RELACJE

1. RELACJE

2. Relacje binarne Definicja Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Dowolny podzbiór R zbioru X  Y nazywamy relacją binarną (dwuargumentową, dwuczłonową) na zbiorze X  Y. UWAGA: Ponieważ R XY, R jest zatem zbiorem par uporządkowanych. Jeśli xX, yY oraz <x,y>R to mówimy, że x jest w relacji (R) z y. Inny zapis to x R y. Definicja Mając dowolną relację R XY, zbiór D(R)={x : yY <x,y>R} nazywamy dziedziną relacji R, zbiór V(R)={y : xX <x,y>R} przeciwdziedziną relacji R, a zbiór D(R)V(R) polem relacji R. Relacją n-członową nazywamy relację,której wszystkie elementy są n-kamiuporządkowanymi RX1X2..Xn

3. Relacje binarne – przykłady Przykład Relacja < w zbiorze liczb rzeczywistych jest to podzbiór produktu R  R, do którego należą wszystkie pary <x,y> takie, że x,yR i x<y. Przykład Niech P(X) będzie niepustą rodziną zbiorów. Relacja inkluzji jest własnością par uporządkowanych <A,B> takich, że A B oraz A, B P(X). Jest to relacja binarna w P(X)  P(X). Inne przykłady: Podzielność liczb w zbiorze liczb naturalnych Równoległość prostych na płaszczyźnie Stosunki pokrewieństwa pomiędzy ludźmi („być ojcem”) UWAGA: Elementy należące do relacji posiadają zatem jakieś szczególne własności (takie, jakie definiuje relacja).

4. 1 1 5 5 2 2 7 7 3 3 8 8 4 4 Relacje binarne – reprezentacje UWAGA: Każdą relację binarną określoną w zbiorze skończonym można przedstawić w postaci macierzowej lub diagramu Niech X= {1,2,3,4} i Y = {5,7,8} oraz R XY R={<1,5>, <3,7>, <2,8>, <4,5>, <1,7> }

5. Specjalne rodzaje relacji binarnych Rozważmy relację RXX R jest zwrotna w X, jeśli xX <x,x>R R jest przeciwzwrotna w X, jeśli xX <x,x>R R jest symetryczna w X, jeśli x,yX <x,y>R<y,x>R R jest antysymetryczna w X, jeśli x,yX <x,y>R <y,x>R  x=y R jest przeciwsymetryczna w X, jeśli x,yX <x,y>R<y,x>R R jest przechodnia w X, jeśli x,y,zX <x,y>R<y,z>R  <x,z>R R jest spójna w X, jeśli x,yX <x,y>R <y,x>R x=y

6. Odwracanie i składanie relacji Definicja Jeżeli R jest relacją binarną w X  Y, to R -1 jest relacją binarną w Y  X, zdefiniowaną następująco: R –1={<y,x> : <x,y>R }. Przykład: L zbiór ludzi RLL R={<x,y> : x dzieckiem y} R-1={<y,x> : y jest rodzicem x} Definicja Jeśli RXY oraz SYZ, to relację T={<x,z> : y <x,y>R  <y,z>S} nazywamy złożeniem relacji R i S (zamiast T można zapisać SR).

7. Skoda Mazda Toyota Fiat Relacja równoważności Definicja Relację RXX nazywamy relacją równoważności wttw R jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią. Przykłady 1. L – zbiór wszystkich prostych na płaszczyźnie, RLLl, hL l R h  l || h 2. L – zbiór chorych RLL l, hL l R h l jest chory na tę samą chorobę co h 3. L – zbiór samochodów RLL l, hL l R h l został wyprodukowany przez tę samą firmę co h

8. Klasa abstrakcji Definicja Niech R będzie relacją równoważności w zbiorze X, wtedy dla dowolnego x X, zbiór [x]R= {y  X : x R y} nazywamy klasą abstrakcji relacji R o reprezentancie x. Stwierdzenie Jeżeli R jest relacją równoważności w zbiorze X, to dla dowolnych x,yX, prawdziwe są następujące warunki: x [x][x] = [y] wttw x R yJeżeli [x]  [y] , to [x]  [y] =  UWAGA: Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji R w X oznacza się X\R i nazywa się zbiorem ilorazowym

9. Skoda Mazda Toyota Fiat Zasady abstrakcji • Definicja • Rodzinę P podzbiorów zbioru X nazywamy podziałem zbioru • X wttw • F dla każdego FP • P=X • i,j FiFj Fi  Fj = Twierdzenie Każda relacja równoważności R w zbiorze X ustala podział tego zbioru. Podział ten tworzą klasy abstrakcji tej relacji (relacji R). Zachodzi również twierdzenie odwrotne Każdy podział H={ Hi : iI } zbioru X wyznacza relację równoważności RH w zbiorze X, w myśl wzoru x, y  X xRH y iI ( xHi yHi )

