Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real

1. Sistemas e Sinais (LEIC) – Maquinas de estados em Tempo Real Carlos Cardeira

2. Máquinas de estados – Tempo Real • Máquinas de estado em tempo real • Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI), representação [A,B,C,D] • Equações Diferenciais e sua relação com LTI

3. Máquinas de estados – Tempo Real • Máquinas de estado em tempo real • Similares às máquinas de estados mas agora os indices representam tempo real. Há uma actualização periódica do estado. Deixa de haver “absent”. • O espaço de estados pode ser infinito • A função update pode ser expressa algébricamente (de outra forma não podia ser uma vez que o espaço de estados pode ser infinito)

4. Sistemas Lineares e Invariantes (LTI) • Os sistemas Lineares e Invariantes no tempo são aqueles para os quais se conhecem mais resultados • De uma forma geral, dentro de ums determinada gama de funcionamento, os sistemas podem ser aproximados a LTI.

5. Equações Diferenciais • Os sistemas que se conseguem descrever através de equações diferenciais podem ser definidos como sistemas LTI • Circuitos electricos RLC ou sistemas mecânicos pertencem a esta categoria

6. Máquinas de estados determinísticas

7. Máquinas de estados tempo real • N deixa de representar apenas um índice mas passa a representar tempo real (segundos, minutos, etc.). • Absent deixa de ser necessário. • Entradas, saídas, estados passam a assumir valores pertencentes a R. • Recurso intensivo à Álgebra Linear para a manipulação dos vectores e matrizes.

8. Delay3

9. Estados do Delay • O exemplo pode corresponder à amostragem de um sinal de voz ao ritmo de 8192 amostras/s. O sistema delay guarda as últimas três amostras deste sinal. • si(n) representa a iésima amostra anterior (s1 (n) = x(n), …, s3 (n) = x(n-3) = y(n) • A saída é igual à entrada desfasada de três unidades • Como se verá, este sistema pode ser representado por matrizes. • O espaço de estados é R3. Se as entradas forem {0,1} o espaço de estados seria {0,1}3 • Não se podem fazer diagramas de estado ou tabelas se o espaço de estados, entradas ou saídas pertencerem a R.

10. Média Móvel

11. Média Móvel • Trata-se de uma média móvel das últimas 4 amostras. • Os estados seguintes dependem dos estados actuais e das entradas, • A saída depende do estado actual e das entradas.

12. Estimação • y(n) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) • Em estimação é frequente ter valores onde se pensa poder extrair uma função que os identifique. • Em vez de ¼ poderíamos tentar calcular os valores que melhor satisfizessem a equação de y(n).

13. Média móvel das saídas (autoregressão) e da entrada actual • y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ¼ y(n-3) + ¼ x(n) • Neste caso, a saída depende dos seus próprios valores anteriores e da entrada nesse instante. • Parece óbvio que os estados correspondam a s1(n)=y(n-1), s2(n)=y(n-2) e s3(n)=y(n-3). • A função update seria: • Começar por s1 não dá  • s2(n+1)=y(n-1)= s1(n) • s3(n+1)=y(n-2)=s2(n) • y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) • (agora já se tem o s1(n) porque é igual ao y(n))

14. Usando Delays: y(n-1) y(n-2) y(n-3) y(n) D D D ¼ ¼ ¼ x(n) +

15. Autoregressão e Média Móvel (ARMA) • y(n) = ¼ y(n-1)+ ¼ y(n-2)+ ½ y(n-3) + 1/4 x(n) + 2x(n-1) + ½ x(n-2) • Necessitaria de 5 delays (adiante veremos que seria possível fazê-lo com 3)

16. Auto-regressão • s1(n+1) = ¼ x(n)+ ¼ x(n-1)+ ¼ x(n-2) + ¼ x(n-3) • s2(n+1)= s1(n) • s3(n+1)=s2(n) • y(n)= ¼ s1(n)+ ¼ s2(n)+ ¼ s3(n) + ¼ x(n) s1(n+1) ¼ ¼ ¼ s1(n) 1 s2(n+1) = 1 0 0 s2(n) + 0 x(n) s3(n+1) 0 1 0 s1(n) 0

