Corso di Matematica Test di ingresso per il corso di laurea in Medicina Lezione 3 01/02/2019

1. RETEISSACorsi di potenziamento e di preparazione ai test di ingresso per i corsi di laurea a numero programmato Corso di Matematica Test di ingresso per il corso di laurea in Medicina Lezione 3 01/02/2019

2. Elementi di probabilità La probabilità è una funzione che a un evento associa un numero compreso tra 0 e 1 Dato un evento E, indicheremo la sua probabilità con è compreso tra 0 e 1; nel linguaggio comune si porta sotto forma di percentuale

3. Probabilità di un evento Esempio: lancio di una moneta Casi possibili: 2 (T e C) Probabilità che esca T: 1 caso favorevole P(T) = 1/2

4. Quesito 1 Lanciando contemporaneamente due monete, qual è la probabilità di ottenere due teste? Qual è la probabilità di ottenere una testa e una croce?

5. Risposta E1: Ottengo due teste E2: Ottengo una testa e una croce Casi possibili TT TC P(E1)=1/4 CT P(E2)=2/4=1/2 CC

6. Eventi indipendenti Ho due eventi, A e B Con AB dico: “si verificano sia l’evento A che l’evento B” Due eventi si dicono indipendenti se la probabilità dell’evento intersezione è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi P(AB) = P(A)P(B)

7. Quesito 2 Tirando contemporaneamente cinque dadi con facce numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere cinque volte il numero 5? • 1/25 • 1/32 • 1/10 • (1/6)5 • 1/6

8. Quesito 3 Tirando contemporaneamente cinque dadi con facce numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere cinque numeri pari? • 1/25 • 1/32 • 1/10 • (1/6)5 • 1/6

9. Esempio: Genetica Nella pianta di pisello il carattere seme giallo (G) è dominante rispetto al seme verde (g). Qual è la probabilità che nascano piante col seme giallo?

10. risposta Probabilità di avere il seme giallo: 2/4 = 0,5

11. Quesito 3 Lanciando contemporaneamente quattro monete, qual è la probabilità di ottenere due teste? Qual è la probabilità di ottenere tre teste e una croce?

12. Probabilità condizionata Si definisce Probabilità condizionata di un evento A dato un evento B la probabilità che si verifichi A sapendo che si è verificato B Si scrive P(A|B) e si legge Probabilità di A dato B

13. esempio 9 studenti: 4 maschi e 5 femmine partecipano ad un concorso. Una delle femmine : Maria ha la probabilità di vincita di 1/9. Prima dell'uscita dei risultati trapela la notizia che la vincitrice è una femmina. La probabilità di vincita di Maria adesso è 1/5 perché nel concorso c'erano 5 femmine. L'informazione extra che la vincitrice è una femmina, ha cambiato la probabilità di vincita di Maria. Se annotiamo con A l'evento "Maria ha vinto" e con B l'evento "una femmina ha vinto", allora la probabilità del evento A condizionato del evento B è P(A|B) è rappresenta la probabilità che l'evento A si verifica dato che B  si è verificato. P(A∩B) = P(A) = 1/9,  P(B) = 5/9,  P(A | B) =  (1/9)/(5/9) = 1/5.

14. Quesito 4 Calcola la probabilità di estrarre in successione due numeri dispari da un’urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5 nei due casi • Con reimmissione nell’urna della prima pallina • Senza reimmissione nell’urna della prima pallina

15. Quesito 5 Da un mazzo di 52 carte calcola la probabilità che • Esca una figura sapendo che è uscita una carta rossa • Esca una carta rossa sapendo che è uscita una figura

16. alternative Sia dato un evento E; si dice che un insieme di eventi Hicostituisce un insieme di alternative per E se Dove n è il numero di alternative

17. esempio Un’urna contiene 5 palline verdi e 2 rosse. Estraiamo 2 palline senza reimmissione. Qual è la probabilità di estrarre la seconda pallina rossa? Quali sono le alternative? VR RR

18. Risposta Evento E “la seconda pallina è rossa” P(E)= somma delle probabilità delle alternative

19. Legge delle alternative Se Hiè un insieme di alternative per E, si ha che

20. Quesito 6 Alan lancia contemporaneamente due dadi non truccati con le facce numerate d 1 a 6. Qual è la probabilità che esca lo stesso numero su entrambi i lati? • 1/6 • 1/3 • 1/36 • 1/2 • 1/18

21. Quesito 7 La probabilità con cui un paziente deve attendere meno di dieci minuti il proprio turno in un ambulatorio medico è 0,8. Qual è la probabilità che una paziente che si reca due volte presso l’ambulatorio medico attenda, almeno una delle due volte, meno di dieci minuti prima di essere ricevuta dal medico? • 0,04 • 0,25 • 0,64 • 0,8 • 0,96

22. Quesito 8 Una scatola contiene 12 cioccolatini: 4 sono fondenti e 8 al latte. Tre cioccolatini vengono estratti a caso dalla scatola, uno dopo l’altro. Qual è la probabilità che i tre cioccolatini estratti siano al latte? • 3/12 • 12/55 • 7/11 • 14/55 • 3/5

23. Problema del contare Permutazioni: in quanti modi posso disporre n elementi Esempio: con le lettere a, b, c, quante stringhe posso comporre? abc acbbacbcacabcba Il numero di permutazioni in un insieme di n elementi è n! Disposizioni: in un insieme di n elementi, quanti gruppi non ordinati di k elementi posso ottenere? Esempio: quante combinazioni possibili ci sono al Superenalotto? Devo contare quanti gruppi di 6 elementi posso formare in un insieme di 90 elementi

24. Problema del contare Numero di disposizioni Nel caso del Superenalotto

25. Quesito 9 Se in un’urna sono contenute 10 palline numerate dall’1 al 10, qual è la probabilità di estrarre la pallina numero 5 estraendo insieme due palline? • 1/10 + 1/9 • 2/10 • 1/9 • 2/9 • Nessuna delle altre risposte è corretta