Prof. Dr Franciszek Kubiczek e-mail: fkub@onet.eu

TRENDY I WAHANIA OKRESOWETRENDS AND PERIODICAL FLUCTUATIONS 9 Rok akademicki 2011/2012 Prof. Dr Franciszek Kubiczek e-mail: fkub@onet.eu

ZMIANY W CZASIE • Trendy długoterminowe (T) – long-term trends • Cykle koniunkturalne (C) – business cycle • Wahania sezonowe (S) – seasonal variations • Zmiany przypadkowe (P) – random fluctuations

TRENDY (TENDENCJE) • Trend (T) – długookresowa (zwykle wieloletnia) tendencja oznaczająca systematyczny wzrost lub spadek obserwowanych w szeregu czasowym wielkości. Trend – wynik działania przyczyny głównej. • Wyodrębnienie trendu (determining of the trend) - podstawą do długoterminowych prognoz. Oczyszczenie szeregu czasowego z trendu pozwala z kolei na analizę krótkookresowych zmian (cykli, wahań sezonowych itp) „TREND IS MY FRIEND”

CYKLE KONIUNKTURALNE • Cykle (C) – systematyczne zmiany - wahania koniunkturalne -występujące w dłuższych okresach czasu, krótszych niż trendy, lecz dłuższych niż rok. • Ich rozpoznanie jest ważne dla właściwej interpretacji wyników: pozorna, krótkookresowa poprawa lub pogorszenie wyników nie musi oznaczać poprawy lub pogorszenia sytuacji w dłuższym okresie, może to bowiem właśnie wynikać z powtarzających się wahań koniunkturalnych. • Pełny cykl koniunkturalny: recesja, depresja, ożywienie i prosperity. • W dalszej prezentacji – ze względu na wejście tego tematu do przedmiotu – ekonometria, oraz w celu uproszczenia wykładu temat zostanie pominięty.

RECESJA, DEPRESJA W praktyce analitycznej przyjęto, że: • Recesja występuje wtedy, gdy dwa kwartały z rzędu PKB wykazuje spadek w porównaniu do poprzedniego roku; • Depresja występuje wtedy, gdy przez 36 miesięcy PKB wykazuje spadek w porównaniu do poprzednich lat; • Niektórzy analitycy dodają, że spadek ten powinien wynosić co najmniej 10% przez minimum 1 rok a stopa bezrobocia sięga co najmniej 11%.

WAHANIA SEZONOWE • Regularne zmiany (S),powtarzające się z okresu na okres, na ogół w okresie rocznym lub krótszym. • Są to regularne wahania (odchylenia od tendencji rozwojowej) związane np. z porami roku, jak w rolnictwie, turystyce bądź np. porą dnia (nocy), jak w energetyce (zużyciu energii). • Można obliczyć wskaźniki sezonowości (amplitudę wahań) - bardzo pomocne w prognozowaniu krótkookresowym.

ZMIANY PRZYPADKOWE (NIEREGULARNE) • Zmiany przypadkowe (P): wszystkie nieregularne zmiany, spowodowane przyczynami ubocznymi, losowymi; • Składnik losowy w modelu ekonometrycznym. • Ich rozpoznawanie pozwala na dokładniejsze określenie trendu i wahań sezonowych.

CELE ANALIZ • W analizie szeregów czasowych staramy się wyodrębnić trendy i wahania (odchylenia od trendu) i dokonać ich pomiaru. Dekompozycja szeregu czasowego. • Rezultaty analizy możemy wykorzystać w celu prognozowania zjawiska na przyszłość bądź interpolacji • Analizę rozpoczynamy zwykle od sporządzenia wykresu w układzie współrzędnych: na osi odciętych (x) odkłada się jednostki czasu, najczęściej oznaczanych literą t, a na osi rzędnych (y) wartości cechy.

