Corso di Matematica Discreta 3

1. Corso di Matematica Discreta 3 Numeri interi

2. Operazioni sui numeri interi E’ definita un’applicazione +: N NN (n,m) n+m E’ definita un’applicazione *: N NN (n,m) n*m Si suppongono note le proprietà delle operazioni sugli Interi (associativa, distributiva,…)

3. Operazioni sui numeri interi relativi E’ definita un’applicazione +: Z ZZ (n,m) n+m E’ definita un’applicazione *: Z ZZ (n,m) n*m E’ definita un’applicazione - : Z ZZ (n,m) n-m Si suppongono note le proprietà delle operazioni sui numeri relativi

4. Assioma del Buon Ordinamento Assioma del Buon Ordinamento dei numeri naturali, N “Se S è un qualunque insieme non vuoto di numeri naturali, allora in S esiste un elemento minimo (rispetto all’ordinamento dei numeri) cioè esiste un sS tale che st per ogni t S.”

5. Assioma del Buon Ordinamento Lo stesso assioma non vale per gli interi relativi Per esempio l’insieme degli interi negativi non ha minimo. Però questo assioma vale anche per altri insiemi di numeri. Ad esempio l’Assioma del Buon Ordinamento vale per i numeri interi non negativi.

6. Principio di Induzione Indichiamo con P(n) un’affermazione relativa ad un numero naturale generico n, che può essere vera o falsa in dipendenza da n. Es. P(n)=“n è un numero pari” Se n=2 allora P(n) è vera, se n=5 allora P(n) è falsa. Ci chiediamo: esiste un criterio che ci consenta di determinare quando una data affermazione concernente i naturali è vera per ogni naturale n?

7. Principio di Induzione Teorema (Principio d’Induzione) Se sono verificate le seguenti ipotesi: • L’affermazione è vera per il numero 1 P(1) è vera • Ogni volta che per un certo naturale n l’affermazione è vera allora è vera anche per il successivo n+1 (cioè vale P(n)  P(n+1)) allora (tesi) P(n) è vera per tutti i naturali n. Qui si considerano i naturali senza lo zero.

8. Principio di Induzione Dim. (Principio d’Induzione) Ragioniamo per assurdo e supponiamo falsa la tesi ossia supponiamo che esista almeno un naturale n per cui P(n) è falsa. Costruiamo il seguente insieme: S= naturali n per cui P(n) è falsa . Per la nostra ipotesi di assurdo S non è vuoto. A questo punto sfruttiamo l’Assioma del Buon Ordinamento: in S esiste un elemento minimo s. Per definizione di S P(s) è falsa. Dalle ipotesi sappiamo che s 1 (P(1) è vera) e quindi (essendo S N) s>1. Allora esiste il suo precedente, il numero naturale s-1. s-1 è strettamente minore di s quindi

9. Principio di Induzione Dim. (Principio d’Induzione) non appartiene ad S. Ma allora P(s-1) è vera. Ma dalla seconda ipotesi sappiamo che P(s-1) vera implica che P(s) è vera. Contraddizione. La tesi non potendo essere falsa è necessariamente vera.

10. Principio di Induzione (2a forma) Teorema (Principio di Induzione nella 2a forma) Sia P(n) un’affermazione relativa ad un numero intero n0 generico. Se sono vere le seguenti ipotesi: • L’affermazione è vera per il numero 0 • Fissato un numero n>0, se l’affermazione è vera per tutti gli interi k tali che 0 k <n allora è vera anche per n allora (tesi) è vera per ogni n0.

11. Principio di Induzione (2a forma) Dim. (Principio di Induzione nella 2a forma) Per assurdo, supponiamo falsa la tesi e vera l’ipotesi. Consideriamo l’insieme S= tutti gli interi n0 per cui P(n) è falsa . S, per ipotesi d’assurdo, non è vuoto. Per l’assioma del Buon Ordinamento esiste sS minimo in S. Quindi P(s) è falsa. Dall’ipotesi 1) s>0. Allora per ogni k tale che 0 k <s si ha che kS e quindi P(k) è vera. Dall’ipotesi 2) si ha però che P(s) deve essere vera. Contraddizione. La tesi, non potendo essere falsa, è necessariamente vera.

