Théorème des milieux

1. Théorème des milieux • Hypothèses: • I milieu de [AB] • J milieu de [AC] • Conclusion: • (IJ) est parallèle à (BC) • La longueur IJ est la moitié de la longueur BC

2. Réciproque du « théorème des milieux » • Hypothèses: • I milieu de [AB] • La droite (IJ) est parallèle à la droite(BC) • Conclusion: • J est le milieu de [AC] Double-clic pour insérer une image

3. Théorème de Pythagore • Hypothèse: • Le triangle ABC est rectangle en A • Conclusion: • BC²=AB²+AC² • (le carré de la mesure de son hypothénuse est égal à la somme des carrés des mesures de ses autres côtés.) Double-clic pour insérer une image

4. Réciproque du théorème de Pythagore • Hypothèse: • BC²=AB²+AC² • (le carré de la mesure de son hypothénuse est égal à la somme des carrés des mesures de ses autres côtés.) • Conclusion: • Le triangle ABC est rectangle en A

5. Droites remarquables du triangles(1) • Les médiatrices des trois côtés d'un triangle ABC sont concourantes;ce point O est équidistant des trois sommets.Il existe donc un cercle qui a pour centre ce point et qui passe par les trois sommets. • C'est le cercle circonscrit au triangle

6. Caractérisation du triangle rectangle • Hypothèses: • Le triangle ABC est rectangle en A • J est le milieu de l'hypoténuse [BC] • Conclusions: • Le cercle circonscrit au triangle ABC a pour diamètre [BC] • La longueur AJ est la moitié de la longueur BC

7. Caractérisation du triangle rectangle • Hypothèses: • Les points A, B et C appartiennent au cercle • [BC] est un diamètre du cercle. • Ou • La longueur AJ est la moitié de la longueur BC et J milieu de [BC] • Conclusions: • ABC est rectangle en A

8. Droites remarquables du triangles(2) • Hauteur d'un triangle • On appelle hauteur d'un triangle la droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. • Propriété: • Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point nommé orthocentre de ce triangle

9. Droites remarquables du triangles(3) • Médiane d'un triangle • On appelle médiane d'un triangle la droite joignant un sommet et le milieu du côté opposé. • Propriétés: • Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point nommé centre de gravité de ce triangle • GA'=1/3AA'et • GA=2/3AA'

10. Théorème de Thalès • Hypothèses: • M est un point du côté [AB] • N est un point du côté [AC] • (MN) est parallèle à (BC) • Conclusion: • AM/AB= AN/AC= MN/BC

11. Droites remarquables du triangles(4) • Cercle circonscrit dans un triangle • Propriété: • Les bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes en un point équidistant des trois côtés de ce triangle. • Il existe donc un cercle qui a pour centre ce point et qui est tangent aux trois côtés. • Définition:On appelle cercle inscrit dans ce triangle le cercle tangent aux trois côtés du triangle.

12. Distance d'un point à une droite • On appelle distance d'un point M à une droite (d) la plus courte distance du point M à un point de (d). • C'est la longueur du segment [MH], H appartenant à la droite (d) et (MH) étant perpendiculaire à (d).

13. Tangente à un cercle • Une droite (d) et un cercle (C) qui n'ont qu'un seul point commun A, sont dits tangents en A. • Propriétés: • Si une droite est tangente à un cercle alors cette droite est perpendiculaire au rayon correspondant • Si une droite est perpendiculaire en A au rayon[OA] d'un cercle alors cette droite est tangente à ce cercle en A

14. Bissectrice d'un angle • Définition: • On appelle bissectrice d'un angle, la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents égaux • Propriétés: • Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, alors il est à égale distance des côtés de l'angle. • Si un point est à égale distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.

15. Cosinus d'un angle aigu • Vocabulaire: • Dans un triangle ABC rectangle en C, on appelle: • Hypoténuse, le côté [AB], • Côté de l'angle droit adjacent à l'angle B:le côté [BC], • Côté de l'angle droit opposé à l'angle B: le côté [AC]

16. Cosinus d'un angle aigu (suite) • .Définition: • Dans un triangle rectangle, on appelle cosinus d'un des angles aigus la quotient de la mesure de la longueur du côté de l'angle droit adjacent à cet angle par celle de l'hypoténuse du triangle • Cos MNO=MN/NO • Cos MON=MO/NO • Remarque pour tout angle µ dont la mesure en degrés est telle que:0°≤ µ ≤ 90°, on a: 0≤ cosµ ≤ 1