DANE INFORMACYJNE

DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum w Pomorsku • ID grupy: 98/41_MF_G2 • Opiekun: Marek Wądołowski • Kompetencja: • Matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Liczby wymierne • Semestr/rok szkolny: semestr II rok 2010/2011

LICZBA Pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań. Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują „liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite” itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

LICZBY WYMIERNE Lliczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Q. Wobec tego:

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób: Niech w zbiorze par liczb całkowitych(a,b) ЄΖxΖ*, których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności(a,b)˜(c,d) wtedy i tylko wtedy, gdy ad = bc. W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania [(a,b)] + [(c,d)] = [(ad + bc,bd)], [(a,b)] • [(c,d)] = [( ac,bd)],. Parę (a,b) zapisuje się zwykle w postaci ułamka a/b, bądź jeśli b = 1, to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą a.

WŁASNOŚCI Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało. Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny(co oznacza się ) Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistychR , liczby wymierne są gęste wR .

Liczba wymierna jest to liczba, którą można wyrazić w postaci a/b, gdzie a jest liczbą całkowitą i b jest liczbą całkowitą różną od zera. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą W Liczbami wymiernymi są na przykład: 1/2, 6/3 (czyli 2), 0/7 (czyli 0), -5/10 (czyli -1/2), 0.01 (czyli 1/100), 3/2 (czyli 1 i 1/2). Mimo, że liczby 5 i 0.3333... nie są wyrażone w postaci ułamka a/b, to są liczbami wymiernymi, ponieważ można je wyrazić w takiej postaci: 5 = 5/1 0.3333... = 1/3 Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby najmniejszej, ani największej.Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych(CW).

Iloraz a/b nazywamy ułamkiem zwykłym: właściwym, jeżeli a < b ,niewłaściwym, jeżeli a ≥ b.1/2, 5/8, 100/101 to ułamki zwykłe właściwe, 2/1, 8/5, 101/100, 0/3 to ułamki zwykłe niewłaściwe Ponadto liczbę a nazywamy licznikiem, a liczbę b - mianownikiem ułamka.

UŁAMEK DZIESIĘTNY Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, 10000 itd. możemy zapisać w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i 10-te, 100-tne, 1000-czne itd. części tej liczby. 2/10 = 0.2 14/100 = 0.14 2/1000 = 0.002 111/100 = 1.11

Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny należy wykonać dzielenie pisemne licznika przez mianownik. W wyniku dzielenia możemy uzyskać ułamek dziesiętny skończony lub ułamek dziesiętny nieskończony okresowy.Każda liczba wymierna ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne: okresowe lub skończone5/4 = 1.25 - jest to przykład ułamka dziesiętnego skończonego1/3 = 0.333... = 0.(3) - jest to przykład ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego. Ponieważ po kropce liczba "3" powtarza się nieskończenie wiele razy używamy zapisu polegającego na ujęciu okresu w nawiasach okrągłych. Gdy zechcemy zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, to jest to proste, jeżeli mamy do czynienia z ułamkiem dziesiętnym skończonym (np. 0.11 = 11/100), natomiast w przypadku ułamka okresowego trzeba stosować metody, które zostaną omówione w dalszej części kursu.

ZAMIANY UŁAMKÓW Która z liczb: 1 czy 0.999... jest większa? Aby to sprawdzić zamieńmy ułamek okresowy 0.(9) na ułamek zwykły. Niech x = 0.999... Obie strony tego równania mnożymy przez 10. Otrzymujemy 10x = 9.999... Mamy zatem prosty układ równań: 10x = 9.999... i x = 0.999... Kiedy odejmiemy od pierwszego równania drugie, otrzymamy:9x = 9.000..., czyli 9x = 9. Dzieląc obie strony równania przez 9 otrzymujemy wynik: x = 1. Ale przecież na początku zapisaliśmy, że x = 0.999... ! Wnioskujemy więc że liczby te są ... równe!: 1 = 0.999...

Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z żadnym przybliżeniem.Każdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 można zastąpić ułamkiem dziesiętnym skończonym.A więc dla przykładu: 0.8(9) = 0.9 1.999... = 2 0.1(9) = 0.2 1 i 0.999... to po prostu różny sposób zapisu tej samej liczby

DODAWANIE LICZB WYMIERNYCH Suma liczb przeciwnych równa jest zero: a+(-a)=0. Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Aby dodać dwie liczby ujemne, dodajemy ich wartości bezwzględne, a przed wynikiem piszemy znak minus. Aby dodać dwie liczby o różnych znakach i o różnych wartościach bezwzględnych należy od większej wartości bezwzględnej odjąć mniejszą i przed wynikiem napisać taki znak jaki ma liczba o większej wartości bezwzględnej. Oblicz: 1,4 + (-2)= 10 + (-8,5) + (-12,6) =

ODEJMOWANIE LICZB WYMIERNYCH Opuszczając nawias, przed którym jest znak minus, zmieniamy znak każdej liczby w nawiasie na przeciwny. Poćwiczmy Oblicz różnicę liczb 12 – (-3) = -12 – (-12,05) = 25 – (-3,4) =

MNORZENIE I DZIELENIE LICZB WYMIERNYCH Iloczynem dwóch liczb wymiernych o różnych znakach jest liczba ujemna. Iloczynem dwóch liczb wymiernych o jednakowych znakach jest liczba dodatnia. Iloczyn liczb wymiernych jest: Liczbą ujemną, jeżeli liczba czynników ujemnych jest nieparzysta, Liczbą dodatnią, jeżeli liczba czynników ujemnych jest parzysta, Równy zero, jeżeli co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Ilorazem dwóch liczb wymiernych: o różnych znakach jest liczba ujemna o jednakowych znakach jest liczba dodatnia Poćwiczmy -2,8 · 0,36 = -1,1 · 1,1· (-1,111) = -6,7: 1,3 = -4,03 : 5=

WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY WYMIERNEJ Wartości bezwzględne liczb wymiernych są liczbami nieujemnymi (dodatnie). Dla każdej liczby a, |a| > 0 Wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli: |-4|=|4| |¼|=|–¼| Zadania Oblicz: |-2| · |-3,4 |= |-7|+|-3½| =

SPRAWDŹ SWOJĄ WIEDZĘ Zad.1 Wartość wyrażenia 3,5+(-8,3) jest równa: a)–5,2 b)-11,8 c)11,8 d)-4,8 Zad.2 Wartość wyrażenia –7,1-(-8,6) jest równa: a)-15,7 b) +15,7 c) –1,5 d)1,5 Zad.3 Odwrotnością liczby –4,8 nie jest : a) 4,8 b) -10/48 c) –5/24 d) –20/96 Zad.4 Średnią arytmetyczną liczb: 7,3; -8,2; -5,4 jest liczba: a) -2·(-24) b) (-671,2)2 c) –6,9(6) d) 6,575

AUTORZY Dawid Kowaluk Kamil Kołodziejczyk Bartosz Hoffman Karolina Michalska Natalia Bajon Bartosz Wołongiewicz Paulina Szostak Dominika Wachelka Monika Styś Agnieszka Pyka Arkadiusz Kuryluk

DANE INFORMACYJNE