Congrès Dédra-Math-isons 2009-2010

1. La Quatrième Dimension Hoang Son Nguyen Matteo Malacarne Thomas Van Himbeeck Frédéric Van Naemen Congrès Dédra-Math-isons 2009-2010

2. Table des matières Une approche visuelle : la tesselation Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Une nouvelle dimension Une approche analytique Des recherches, des calculs et des dessins … Introduction : Escher et ses salamandres

3. Introduction : Escher et ses salamandres

4. Introduction : Escher et ses salamandres

5. Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Une nouvelle dimension Une approche analytique Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche visuelle : la tessellation

6. Une approche visuelle : la tesselation Point Segment Polygone Polyèdre

7. Une approche visuelle : la tesselation Un hypercube : projection parallèle Polychore Un hypercube : projection interne

8. Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche visuelle : la tesselation De la deuxième à la troisième dimension Pavages de polygones : polyèdres réguliers Les solides de Platon Une nouvelle dimension Paver en trois dimensions Angles diédraux Les six polychores réguliers Une approche analytique : la quatrième dimension interceptée par la nôtre ? Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche géométrique

9. Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Pavages de polygones : polyèdres réguliers

10. Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Pavages de polygones : polyèdres réguliers

11. Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: L’angle interne

12. Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Les solides de Platon Nœud du pavage Formule de l’angle interne On isole p et q Il n’existe alors que 5 combinaisons {p,q} possibles

13. Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension: Les solides de Platon

14. Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Paver en 3 dimensions

15. Une approche géométrique Une nouvelle dimension: Angles diédraux

16. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers

17. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers Nœud du pavage Par la formule des angles diédraux On isole p et q dans le même membre et r dans l’autre Il n’existe alors que 6 combinaisons {p,q,r} possibles

18. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers L’hypertétraèdre (ou pentachore) : - 5 cellules tétraédriques - 10 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 10 arêtes - 5 sommets {3,3,3}

19. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers L’hyperoctaèdre (ou hexadécachore) : - 16 cellules tétraédriques - 32 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 24 arêtes - - 8 sommetss {3,3,4}

20. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers L’hypericosaèdre (ou hexacosichore) : - 600 cellules tétraédriques - 1200 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 720 arêtes - 120 sommets {3,3,5}

21. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers L’hypercube (ou tesseract) : - 8 cellules cubiques - 24 faces carrées - 32 arêtes - 16 sommets {4,3,3}

22. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers L’icositétrachore (pas d’analogue en 3 dimensions) : - 24 cellules octaédriques - 96 faces triangulaires (triangles équilatéraux) - 96 arêtes - 24 sommets {3,4,3}

23. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers L’hyperdodécaèdre (ou hecatonicosachore) : - 120 cellules dodécaédriques - 720 faces pentagonales (pentagones réguliers) - 1200 arêtes - 600 sommets {5,3,3}

24. Une approche géométrique • Une nouvelle dimension: • Les six polychores réguliers

25. Table des matières Introduction : Escher et ses salamandres Une approche visuelle : la tesselation Une approche géométrique De la deuxième à la troisième dimension Pavages de polygones : polyèdres réguliers Les solides de Platon Une nouvelle dimension Paver en trois dimensions Angles diédraux Les polychores réguliers Des recherches, des calculs et des dessins … Une approche analytique

26. Une approche analytique Des recherches … Elements analytiques de l’hypercube

27. Une approche analytique Des recherches … Intersections

28. Une approche analytique Des calculs et des dessins … Intersections d’un hypercube avec un espace