • خم ساده • خم ساده، به خم مسطحی اطلاق می‌شود که خودش را قطع نکرده باشد، مگر در حالتی که نقطه‌های انتهایی به هم می‌رسند. 20

21. خم مسطح تعاریف • خم بسته خم بسته، به خمی اطلاق می‌شود که نقطه‌های انتهایی و ابتدایی آن به هم رسیده، و بر همدیگر منطبق باشند. • خم سادهٔ بسته خمی ساده‌ است که نقطه‌های ابتدا و انتهایی آن بر هم منطبق باشند. 21

22. خم مسطح تعاریف • قضیه خم جردن هر خم سادهٔ بسته، صفحه را به سه زیر مجموعهٔ جدا از هم درون، بیرون و روی خم تقسیم می‌کند. ناحیه: به اجتماع بخش درونی یک خم و خود آن خم یک ناحیه می‏گویند. (ناحیه محدب/غیرمحدب) چندضلعی: یک خم ساده بسته است که از اجتماع حداقل سه پاره‏خط تشکیل شده است. روی خم درون خم بیرون خم 22

23. متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع قضایا • متوازی الاضلاع: چهارضلعی است که اضلاع آن دو به دو با هم موازی باشند. • قضیه: درهر متوازی الاضلاع هر قطر، آن متوازی الاضلاع را به دو مثلث همنهشت تقسیم می کند. • قضیه ی اساسی متوازی الاضلاع: در هر متوازی الاضلاع زوایای رو به رو به یکدیگر و اضلاع رو به رو به یک دیگر نظیر به نظیر با هم برابرند. • قضیه:در هر متوازی الاضلاع قطرها یک دیگر را نصف می کنند. • قضیه:در هر متوازی الاضلاع زوایای مجاور مکملند. 23

24. راه های کشف یک متوازی الاضلاع: متوازی الاضلاع قضایا • قضیه:اگر در یک 4 ضلعی ضلع های رو به رو با هم برابر باشند آن 4 ضلعی متوازی الاضلاع است. • قضیه: اگر در یک 4 ضلعی قطرها یکدیگر را نصف کنند آن 4 ضلعی متوازی الاضلاع است. • قضیه: اگر در یک 4 ضلعی زوایای رو به رو، دو به دو با هم برابر باشند آن 4 ضلعی متوازی الاضلاع است. • قضیه: اگر در یک 4 ضلعی زوایای مجاور مکمل باشند آن 4 ضلعی متوازی الاضلاع است. • قضیه: اگر در یک 4 ضلعی دو ضلع رو به رو موازی و مساوی باشند آن چهار ضلعی متوازی الاضلاع است. 24

25. متوازی الاضلاع مستطیل • مستطیل • تعریف مستطیل: 4 ضلعی ای که تمام زوایای آن قائمه باشند. • قضیه 1: در هر مستطیل قطرها با هم برابرند. • قضیه 2: اگر در یک متوازی الاضلاع قطرها با هم برابر باشند آن متوازی الاضلاع مستطیل است. 25

26. متوازی الاضلاع لوزی • لوزی • تعریف لوزی: چهارضلعی ای که تمام اضلاع آن با هم برابرند. • قضیه : در هر لوزی قطرها بر هم عمودند. • قضیه: اگر در یک متوازی الاضلاع قطرها بر هم عمود باشند آن متوازی الاضلاع لوزی است. • قضیه: درهر لوزی قطرها نیم سازند. • قضیه: اگر در یک چهارضلعی قطرها نیم ساز باشند آن چهارضلعی یک لوزی است. 26

27. میان خط مثلث میان خط مثلث • تعریف: • پاره‏خطی که وسط‏های دو ضلع از مثلثی را به هم وصل می‏کند میانخط مثلث نامیده می‏شود. • قضیه میان خط مثلث: پاره خطی که وسط های دو ضلع از مثلثی را به هم وصل می کند با ضلع سوم موازی است و مساوی نصف آن است. • قضیه: اگر وسط های اضلاع یک چهارضلعی را به طور متوالی به هم وصل کنیم یک متوازی الاضلاع پدید می آید. • قضیه: اگر خطی یک ضلع مثلثی را نصف کند و به موازات ضلع دیگر از آن مثلث باشد ضلع سوم را نیز نصف می کند. 27

28. قضایای مهم ... • قضیه: میانه‏های هر مثلث یکدیگر را به نسبت یک به دو قطع می‏کنند و با هم همرسند. سه قضیه مهم دیگر: • قضیه: اگر یکی از میانه های یک مثلث، یکی از نیمسازهای آن مثلث باشد، آن مثلث متساوی‏الساقین است. راهنمایی: آن میانه را به اندازه خودش امتداد می‏دهیم... • قضیه: نیمسازهای داخلی یک متوازی‏الاضلاع تشکیل یک مستطیل می‏دهند. • قضیه: نیمسازهای داخلی یک مستطیل تشکیل یک مربع می‏دهند. 28

29. ذوزنقه قضایا ذوزنقه • تعریف: چهارضلعی‏ای که تنها دوضلع آن با هم موازی باشد. آن دو ضلع موازی را قاعده های ذوزنقه می نامیم و آن دو ضلع غیر موازی ساق های ذوزنقه می نامیم. • قضیه میان خط ذوزنقه: پاره خطی که وسط های دو ساق یک ذوزنقه را به هم وصل می کند، موازی دو قاعده و مساوی میانگین دو قاعده است. (میانگین = نصف حاصل جمع دو قاعده) • قضیه: میان خط هر ذوزنقه قطرهای آن را نصف می کند. • قضیه: وسط‌هاي دو قاعده و دو قطر هر ذوزنقه چهار رأس يك متوازي الاضلاعند. 29

30. ذوزنقه قضایا ذوزنقه‏ متساوی الساقین • تعریف: ذوزنقه ای که دو ساق آن با هم برابر باشند را ذوزنقه ی متساوی الساقین می نامیم. • قضیه: در هر ذوزنقه متساوی الساقین زوایای مجاور به ساق ها با هم برابرند. • قضیه: قطرهای ذوزنقه متساوی الساقین با هم برابرند. • قضیه: اگر در یک ذوزنقه زوایای مجاور به ساق ها برابر باشند آن ذوزنقه متساوی الساقین است. • قضیه: اگر در یک ذوزنقه قطرها با هم برابر باشند آن ذوزنقه متساوی الساقین است. (راهنمایی: موازی و مساوی یکی از قطرها خطی رسم می‏کنیم تا...) 30

31. مثلث قائم الزاویه قضایا چند قضیه مهم در مورد مثلث قائم الزاویه: • قضیه: در هر مثلث قائم الزاویه طول میانه وارد بر وتر نصف وتر است. • قضیه: اگر در یک مثلث، میانه وارد بر یک ضلع نصف آن ضلع باشد آن مثلث قائم الزاویه است. • قضیه ی مثلث 30-60-90: اگر اندازه یک زاویه حاده درمثلث قائم الزاویه 30 درجه باشد ضلع مقابل به این زاویه نصف وتر است. • قضیه: اگر طول یک ضلع مثلث قائم الزاویه ای نصف طول وتر باشد اندازه ی زاویه رو به رو آن 30 درجه است. • قضیه: در یک مثلث قائم الزاوایه که یک زاویه 15درجه دارد ارتفاع وارد بر وتر ، یک‏چهارم وتر است. 31