12. Algoritmo della Divisione per gli interi 0 Teorema (Divisione tra interi non negativi) Dati due interi n,m 0 comunque presi, con m0 (n dividendo e m divisore ) esistono due interi q ed r0 (q quoziente e r resto) tali che n=mq+r con 0r<m. Dim. Fissiamo il divisore m>0 (comunque preso). In questo caso c’è una sola variabile, n. Dobbiamo dimostrare che l’affermazione

13. Algoritmo della Divisione per gli interi 0 P(n)=“ per ogni n0, esistono q ed r 0 tali che n=mq+r con 0r<m“ è vera per ogni n 0. Applichiamo il Principio di Induzione nella 2a forma. • P(0) è vera? Si perché basta prendere q=r=0. • Supponiamo vera la P(k) per tutti i k tali che 0 k <n e dimostriamo che P(n)è vera. Supponiamo cioè che possiamo dividere per m ogni numero 0 k <n, trovando quindi qked rk.

14. Algoritmo della Divisione per gli interi 0 Distinguiamo due casi: • n<m. Basta prendere in tal caso q=0 e r=n. Infatti è n=m*0+n 0r<m poiché r=n. • nm. In questo caso il numero k=( n-m) è 0 e <n cioè 0 k <n. Per ipotesi si ha che P(k) è vera cioè esistono qk 0 ed rk 0 tali che k=mqk +rk e 0 rk<m. Quindi è n-m= mqk +rk cioè n= m(qk+1)+ rk con 0 rk<m. Ponendo q=qk+1 e r= rk abbiamo dimostrato che P(n)è vera. Applicando il Principio di Induzione abbiamo che P(n)è vera per ogni n 0.

15. Valore Assoluto Il Valore Assoluto (o modulo) di un intero relativo nZ è l’intero  0 definito da: n se n 0 |n|= -n se n<0 Proprietà del Valore Assoluto • Il valore assoluto di n è zero se e solamente se n=0 2. Se n,m Z allora |n*m|=|n|*|m| 3. Se nZ allora n+|n| 0 Dim Esercizio.

16. Algoritmo della Divisione esteso agli interi relativi, Z Teorema: Dati gli interi relativi n,m con m0 esistono degli interi relativi q ed r tali che n=mq+r e 0r<|m| Dim: 1° caso m>0 Consideriamo il seguente insieme: S=interi x0 tali che x si può scrivere nella forma x=n-my per un opportuno intero relativo y. Verifichiamo che S non è vuoto e precisamente esibiamone un elemento. L’intero x=n+m|n| è in S. Infatti è della forma richiesta: basta prendere y=-|n|. Inoltre è x0 in quanto per ipotesi m1. Per l’assioma del Buon Ordinamento

17. Algoritmo della Divisione esteso agli interi relativi, Z esiste sS, elemento minimo di S. Segue che: • s0 • s si può scrivere come s=n-my (per un opportuno y intero relativo) Quindi n=my+s. Basta porre quindi q=y e r=s. Si deve però ancora verificare che r=s<m. Ragioniamo per assurdo e supponiamo che sia rm cioè sm. E’ x=r-m=s-m=(n-my)-m=n-m(y+1) 0

18. Algoritmo della Divisione esteso agli interi relativi, Z Allora x S e quindi xs. Ma x=s-m implica x<s. Contraddizione. Allora è vero che r=s<|m|. 2° caso m<0 Allora –m>0. Da quanto sopra segue che  q1,r1 Z tali che n=-mq1+r1 con 0 r1<|-m|. Ma |-m|=|m| Quindi possiamo scrivere 0 r1<|m|. Da n=-mq1+r1 possiamo scrivere n=m(-q1)+r1 . Per avere la tesi basta prendere q= -q1 e r= r1

19. Algoritmo della Divisione esteso agli interi relativi, Z Teorema Quoziente e Resto sono unici. Dim. Per assurdo supponiamo che non lo siano cioè n=mq1+r1 e n=mq2+r2 con 0 ri<|m| i=1,2 Sottraendo membro a membro si ha: 0=m(q1-q2)+ (r1-r2). Passando al valore assoluto è |r1-r2|=|m(q2- q1)|=|m|*| q2- q1|. Si analizzano due casi: 1) r1r2 e 2) r1<r2.

