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Cours d’Algorithmique

Cours d’Algorithmique. Alexandra Bac - Henry Kanoui - Alain Samuel. Marc Gengler Marc.Gengler@esil.univ-mrs.fr. 24h de cours 24h de TD des devoirs un projet … et un examen. Les grandes lignes du cours. Trier et chercher Listes et arbres Le back-track Arbres équilibrés

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Presentation Transcript

  1. Cours d’Algorithmique Alexandra Bac - Henry Kanoui - Alain Samuel Marc Gengler Marc.Gengler@esil.univ-mrs.fr 24h de cours 24h de TD des devoirs un projet … et un examen Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  2. Les grandes lignes du cours • Trier et chercher • Listes et arbres • Le back-track • Arbres équilibrés • Récursivité et induction sur la structure • Divide and conquer • Minimax • Dérécursion • Divers problèmes particuliers • Logique de Hoare • Programmation dynamique • Complexité et calculabilité Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  3. Bibliographie • Tout ce qui contient • algorithmes, algorithms. • Internet • souvent, c’est très (trop) simplifié, • et pas toujours correct. • Mes choix • Introduction to Algorithms, Leiserson et al. • Algorithms, Sedgewick. • Fundamental Algorithms, Knuth. • des anciens cours ;-) • D’autres choix • Introduction à l’algorithmique, Leiserson et al. chez Dunod. • Initiation à l’algorithmique et aux structures de données, Courtin et Kowarski. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  4. Al Khwarizmi • Célèbre mathématicien à Bagdad, vers 780-850. • « Kitâb al-jabr wa al-muqâbala ». Livre sur la science de la transposition et de la réduction : résolution systématique de l’équation du second degré. • Traduit en latin au 12e siècle par Gherardo di Cremona sous le titre « Dixit Algorismi ». • Aussi : « Kitâb al Jami wa al Tafriq bi Hisab al Hind ». Livre de l'addition et de la soustraction d'après le calcul des indiens. • http ://trucsmaths.free.fr/alkhwarizmi.htm • http://publimath.irem.univ-mrs.fr/glossaire/AL016.htm Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  5. Al Khwarizmi 16 + X^2 + 8 * X = 33 + 16 ( X + 4 )^2 = 7^2 4 2 * X X^2 Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  6. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Les hypothèses : • Tableau d’entrées 0 à n-1. • Entiers naturels, mais n’importe quel ensemble ordonné peut convenir. • Les répétitions sont possibles. Le but : Nous trions pour accélérer les recherches ! • Ordonner le tableau par valeurs non décroissantes. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  7. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Quelle relation d’ordre ? • En général, l’ordre est imposé par le monde extérieur. • Je peux trier des personnes : • d’après l’âge, • d’après le poids, • d’après la taille, • d’après l’ordre lexicographique des patronymes, • . . . Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  8. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Situation initiale Valeurs Pas de relation entre les indices et les valeurs ! n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  9. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Situation finale Valeurs Une relation claire entre les indices et les valeurs ! n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  10. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- situation intermédiaire Valeurs Non triées et plus grandes Triées i-1 n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  11. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par échange - suite Les hypothèses : • Les entrées de 0 à i-1 sont triées. • Elles sont plus petites que les entrées suivantes. • Les entrées à partir de l’indice i ne sont pas triées. A faire pour mettre en place l’entrée i : • Chercher l’indice j du minimum à partir de i. • Echanger les éléments i et j. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  12. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- situation intermédiaire Valeurs Non triées et plus grandes Triées <- échange -> j n-1 0 1 2 3 … i Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  13. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- situation intermédiaire Valeurs Non triées et plus grandes Triées j n-1 0 1 2 3 … i Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  14. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- propriété invariante • Nous avions une certaine situation sur l’intervalle [ 0 .. i-1 ] : • les éléments jusqu’à i-1 sont triés, • ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés. • Nous retrouvons la même situation sur l’intervalle [ 0 .. i ] : • les éléments jusqu’à i sont triés, • ceux qui suivent sont plus grands, mais pas triés. • Cette propriété est donc invariante avec i, on l’appelle un invariant Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  15. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- le code for ( i=0 ; i<n-1 ; i++ ) {ind_min = i; for ( j=i+1 ; j<n ; j++ ) if ( t[j] < t[ind_min] ) ind_min = j; aux = t[i]; t[i] = t[ind_min]; t[ind_min] = aux; } Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  16. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par échange --- la complexité • Ont fait n-1 fois, pour i de 0 à n-2 : • Un parcours de [i..n-1]. • Il y a donc un nombre de lectures qui vaut : S(n-i) = 0 (n^2) i=0..n-2 Tri en complexité quadratique. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  17. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire Valeurs Non triées et quelconques Triées i-1 n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  18. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par insertion - suite Les hypothèses : • Les entrées de 0 à i-1 sont triées. • Elles sont plus petites que les entrées suivantes. • Les entrées à partir de l’indice i ne sont pas triées. //////////////////////////////////////////// A faire pour mettre en place l’entrée i : • Si elle est plus grande que les précédentes : RIEN ! • Si elle est plus petite que certaines précédentes : l’insérer plus à gauche en décalant d’autres entrées. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  19. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire Valeurs Non triées et quelconques Plus grande : Rien à faire ! Triées i-1 n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  20. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire Valeurs Non triées et quelconques Triées i-1 n-1 0 1 2 3 … Plus petit : L’insérer à gauche. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  21. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- situation intermédiaire • Vous avez vu qu’il y a à nouveau un INVARIANT ? • Lequel est-ce ?????????????????? • Les éléments déjà traités sont triés, • les autres sont dans le désordre et sans rapport particulier (ni plus grands, ni plus petits) aux premiers. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  22. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- le code for ( i=1 ; i<n ; i++ ) {cont = 1; j = i; while ( j>0 && cont ) {if ( t[j] < t[j-1] ) echange(t, j-1, j); else cont = 0; j--; } } Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  23. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri par insertion --- la complexité • Ont fait n-1 fois, pour i de 1 à n-1 : • Jusqu’à i échanges au maximum (peut-être moins). • Le nombre d’échanges peut donc atteindre : S i = 0 (n^2) i=1..n-1 Tri en complexité quadratique. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  24. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri bulle Valeurs Situation anormale : Une bulle Situation normale n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  25. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri bulle : on échange l’ordre dans la bulle Valeurs La bulle a disparu par échange Situation normale n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  26. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri bulle : évolution des bulles Valeurs Régions qui peuvent être ignorées lors du prochain passage. n-1 0 1 2 3 … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  27. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri bulle - principe des algorithmes L’idée : • Tant qu’il y a des bulles, • on en choisit une et on la fait monter. De nombreuses optimisations : • Suivre une bulle et la faire monter aussi haut que possible. • Si au dernier passage la première bulle était ( i , i+1 ) , il ne peut y avoir de bulle avant ( i-1 , i ) au passage courant. • Faire alternativement monter et descendre des bulles. • … et puis d’autres trucs ! Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  28. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Tri bulle - complexité • Le tri bulle a une complexité quadratique, car il existe des instances pour lesquels il faut 0 (n^2) échanges. • Par contre, pour de nombreuses instances, le nombre des échanges est bien plus petit. • Le tri bulle est bien adapté, comme d’autres tris, pour rétablir l’ordre dans un tableau presque trié (léger désordre produit par quelques insertions d’éléments par exemple). Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  29. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Différentes notions de complexité • Complexité du meilleur cas : • inintéressante, car ce n’est pas le cas typique. • Complexité du cas moyen : • intéressante, mais difficile à établir, • est-ce que mes instances du problème sont dans la moyenne ? • Complexité du pire cas : • donne une limite supérieure pour le nombre d’opérations, • celle-ci peut être atypique, • souvent assez facile à calculer, • mais, c’est la COMPLEXITE utilisée PAR DEFAUT. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  30. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Principe du tri par fusion • Couper le tableau en deux (mentalement et de façon non violente), • trier récursivement chaque partie • et fusionner les deux parties triées (cf. cours d’Introduction à la programmation). Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  31. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Principe du tri par fusion Tri récursif des deux moitiés. Fusion des deux suites. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  32. Les tris sur tableaux----------------------------------------------------------------- Complexité du tri par fusion • Soit f(n) la fonction de complexité pour trier n éléments. • Le découpage se fait en temps constant ou 0( n ), s’il y a copie. • Les deux appels récursifs nécessitent 2 * f( n/2 ). • La fusion se fait en 0( n ). • Donc f(n) = 0(n) + 2 * f(n/2) = 0(n) + 2 * ( 0(n/2) + 2 * f(n/4) ) = 2 * 0(n) + 2^2 * f(n/2^2) = 3 * 0(n) + 2^3 * f(n/(2^3)) = k * O(n) + 2^k * f(n/(2^k)) = 0(n * log n) + 2^(log n) * f(n/(2^(log n))) = 0(n * log n) car f(n/(2^(log n))) = f(1) = 0 Tri en complexité n log n. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  33. Recherche dans des tableaux triés----------------------------------------------------------------- • On utilise l’ordre pour • anticiper l’abandon dans une recherche linéaire, • guider la recherche : recherche par dichotomie. (n-1)/2 n-1 0 petit moyen grand X < moyen Non ! Chercher X dans [ (n-1)/2 .. n-1 ] Oui ! Chercher X dans [ 0 .. (n-1)/2- 1 ] X Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  34. Recherche dans des tableaux triés----------------------------------------------------------------- Recherche par dichotomie - complexité • 1 test -> n/2 éléments. • 2 tests -> n/4 éléments. • 0( log n) tests -> 1 élément. • Est-ce bien lui ? Donc un test en plus. • Il existe des arguments théoriques (théorie de l’information) qui montrent que l’on ne peut pas faire mieux. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  35. Recherche dans des tableaux triés----------------------------------------------------------------- d = 0; f = n-1; While ( d < f ) if ( d == f-1 ) if ( x == t[d] ) f = d; else d = f; else {m = (d+f)/2; if ( x < t[m] ) f = m-1; else d = m; } Return ( x == t[d] ); Initialisation. Intervalle de 2 éléments. Cas général. Résultat. Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  36. Recherche dans des tableaux triés----------------------------------------------------------------- Di-chotomie - Tri-chotomie - etc. • Di-chotomie : • 1 test -> 2 intervalles de n/2 éléments. • Donc, 1 * log_2 (n) + 1 tests. • Tri-chotomie : • 2 tests -> 3 intervalles de n/3 éléments. • Donc, 2 * log_3(n) + 1 tests. • K-chotomie : • k-1 tests -> k intervalles de n/k éléments. • Donc, (k-1) * log_k(n) + 1 tests. Optimal si k = 2 ! ! ! Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  37. Soyons critiques !----------------------------------------------------------------- • Tableau trié : • Recherche efficace  • Insertions et suppressions pénibles  • Liste triée : • Insertions et suppressions efficaces  • Recherche pénible  • Hashage sur tableaux & arbres de recherche équilibrés : • Toutes les opérations sont efficaces   Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  38. Hashage-----------------------------------------------------------------Hashage----------------------------------------------------------------- H : Eléments à stocker Indices d’un tableau INSEE(Marc Gengler) 1.61.01 … Attention, certaines cases du tableau contiennent des valeurs alors que d’autres sont vides. 1.61.01 … MG Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  39. Parfait, si H est injective • Si H(x) = H(y) alors x = y. • Souvent, H ne l’est pas : • x = y mais H(x) = H(y) - il y a donc collision ! • Il y a différentes manières de gérer les collisions. / Hashage----------------------------------------------------------------- Une seule valeur par entrée du tableau ! ! ! Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  40. Hashage-----------------------------------------------------------------Hashage----------------------------------------------------------------- • Résolution locale des collisions : • Petite recherche séquentielle dans une liste chainée. • Prendre la première case libre en séquence dans le tableau. • Et si on peut supprimer des éléments ????? Des éléments qui étaient responsables d’une collision viennent à disparaître ! • Re-hashage : • Si H(x) est déjà occupé on calcule H’(x) ou H(x+e), etc. jusqu’à trouver une place. • Et si on peut supprimer des éléments ????? La solution la plus fréquente : chainage des collisions ! Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  41. Hashage-----------------------------------------------------------------Hashage----------------------------------------------------------------- X X Y / Y Cours d'algorithmique 1 - Intranet

  42. Hashage-----------------------------------------------------------------Hashage----------------------------------------------------------------- • Faits : • La fonction de hashage doit être « uniforme » : pour des choix au hasard de données d , les indices H( d ) doivent être répartis le plus uniformément possible. • A ce moment, le taux de remplissage donne la proportion des collisions. • Coût : • Coût du calcul de H multiplié par le nombre moyen de collisions (re-hashage). • Coût du calcul de H plus le coût de la recherche dans la liste chainée. • … Cours d'algorithmique 1 - Intranet

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