MODELE Wybór modelu analizy i prognozy zjawiska zależy od rodzaju występujących w nim wahań sezonowych. Jeśli amplituda tych wahań jest stała – wybierzemy model addytywny, jeśli zmienna ale w stałym stosunku – model multiplikatywny. Modele addytywne – sumaryczne; modele multiplikatywne - iloczynowe

METODY WYODRĘBNIANIA TRENDU • Mechaniczne: -Średnia ruchoma(moving average) - Metoda graficzna (graphical method) - Wygładzanie wykładnicze Browna(exponential smoothing) - Ekstrapolacja(extrapolation) • Analityczne: -Metoda najmniejszych kwadratów(least squares method)

Wynajęte pokoje turystom zagranicznym w hotelach

ŚREDNIA RUCHOMA (KROCZĄCA) • Wzór:yi= ( yi +yi+1+yi+2):3 y1 = (y1 + y2 + y3):3, y2 = (y2 + y3 + y4):3, y3 = (y3 + y4 + y5):3 itd. gdzie: yi- średnia ruchoma y1, y2, y3, ..., yn - wartości szeregu czasowego okres = 3jest przykładowy • Długość okresu (tzw. kroku), wynikać powinna z analizy specyfiki przebiegu danego zjawiska (procesu). Wybór zależy od analityka, który ma do dyspozycji odpowiednie kryteria.

ŚREDNIA RUCHOMA - PRZYKŁAD • Trzyokresowa • y1=(174,2 + 184,4 + 244,5) : 3 = 201,0 • y2=(184,4 + 244,5 + 268,6) : 3 = 232,5 • y3=(244,5 + 268,6 + 362,8) : 3 = 292,0 • b) Pięciookresowa • y1=(174,2 + 184,4 + 244,5 + 268,6 + 362,8) : 5 = 246,9 • y2=(184,4 + 244,5 + 268,6 + 362,8 + 359,0) : 5 = 283,9 • y5=(362,8 + 359,0 + 373,6 + 368,0 + 383,3) : 5 = 369,3

Wynajęte pokoje turystom zagranicznym w hotelach 1997-2003

WYZNACZANIE WSKAŹNIKA SEZONOWOŚCI Procedura analiz i obliczeń: • wygładzenie szeregu czasowego (metody analityczne lub mechanicznie) • uwolnienie szeregu czasowego od trendu; otrzymane wartości zawierają wahania sezonowe i przypadkowe • eliminacja wahań przypadkowych; otrzymane wartości to surowe wskaźniki wahań sezonowych • obliczenie czystych (oczyszczonych) wskaźników sezonowych

WSKAŹNIKI SEZONOWOŚCI (NIEOCZYSZCZONE) • Przy występowaniu sezonowości, średnia ruchoma musi obejmować taką liczbę elementów, które obejmują pełny rok; czyli trzyelementowa dla informacji kwartalnych, dwunastoelementowa dla informacji miesięcznych itd. • Jeżeli surowy szereg - Yt -podzielimy przez szereg średniej ruchomej (dla odpowiednich okresów) – T - to iloraz ten będzie wyrażał sezonowość i zmiany przypadkowe • Y/T = T x S x P/T = S x P SZEREG SUROWY ZMIANY PRZYPADKOWE WAHANIA SEZONOWE TREND

WSKAŹNIKI SEZONOWOŚCI OCZYSZCZONEJ 1) Uśrednianie wskaźników sezonowości nieoczyszczonej dla tych samych okresów np. dla LIPCA (132,6 + 127,2 + 128,1) : 3 = 129,3 2) W ten sposób oczyszczamy z czynnika przypadkowego; często nazywane poprawianiem wskaźników sezonowości: 1 200 : 1 197,4 = 1,0022 WSPÓŁCZYNNIK KOREKTY np. dla LIPCA 129,3 x 1,0022 = 129,6

Wynajęte pokoje turystom zagranicznym w hotelach, motelach i pensjonatach wg m-cy

Poprawiony wskaźnik sezonowości

WYKORZYSTANIE WSKAŹNIKÓW SEZONOWYCH DO PROGNOZ KRÓTKOOKRESOWYCH Założenie: liczba turystów zagranicznych na 2002 r. = 3 190,6 tys. średniomiesięcznie: 265,9 tys. Rzeczywista Liczba Wskaźnik liczba turystów wg MIESIĄCE sezonowości Odchylenie Średnia Odchylenie turystów w wskaźników w %% tys. sezonowości 58,1 151,2 154,4 -3,2 265,9 -114,7 I 59,2 151,1 157,5 -6,4 265,9 -114,8 ODCHYLENIE PRZECIĘTNE II 81,6 227,7 216,9 10,8 265,9 -38,2 III 93,0 243,9 247,2 -3,3 265,9 -22,0 IV 130,0 338,9 345,6 -6,7 265,9 73,0 V WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI 134,0 362,4 356,4 6,0 265,9 96,5 VI 132,3 347,1 351,7 -4,6 265,9 81,2 VII 134,6 359,2 358,0 1,2 265,9 93,3 VIII 132,6 363,0 352,5 10,5 265,9 97,1 IX 107,9 291,5 286,8 4,7 265,9 25,6 X XI 76,4 196,3 203,3 -7,0 265,9 -69,6 60,4 158,3 160,6 -2,3 265,9 -107,6 XII 1200 3190,6 3190,8 ROK