17. Média Móvel • y(n) = [¼ ¼ ¼] s1(n) + [¼] x(n) s2(n) s3(n)

18. Representação [A,B,C,D] S(n+1) = A s(n) + B x(n) y(n) = CT s(n) + D x(n) Notas: Por omissão, todos os vectores são colunas. Um vector linha obtem-se transpondo um vector coluna Todos os LTI podem ser colocados neste formato

19. Sistema LTI Genérico • MIMO: Multiple Input, Multiple Output • SISO: Single Input, Single Output

20. Espaço de estados infinito com funções de update lineares

21. Exemplo: Circuito R/C

22. Resposta de um sistema SISO

23. Resposta de um sistema SISO

24. Resposta de um sistema SISO m=n-1 m=1 m=0

25. Resposta de um sistema SISO • A resposta pode ser decomposta em duas partes: • Uma que só depende do estado inicial • Outra que só depende das entradas • Se a entrada for zero, a resposta só depende do estado inicial. Trata-se da resposta “zero-input” • Se o estado inicial for zero, a resposta só depende da entrada. Trata-se da resposta “zero-state” • A resposta total é a soma das duas. • O facto de se poder separar a resposta nestas duas componentes, é uma característica importante dos sistemas LTI.

26. Resposta de um sistema SISO • Suponhamos que o estado inicial do sistema é igual a 0. • O sistema é linear !

27. Resposta de um sistema SISO • Suponhamos que o estado inicial do sistema é igual a 0. • O sistema é linear !

28. Resposta Impulsiva

29. Resposta Impulsiva

30. Resposta Impulsiva • Suponhamos a entrada impulso (função Delta de Kronecker) x(0)=d(0): • x(0) = 1, x(n) = 0 n>0 • Se assim for, a resposta do sistema dá exactamente h(n) • É por isso que a h(n) se chama “resposta impulsiva”

31. Exemplos SISO – circuito RC

32. Exemplos SISO – circuito RC

33. Exemplo : circuito RC

34. Exemplos SISO – circuito RC

35. Circuito RC : exemplo numérico R=1M C=1µF =0.1s

36. Exemplos SISO – circuito RC

37. Exemplos SISO – circuito RC – resposta impulsiva

38. Exemplos SISO – circuito RC – resposta a uma entrada contínua

39. Exemplos SISO – circuito RC – resposta a uma entrada contínua

40. Exemplos SISO – conta bancária – resposta impulsiva

41. Exemplos SISO – conta bancária – cálculo de um empréstimo

42. Exemplos SISO – conta bancária – cálculo de um empréstimo

43. Exemplos SISO – FIR

44. Exemplos SISO – FIR

45. Exemplos SISO – FIR

46. Sistemas MIMO A matriz A é quadradra (NxN) A matriz B tem dimensões (NxM) A matriz C tem dimensões (KxN) A matriz D tem dimensões (KxM)

47. Sistemas MIMO • A matriz h tem dimensões (KxM) • h(i,j) é a resposta impulsiva da saída yi à entrada xj, considerando as restantes entradas nulas

48. MIMO e SISO

49. Sistemas Lineares Contínuos • SISO • z: ReaisPositivos → ReaisN estado do sistema • z.(t) é a derivada de z avaliada em t • v: ReaisPositivos → Reais é a entrada do sistema • w: ReaisPositivos → Reais é a saída do sistema

50. Sistemas Contínuos • Em vez do estado seguinte, da-se a têndencia do estado (a sua derivada). • O estado seguinte não teria sentido uma vez que o sistema deixa de ser uma máquina de estados cujos estados mudam a intervalos regulares. • A resolução de um sistema contínuo, implica a resolução de equações diferenciais (e transformadas de Laplace). • É no entanto possível aproximar um sistema contínuo por um sistema discreto. Este é o processo usado em simulações.