20. Algoritmo della Divisione esteso agli interi relativi, Z Analizziamo il 1° caso (il secondo è analogo e lasciato per esercizio). r1-r2 <|m| .Essendo r1-r2 0 è r1-r2 =| r1-r2 |. Quindi |m|> r1-r2 =| r1-r2 |=|m|*| q2- q1|. Essendo m0 possiamo scrivere 1> | q2- q1|0. Quindi | q2- q1|=0  q2- q1=0 cioè q2=q1. Da |r1-r2|=|m(q2- q1)|=|m|*| q2- q1| segue che r2=r1

21. Divisibilità fra interi relativi Definizione Dati due interi relativi a,bZ si dice che a è un divisore di b se esiste un intero relativo c Z tale che b=a*c. Sinonimi “a è divisore di b”; “b è multiplo di a”; a divide b In simboli a/b. Se ciò non si verifica si scrive a/b a non divide b. Esempi 2/8; -5/15; 5/15; 3/ -7

22. Proprietà della Divisibilità • Proprietà Transitiva Se a,b,c sono interi relativi e se a/b ,b/c allora a/c. Dim: Se a/b allora  xZ tale che ax=b. Se b/c allora  yZ tale che by=c. Moltiplicando ambo i membri di ax=b per y si ottiene axy=by cioè az=c dove z=xy Z.

23. Proprietà della Divisibilità 2. Proprietà dello zero Ogni intero relativo aZ è divisore di 0 cioè a/0 . Lo zero,0, è divisore solo di se stesso. Dim: a*0=0 cioè  aZ a/0. Se 0/a   xZ : 0x=a  a=0.

24. Proprietà della Divisibilità 3. Proprietà Presi a,bZ, se a/b e b/a allora a=+b Dim: Dalle ipotesi  x,yZ / ax=b by=a. Moltiplicando la prima uguaglianza per y si ha: axy=by=a. Quindi a(xy-1)=0. Se il prodotto fra interi è nullo almeno uno dei fattori deve essere nullo. Supponiamo quindi che a=0. Dalla Proprietà 2. è b=0 quindi è vero che a=+b.

25. Proprietà della Divisibilità Supponiamo quindi che xy-1=0 cioè xy=1. L’unico modo di ottenere 1 come prodotto di interi relativi è se entrambi sono uguali a +1 oppure a –1. Quindi è y=+1 allora a=+b. 4. Proprietà (Divisori Banali) • a Z  + 1/a e +a/a cioè i numeri + 1 e +a sono sempre divisori di a. Dim. +1a=a e (–1)(-a)=a.

26. Numeri Primi Definizione di Numero Primo Si definisce Numero Primo un intero relativo p Z, tale che p ha come unici divisori quelli banali (+ 1,+p) e tale che p + 1 Notare che un numero primo è sempre diverso da zero (perché ogni numero intero divide 0). Numeri primi:+2, +3, +5, +7, +11, …

27. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi Definizione di MCD Dati due interi relativi, a,bZ, non entrambi nulli, si chiama Massimo Comune Divisore fra a e b un terzo intero dZ, tale che: • d/a e d/b cioè d è un divisore sia di a sia di b • Se x è un divisore comune di a e b, x/a e x/b, allora x/d cioè d è multiplo di ogni altro divisore comune di a e b

28. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi Teorema Il Massimo Comune Divisore fra due interi relativi non è unico. Se d è un Massimo Comune Divisore fra due interi a,bZ allora –d è anch’esso un Massimo Comune Divisore fra a,b ma è l’unico. Converremmo di chiamare il Massimo Comune Divisore fra a,b quello dei due che è positivo e lo indicheremo con d=(a,b).

29. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi Dim: Siano d e d due MCD per a,bZ. Allora soddisfano entrambi le proprietà 1) e 2) cioè d/a e d/b e d/d ; d/a e d/b e d/d . Da d/d e d/d segue che d=+ d .

30. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi Teorema Dati comunque a,bZ, non entrambi nulli, esiste un loro Massimo Comune Divisore. Dim: Costruiamo il seguente insieme di interi positivi: S=interi x>0 / x=aa + bb per opportuni a,bZ Questo insieme non è vuoto. Infatti, poiché a e b non sono entrambi nulli, uno dei due per esempio a è diverso da zero. Allora a=a1+b0e –a=a(-1)+b0.

31. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi a oppure –a è positivo e sono entrambi della forma richiesta, x=aa + bb . Quindi S. Per l’assioma del Buon Ordinamento S ha un minimo, d. Vogliamo dimostrare che d è il MCD fra a e b. Dimostriamo che d/a. Dall’Algoritmo della Divisione sappiamo che  q,r Z tali che a=dq+r con 0r<|d| cioè 0r<d essendo d positivo. Se r=0 allora ho la tesi cioè d/a. Per assurdo supponiamo allora che r0 cioè 0<r<d.

32. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi E’ r=a-dq=a-(aa + bb )q =a(1- a q)+b(- b q)per opportuni a,bZ (essendo d in S). Ma (1- a q), (- b q)Z allora r, essendo strettamente positivo, appartiene anch’esso ad S. Ma questo contraddice la minimalità di d in S. Analogamente si dimostra che d/b. Adesso dobbiamo dimostrare che x/a e x/b  x/d. Dalle ipotesi  y,z Z / xy=a e xz=b. Allora è d=aa + bb = xya + xzb =x(ya + zb ) cioè x/d essendo ya + zb =l Z. cvd.

33. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi Dalla precedente dimostrazione segue Corollario Il MCD tra due interi (non entrambi nulli) è una combinazione lineare con coefficienti interi relativi di a e b cioè d=(a,b)= aa + bb con a,bZ. Il viceversa però non è vero, cioè se un numero c0 si può scrivere come c=(a,b)= aa + bb con a,bZ non è detto che sia il MCD tra a e b. Esempio: 6=6*1+4*0 ma 6 non è il MCD tra 6 e 4. Se invece c=1 allora è vero.

34. Massimo Comune Divisorefra due interi relativi Nota che il MCD d=(a,b) è multiplo di ogni altro divisore comune di a e b cioè è il più grande dei divisori comuni di a e b. Esempio Sia a=6 e b=4. Divisori di a= 6 : +1, +2, +3, +6 Divisori di b= 4 : +1, +2, +4 Divisori Comuni: +1, +2 Multipli di ogni altro divisore comune: +2 MCD è per definizione quello positivo: +2 Mcd(a,b)= Mcd(4,6)= 2

35. Algoritmo di Euclide Teorema (Algoritmo di Euclide) Dati comunque a,bZ+, il loro Massimo Comune Divisore d=(a,b), è l’ultimo termine non nullo della sequenza X1, X2, X3,… Xt,0 dove X1=max(a,b), X2=min(a,b), Xk+1 è il resto della divisione tra Xk-1 e Xk. Esempio: MCD(330,156) X1=330; X2=156; X3=18; X4=12; X5=6; X6=0 330=156*2+18 ; 156=18*8+12; 18=12*1+6; 12=6*2+0

36. Algoritmo di Euclide Dim Per prima cosa notiamo che poiché Xk+1 è il resto della divisione tra Xk-1 e Xk allora è Xk+1 < Xk.Quindi (Xk), k>2 è una sequenza strettamente decrescente di interi non negativi. Allora la sequenza è finita e l’ultimo numero della sequenza è zero. Adesso dimostriamo che MCD(Xk+1, Xk)=MCD(Xk, Xk-1) per ogni k. E’Xk+1=Xk-1- qXk dove q è il quoziente della divisione tra Xk-1 e Xk.. Quindi la nostra tesi diventa: MCD(Xk-1- qXk , Xk)=MCD(Xk, Xk-1). Basta dimostrare allora che ogni divisore comune di Xk e di Xk-1- qXk è anche un divisore di Xk-1 e che ogni divisore di Xk, Xk-1è anche un divisore di Xk-1- qXk