OCZYSZCZANIE Z WAHAŃ SEZONOWYCH • Jeżeli znamy już wskaźnik sezonowości (S) dla poszczególnych okresów (miesięcy, kwartałów) to dzieląc surowy szereg Y przez czynnik sezonowy (S) otrzymamy szereg oczyszczony z sezonowości, lecz zawierający zmiany przypadkowe • Y/S = T x S x P/S = T x P

OCZYSZCZANIE Z WAHAŃ SEZONOWYCH Np. dla stycznia 1997 = 174,2 : 0,581 RZECZYWISTA LICZBA TURYSTÓW WSKAŹNIK SEZONOWOŚCI

KRYTERIA WYBORU Kryteria wyboru okresu średniej ruchomej: • MSE (Mean Square Error) • RMSE (Root-mean square error) • MAE (Mean absolute error) • MAPE (Mean absolute percentage error) Wybieramy okres dla średniej ruchomej o najmniejszym błędzie!!!

ŚREDNI BŁĄD KWADRATOWY MSE (błąd średniokwadratowy) RMSE Te dwie miary są bardzo wrażliwe na wartości nietypowe: duże, choć rzadkie błędy prognozy Yt – szereg surowy Ft – szereg prognozowany (wyrównany)

MAE (średni błąd absolutny) MAPE (procentowy średni błąd absolutny) • Średni błąd absolutny charakteryzuje mniejsza wrażliwość na rzadkie duże błędy prognozy, ponieważ miara ta jest obliczana na podstawie bezwzględnych, a nie kwadratowych odchyleń od wartości rzeczywistej. • Procentowy średni błąd absolutny właściwie mierzy błędy prognozy w stosunku do modułu prognozowanej zmiennej.

SZEREG CZASOWY BEZ TRENDU • Szereg czasowy, w którym nie obserwujemy trendu ani wahań okresowych, dominują natomiast odchylenia przypadkowe. • W pierwszym kroku, obliczamy średnią wartość zjawiska dla całego okresu i tę traktujemy jako wyjściową dla prognozowania, na najbliższy okres wychodzący poza szereg

KRYTERIA WYBORU PROCEDURY • Kryteria wyboru: błędy prognozy są faktycznie dobrymi miarami dokładności prognozy. W procedurze prognozowania szeregu czasowego bez trendu chodzi nam o prognozę o jeden krok do przodu, czyli na moment t+1, w której okresem wyjściowym prognozy (forecast origin)jest moment t. Znamy wartości zmiennej do momentu t i „stojąc” przy ostatniej znanej wartości patrzymy do przodu o jeden moment (dzień,tydzień, miesiąc, kwartał, rok itd.), a więc na moment t+1 i prognozujemy wartość naszej zmiennej na ten właśnie moment. Prognozowanie w dłuższym horyzoncie czasu (lead time)wymaga znajomości modeli Boxa-Jenkinsa.

PROCEDURA • Obliczamy średnie ruchome np. 4-tygodniowe i ta średnia jest prognozą dla 5-tego tygodnia, itd. dla następnych tygodni • W kolejnej kolumnie obliczamy średnie ruchome np. 5-cio tygodniowe - ta średnia jest prognozą dla 6-tego tygodnia itd. dla następnych tygodni • W kolejnych kolumnach obliczamy różnice między danymi rzeczywistymi i średnimi ruchomymi – dla danych okresów • W następnych kolumnach różnice te (tzw. błędy prognozy) podnosimy do kwadratu • W rezultacie zastosowania odpowiednich wzorów otrzymujemy tzw. średnie błędy, a te są kryterium wyboru długości okresu dla obliczeń średnich ruchomych • Kierując się tym kryterium poszukujemy optymalnej długości okresu, przy którym błąd ten jest najniższy.