10. Funkcja jako relacja • Definicja • Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Relację RXY nazywamy • Funkcją, jeśli spełnia ona następujące warunki: • xX yY x R y • xX y1,y2 Y ( x R y1  x R y2 )  y1=y2 UWAGA: To jedyne y, które pozostaje w relacji z x oznaczamy R(x). Zazwyczaj funkcje oznaczamy jako f, g, h itd. Funkcja różnowartościowa (injekcja) x,yX [ f(x)=f(y) ] x=y Funkcja „na” (surjekcja) yY xX ( y=f(x) ) Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne (bijekcja) injekcja + surjekcja

11. Y X Y X różnowartościowa Y odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne X „na” Przykłady funkcji

12. z Y X Obraz i przeciwobraz zbioru Definicja Załóżmy, że AX oraz fXY (f:XY) jest funkcją. Obrazem zbioru A przez funkcję f nazywamy zbiór f(A)={y : xA y=f(x) } Definicja Załóżmy, że ZY oraz fXY (f:XY) jest funkcją. Przeciwobrazem zbioru Z przez funkcję f nazywamy zbiór f-1(Z)={x : yZf(x)=y }

13. Relacje porządkujące Definicja Relację binarną R w zbiorze X nazywamy porządkiem (częściowym porządkiem) wttw R jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią. Zbiór X wraz z porządkiem R nazywamy zbiorem uporządkowanym. Ozn. <X, R>. Przykłady 1. R – rodzina zbiorów <R, > 2. Zbiór N jest uporządkowany przez relację podzielności n | m  n jest dzielnikiem m 3. Każdy niepusty podzbiór zbioru R uporządkowany jest przez relację 

14. b b c e f a a d a b c c d a b Reprezentacja graficzna Diagramy Hassego 1. a R b – a znajduje się poniżej b 2. ai R aj - od ai do aj prowadzi łamana skierowana w górę UWAGA: Skończoność zbioru X gwarantuje istnienie Diagramu Hassego dla <X, R>.

15. Elementy wyróżnione • Definicja • Niech <X, R> jest zbiorem uporządkowanym • Element a X nazywamy maksymalnym w zbiorze <X, R> wttw • xX, (a R x  x=a) • 2. Element a X nazywamy minimalnym w zbiorze <X, R> wttw • xX, (x R a  x=a) • Definicja • Niech <X, R> jest zbiorem uporządkowanym • Element a X nazywamy największym w zbiorze <X, R> wttw • xX,x R a • 2. Element a X nazywamy najmniejszym w zbiorze <X, R> wttw • xX,a R x

16. Elementy wyróżnione cd. Twierdzenie W zbiorze uporządkowanym <X, R> istnieje co najwyżej jeden element największy (najmniejszy). Element największy (najmniejszy) jest maksymalny (minimalny) Dowód: ćwiczenia Definicja Jeśli relacja R spełnia warunki porządku częściowego oraz jest relacją spójną, to R nazywamy relacją liniowo porządkującą Czyli łańcuch jest liniowo uporządkowany Definicja Niech dany jest zbiór uporządkowany <X, R> Podzbiór AX, nazywamy łańcuchem jeśli, x,yA, ( x R y  y R x )

17. Kresy Definicja Niech AX, gdzie <X, R> zb. up. Element x0 nazywamy ograniczeniem górnym (dolnym) zbioru A, jeśli  xA, x R x0 ( x0 R x ) Najmniejsze ograniczenie górne zbioru A (jeśli istnieje) nazywamy kresem górnym zbioru A (sup A) Największe ograniczenie dolne zbioru A (jeśli istnieje) nazywamy kresem dolnym zbioru A (inf A). Twierdzenie W każdym niepustym skończonym zbiorze liniowo uporządkowanym istnieje element największy (ostatni) i element najmniejszy (pierwszy)

18. Porządek leksykograficzny Definicja Niech <X1,R1>,.,<Xn,Rn> są zbiorami częściowo uporządkowanymi. Relację R* określoną w produkcie X1X2..Xn: <x1,x2,..,xn> R* <y1,y2,..,yn> wttw albo dla wszystkich in xi=yi albo istnieje takie k (0<kn), że dla 0<i<k, xi=yi oraz xkRkyk, xkyk nazywamy porządkiem leksykograficznym w X1X2..Xn. Przykład Mamy ={a,b,..,z}, na którym określamy zwykły porządek liniowy liter w alfabecie. Wówczas R* określona w m, mN jest zwykłym porządkiem alfabetycznym w m. kos R* kot R* ros

19. Porządek słownikowy Definicja Niech  będzie ustalonym alfabetem uporządkowanym liniowo przez relację R. W zbiorze * (wszystkich słów nad alfabetem ), definiujemy relację porządku słownikowego RL: <x1,..,xn> RL <y1,..,ym> wttw albo nm i dla wszystkich i (1<in) xi=yi albo istnieje takie k (1<kmin(n,m)), że dla każdego i (0<i<k) xi=yi oraz xkRyk, dla xkyk Przykład kos RL kosa RL rosRL rosomak Alfabet identyczny jak w poprzednim przypadku, nie zakładamy długości słów