37. Algoritmo di Euclide Sia quindi d/ Xk-1- qXk e d/ Xk. Allora d*A= Xk-1- qXk e d*B= Xk. Quindi Xk-1 = d*A+ qXk = d*A+ d*Bq= d*(A+Bq)cioè d è un divisore di Xk-1. Viceversa sia d/ Xk e d/ Xk-1 cioè d*A=Xk e d*B=Xk-1. Allora Xk-1- qXk= d*B-q d*A=d*(B-qA) cioè d/ Xk-1- qXk. Se MCD(Xk+1, Xk)=MCD(Xk, Xk-1) allora è MCD(b, a)= MCD(X2, X1)=MCD(X3, X2)…. MCD(0, Xt)= Xt dove Xt è l’ultimo numero non nullo della sequenza (Xk). Cvd.

38. Minimo Comune Multiplo Definizione Dati due interi relativi, a,bZ, si chiama Minimo Comune Multiplo fra a e b il più piccolo intero positivo k, tale che k è un multiplo sia di a sia di b.

39. Numeri Coprimi Teorema Se il numero 1 è della forma 1=aa + bb , con a,b,a,bZ,allora 1 è il Massimo Comune Divisore tra a e b cioè 1=(a,b). Dim Sia d=(a,b)  d/a e d/b  dx=a e dy=b con x,y Z. Per ipotesi è 1=aa + bb . Allora 1= dxa + dy b = d(x a + yb ). Quindi d/1. Ma l’unico divisore positivo di 1 è 1 d=1=(a,b)

40. Numeri Coprimi Corollario Il massimo comune divisore tra un numero intero a ed il suo successivo a+1 (o precedente a-1) è 1. Dim 1=a*(-1)+(a+1)*1 . Dal teorema precedente sappiamo che 1=(a,a+1). Cvd. Definizione di Numeri Coprimi Due numeri interi a,b Z si dicono primi fra loro o coprimi se il loro MCD è 1 cioè 1=(a,b).

41. Numeri Coprimi Corollario 1 Siano a,b,cZ. Se uno dei tre, es. c, è un divisore del prodotto degli altri due, c/ab, e se tale divisore è coprimo con uno dei fattori, es. 1=(c,a) alloraè divisore dell’altro, c/b. Dim Dalle ipotesi sappiamo che ab=cx con xZ e 1=cc + aa con c,a Z. Moltiplicando per b ambo i membri dell’ultima uguaglianza otteniamo b=bcc + baa cioè b=bcc + cxa =c(bc + xa ) cioè c/b. cvd.

42. Numeri Coprimi Corollario 2 Siano a,b,cZ. Se a/c, b/c e(a,b)=1 allora ab/c. Dim Dalle ipotesi è c=ax,c=by e 1=aa + bb con x,y,a,b Z. Moltiplicando per c l’ultima equazione otteniamo: c=caa + cbb =byaa +axbb =ab(ya +xb ) cioè ab/c. Notiamo che l’ipotesi che a e b siano coprimi è essenziale. Infatti, per esempio, 4/12, 6/12 ma 6*4=24/12

43. Numeri Coprimi Corollario 3 Se un numero primo p è divisore di un prodotto ab allora il numero primo p è un divisore di almeno uno dei due fattori. Dim Supponiamo che p/a e dimostriamo che necessariamente è p/b. Qual è il MCD fra p ed a?. Per definizione di numero primo gli unici divisori di p sono +1 e +p. Poiché per ipotesi p non è un divisore di a non lo è neanche –p. I divisori comuni tra p ed a sono allora +1. Essendo il MCD tra a e p positivo allora è 1. Dal Corollario 1 si deduce che p/b. Analogamente si dimostra che se p/b  p/a.