2 2 liczba Średnia BŁĄD Średnia BŁĄD Średnia BŁĄD BŁĄD M-CE BŁĄD BŁĄD samoch. PROGNOZY PROGNOZY ruchoma PROGNOZY ruchoma ruchoma 2 t 2 2 Y (4) (2-3) (4) 5 m-czna (2-3) (4) t 3 m-czna 4 m-czna (2-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 626,7 1 STYCZEŃ 2 608,5 LUTY 629,4 3 MARZEC -50,3 571,2 621,5 2 533 4 KWIECIEŃ 8 076 692,9 603,0 89,9 83,9 7 048 MAJ 5 8 093 715,7 631,2 84,5 7 146 625,5 90,2 8 136 625,7 90,0 6 CZERWIEC 45 779 857,5 659,9 197,6 39 033 652,3 205,2 42 107 643,5 214,0 LIPIEC 7 8 979,7 755,4 224,3 50 325 709,3 270,4 73 103 693,3 286,4 82 002 SIERPIEŃ 3 844 701,4 851,0 -149,6 22 370 811,5 -110,1 12 111 763,4 -62,0 9 WRZESIEŃ -183,2 33 562 10 663,0 846,2 813,6 -150,6 22 673 789,4 -126,4 15 987 PAŹDZIERNIK 23 305 630,8 781,4 -150,6 22 670 800,4 -169,6 28 764 783,5 -152,7 11 LISTOPAD GRUDZIEŃ 12 3 222 608,3 665,1 -56,8 743,7 -135,4 18 340 766,5 -158,2 25 021 716,6 650,9 634,0 13 609,0

PORÓWNANIE PROGNOZ • Średnie trzymiesięczne: • MSE = 188 939:9 = 20 993,2 • RMSE = • Przy tej średniej błąd jest najmniejszy; wybieramy zatem średnią trzymiesięczną • Średnie czteromiesięczne: • MSE = 212 281:8 = 26 535,2 • RMSE = • Średnie pięciomiesięczne: • MSE = 204 031:7 = 29 147,3 • RMSE =

METODA WYRÓWNANIA (WYGŁADZANIA) - BROWNA • Alternatywną metodą wygładzania i prognozowania zjawisk charakteryzujących się brakiem trendu i sezonowości jest prosta metoda wyrównania (wygładzania) wykładniczego Browna Ft+1 = a Yt + (1- a) Ft Ft+1 = Ft + a ( Yt – Ft ) Ft+1powstaje przez dodanie do wartości wygenerowanej dla okresu poprzedzającego(Ft )części błędu(a)popełnionego przy prognozie dla tego właśnie okresu(Yt – Ft ) gdzie: a – stała wygładzania Yt– elementy surowego szeregu czasowego Ft- elementy szeregu wyrównanego lub

SZUKAMY OPTYMALNEJ STAŁEJ • a = stała wygładzania • Parametr ten zawarty jest między wartościami: 0 i 1 • Poszukujemy takiej wielkości stałej (a), przy której MSE jest najmniejszy, tzn. najmniejsza jest różnica pomiędzy rzeczywistym szeregiem czasowym i szeregiem wygenerowanym przy zastosowaniu tej procedury wygładzania • Procedurę można oprogramować w Excelu i nastawić na poszukiwanie takiej a, przy której MSE (błąd prognozy) jest najniższy • Dane bieżące i historyczne: im wyższa wartość stałej a tym większą wagę przywiązujemy do danych bieżących (bliższych) niż historycznych (dalszych)

PROCEDURA - PRZYKŁAD • a = 0,2 • F1 = Y1 = 626,7 • F2 = 0,2 Y1 + 0,8 F1 = 0,2 * 626,7 + 0,8 * 626,7 = 626,7 • F3 = 0,2 Y2 + 0,8 F2 = 0,2 * 608,5 + 0,8 * 626,7 = 623,1 • F7 = 0,2 Y6 + 0,8 F6 = 0,2 * 715,7 + 0,8 * 629,5 = 646,8 • F13 = 0,2 Y12 + 0,8 F12 = 0,2 * 608,3 + 0,8 * 704,5 = 685,3

