BAB 2

1. BAB 2 • Integers and Division • Matrices

2. INTEGERS AND DIVISION Bab 2 Sub-bab 2.4

3. Tujuan Instruksional Khusus • Memahami konsep integer dan division • Memahami definisi matrik nol satu

4. Division • Notasi : • a | b a habis membagi b (b habis dibagi a) a divides b • a | b a tidak habis membagi b (b tidak habis dibagi a, ada sisa) • Contoh: 3 | 7 salah tetapi 3 | 12 benar • Teorema: a, b, c adalah integer • Jika a | b dan a | c, maka a | (b+c) • Jika a | b, maka a | bc untuk sembarang integer c • Jika a | b dan b | c, maka a | c

5. Teorema • a | b dan a | c • b = ma dan c = na • b + c = ma + na = (m + n)a • jadi a | (b + c) • a | b dan c sembarang integer • b = ma, bc = (ma)c = (mc)a • jadi a | bc • a | b dan b | c • b = ma, c = pb = p(ma) = (pm)a • jadi a | c

6. Theorema Algoritma division a = dq + r syarat  0 <= r < d Dimana: q = adivd r = amodd adisebutdividend ddisebutdivisor qdisebutquotient rdisebutremainder a = integer d = positif integer q = integer r = positif integer

7. Contoh algoritma divisor • Apa quotient dan remainder ketika 101 dibagi oleh 11 ? • Jawab : • Menurut algoritma division •  a = dq + r •  101 = 11.9 + 2 • d dan r harus positif integer • a = 101 • d = 11 • q = a div d  q = 101 div 11  q = 9 • r = a mod d  r = 101 mod 11  r = 2  r positif

8. Contoh algoritma divisor • Apa quotient dan remainder ketika 11 dibagi oleh 3 ? • Jawab : • Menurut algoritma division •  a = dq + r •  11 = 3. (3) + 2 • D dan r harus positif integer • a = 11 • d = 3 • q = a div d  q = 11 div 3  q = 3 • r = a mod d  r = 11 mod 3  r = 2  r positif

9. Congruence • Diketahui bahwa a dan b adalah integer, m adalah integer positif, maka dikatakan • a congruent to b modulo m • jika (a – b) habis dibagi m. • Notasinya :ab (mod m)

10. Contoh • Apakah 17 congruent dengan 5 mod 6 ?  • ab (mod m) • Jawab  • a = 17 • b = 5 • m = 6 • 1.  17 mod 6 = 5 dan 5 mod 6 = 5 • 2.  (17-5) habis dibagi 6  12/6 = 2 dan tidak ada sisa • Jadi  17 5 (mod 6)

11. Contoh • Apakah 24 congruent dengan 14 mod 6 ?  • ab (mod m) • Jawab  • a = 24 • b = 14 • m = 6 • 1.  24 mod 6 = 0 dan 14 mod 6 = 2 • 2.  (24-14) habis dibagi 6  10/6 = 1 dan sisa 5 • Jadi  24 14 (mod 6)

12. Bilangan (integer) Prima: Bilangan prima p memiliki dua faktor: 1 dan p Teorema: Tiap integerpositif > 1 dapat ditulis sebagai bilangan prima atau hasil-kali dari dua / lebih bilangan prima Contoh: 100 = 2 . 2 . 5 . 5 999 = 3 . 3 . 3 . 37

13. Contoh • Apa Greatest Common Divisor dari 24 dan 36 ? • Jawab  • 24 = 1 x 24 atau 2 x 12 atau 3 x 8 atau 4 x 6 • Jadi positif common divisor untuk 24 adalah  1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 • 36 = 1 x 36 atau 2 x 18 atau 3 x 12 atau 4 x 9 atau 6 x 6 • Jadi positif common divisor untuk 36 adalah  1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 •  positif common divisor untuk 24 dan 36 adalah  1, 2, 3, 4, 6, 12 •  gcd(24,36) = 12

14. Contoh • Apa Greatest Common Divisor dari 17 dan 22 ? • Jawab  • 17 = 1 x 17 • Jadi positif common divisor untuk 17 adalah  1, 17 • 22= 1 x 22 atau 2 x 11 • Jadi positif common divisor untuk 22 adalah  1, 11, 22 •  positif common divisor untuk 17 dan 22 adalah  1 •  gcd(17,22) = 1

15. MATRIKS Sub-bab 2.7.

16. Matriks nol-satu • Definisi : merupakan matriks dengan entri-entri nol (0) atau satu (1) • Operasi pada matriks nol-satu: • Join A  B (berdasarkan operasi “OR”) • Meet A  B (berdasarkan operasi “AND”) • Perkalian Boolean A  B

17. Operasi pada matriks nol-satu • A = [ a ij ] dan B = [ b ij ] keduanya matriks m x n • Join A  B : [ A  B] i, j = a ij  b ij • Meet A  B : [A  B] i, j = a ij b ij • Perkalian Boolean A  B • A = [ a ij ] matriks m x n • B = [ b ij ] matriks n x k • C = [ c ij ] matriks m x k = A  B • c ij = (a i1 b 1j)  ( a i2 b 2j)  (ai3 b3j)  …  (a ik b kj)

18. Contoh A  B =

19. C = AB Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 (Baris 1)T (Baris 2)T (Baris 3)T