44. Fattorizzazione degli Interi Teorema Ogni intero n>1 si può esprimere come prodotto di numeri primi positivi ed in modo unico a meno dell’ordine dei fattori. Nota: Unicità significa che se n=p1 p2…pr= q1 q2…qs con pi e qj numeri primi positivi allora r=s e pi=qi se opportunamente ordinati. In questo teorema il prodotto è inteso anche come prodotto di un solo fattore (es. nel caso di n numero primo)

45. Fattorizzazione degli Interi Dim: Dimostriamo per prima cosa l’esistenza della Fattorizzazione. Ragioniamo per assurdo e supponiamo che esistano interi >1 che non siano prodotto di numeri primi positivi. Costruiamo l’insieme S=interi n>1 che non sono prodotto di numeri primi positivi. Dall’ipotesi di assurdo è S. Applichiamo l’assioma del Buon Ordinamento dei naturali. Esiste allora sS, minimo in S. Questo s non è un numero primo positivo. (Se lo fosse sarebbe prodotto ( con un solo fattore) di primi positivi (se stesso) e quindi non sarebbe in S). Allora s ha almeno un divisore d + 1;+s. Se ci limitiamo ai soli divisore positivi, s ha almeno un divisore positivo d 1, s. Si ha allora che 1<d<s. Per la definizione di divisore  cZ tale che s=dc. Anche c>0 ed è c 1, s.

46. Fattorizzazione degli Interi Dim: Si ha quindi 1<c<s. Poiché sia c sia d sono strettamente minori di s allora c,d S. Allora c e d sono prodotto di primi positivi. Ma essendo s=cd si ha che anche s è prodotto di primi positivi. Contraddizione. Adesso dimostriamo l’Unicità della Fattorizzazione. Sia n= p1 p2…pr= q1 q2…qs con pi e qj numeri primi positivi. La tesi è che r=s (il numero dei fattori è uguale) e che i pi e qj coincidano ( a meno dell’ordine). Applichiamo il principio d’induzione sul numero dei fattori r.

47. Fattorizzazione degli Interi • L’affermazione è vera per r=1? Se r=1 si ha p1= q1 q2…qs. La tesi è che anche s=1e quindi p1= q1. Da p1= q1 q2…qs otteniamo che q1è un divisore di p1. Ma p1è un numero primo positivo allora i suoi unici divisori sono quelli banali. Ma anche q1 è un numero primo positivo e quindi p1= q1. Se per assurdo s fosse maggiore di 1, dividendo per p1 avremmo 1= q2…qs cioè 1 si potrebbe scrivere come prodotto di numeri interi positivi strettamente maggiori di 1. Assurdo.

48. Fattorizzazione degli Interi 2. Supponiamo adesso che l’affermazione sia vera per r e dimostriamo che è vera per r+1. La tesi è che se p1 p2…pr+1= q1 q2…qtallora r+1=t e che i pi coincidano con i qj a meno dell’ordine. Si ha che q1 è divisore del prodotto di numeri primi p1 p2…pr+1. Da un Teorema precedente sappiamo che se un numero primo divide un prodotto divide almeno uno dei due fattori. A meno di riordinare i fattori sia p1il multiplo di q1. Con ragionamento analogo al punto primo si ha allora che p1=q1. Dividendo membro a membro per p1 otteniamo

49. Fattorizzazione degli Interi p2…pr+1= q2…qt. Il numero dei fattori a primo membro è r. Applicando l’ipotesi induttiva abbiamo che il numero dei fattori a primo membro è uguale al numero dei fattori a secondo membro, cioè r=t-1 ovvero r+1=t, ed inoltre che i p2…pr+1 coincidono con i q2…qt a meno dell’ordine. Poiché è anche p1=q1 abbiamo dimostrato che i fattori a primo membro coincidono, a meno dell’ordine, con i fattori a secondo membro.

50. Teorema di Euclide Teorema di Euclide I numeri primi sono infiniti. Dim: Ci limitiamo a dimostrare che i numeri primi positivi sono infiniti. Ragioniamo per assurdo e supponiamo che i numeri primi positivi siano finiti ad esempio in numero di t e siano p1 p2…pt. Consideriamo il seguente numero intero positivo: n= (p1 p2…pt )+1. E’ ovviamente n>1. Dal Teorema precedente sulla fattorizzazione sappiamo che n si può scrivere in modo unico come prodotto di primi positivi. Quindi n è divisibile per almeno un primo positivo. Questo primo positivo è uno dei pi per i=1…t. Sia pj questo divisore di n.