LICZBA Miesiące 2 SAMOCHODÓW F Y - F (Y - F ) t t t t t t Y t 1. 2. 3. 4. 5. STYCZEŃ 1 626,7 626,7 0,0 0 LUTY 2 608,5 626,7 -18,2 331 MARZEC 3 629,4 623,1 6,3 40 KWIECIEŃ 4 571,2 624,3 -53,1 2 823 MAJ 5 692,9 613,7 79,2 6 272 CZERWIEC 6 715,7 629,5 86,2 7 423 LIPIEC 7 857,5 646,8 210,7 44 406 8 979,7 688,9 290,8 84 554 SIERPIEŃ 9 701,4 747,1 -45,7 2 086 WRZESIEŃ 10 663,0 737,9 -74,9 5 616 PAŹDZIERNIK 11 630,8 -92,2 8 492 723,0 LISTOPAD 12 608,3 704,5 -96,2 9 259 GRUDZIEŃ 13 171 302 685,3 Przykład a=0,8

Przykład a=0,2 LICZBA Miesiące 2 SAMOCHODÓW F Y - F (Y - F ) t t t t t t Y t 1. 2. 3. 4. 5. 626,7 626,7 0,0 0 STYCZEŃ 1 608,5 626,7 -18,2 331 LUTY 2 629,4 612,1 17,3 298 MARZEC 3 571,2 625,9 -54,7 2 997 KWIECIEŃ 4 692,9 582,1 110,8 12 266 MAJ 5 715,7 670,7 45,0 2 021 CZERWIEC 6 857,5 706,7 150,8 22 738 LIPIEC 7 8 979,7 827,3 152,4 23 213 SIERPIEŃ 9 701,4 949,2 -247,8 61 419 WRZESIEŃ 663,0 -88,0 10 751,0 7 738 PAŹDZIERNIK 11 630,8 680,6 -49,8 2 479 LISTOPAD 12 1 054 GRUDZIEŃ 608,3 640,8 -32,5 13 614,8 136 553

Przykład a=0,4 LICZBA Miesiące 2 SAMOCHODÓW F Y - F (Y - F ) t t t t t t Y t 1. 2. 3. 4. 5. 0 626,7 626,7 0,0 STYCZEŃ 1 608,5 626,7 -18,2 331 LUTY 2 629,4 619,4 10,0 100 MARZEC 3 571,2 623,4 -52,2 2 726 KWIECIEŃ 4 692,9 602,5 90,4 8 167 MAJ 5 715,7 638,7 77,0 5 933 CZERWIEC 6 857,5 669,5 188,0 35 349 LIPIEC 7 8 979,7 744,7 235,0 SIERPIEŃ 55 229 9 701,4 838,7 -137,3 18 850 WRZESIEŃ 10 -120,8 14 587 PAŹDZIERNIK 663,0 783,8 11 630,8 735,5 -104,7 LISTOPAD 10 955 608,3 12 693,6 -85,3 7 276 GRUDZIEŃ 13 659,5 159 503

Przykład a=0,6 LICZBA Miesiące 2 SAMOCHODÓW F Y - F (Y - F ) t t t t t t Y t 1. 2. 3. 4. 5. 0 626,7 626,7 0,0 STYCZEŃ 1 608,5 626,7 -18,2 331 LUTY 2 629,4 615,8 13,6 186 MARZEC 3 571,2 624,0 -52,8 2 783 KWIECIEŃ 4 692,9 592,3 100,6 10 120 MAJ 5 715,7 652,7 63,0 3 974 CZERWIEC 6 857,5 690,5 167,0 27 894 LIPIEC 7 8 979,7 790,7 35 723 SIERPIEŃ 189,0 41 086 9 701,4 904,1 -202,7 WRZESIEŃ 10 782,5 14 275 PAŹDZIERNIK 663,0 -119,5 11 -80,0 6 399 630,8 710,8 LISTOPAD 608,3 662,8 -54,5 2 970 12 GRUDZIEŃ 13 630,1 145 741

1000 Szereg surowy a=0,8 900 a=0,6 800 a=0,4 a=0,2 700 600 500 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Szereg surowy a=0,2 a=0,8 a=0,4 a=0,6

Prof. Dr Franciszek Kubiczek e-mail: fkub@onet.eu