Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações

1. Elementos da Teoria dos Jogos e Aplicações Prof. Juliano Assunção Depto. Economia, PUC-Rio juliano@econ.puc-rio.br Abril, 2005

2. Motivação • Comportamento estratégico: • elemento que está presente nas relações econômicas; • certos ambientes propiciam a adoção de tal comportamento; • forma de interação afeta, de maneira decisiva, o resultado. • Teoria dos Jogos: ferramentas para a análise sistemática do comportamento estratégico.

3. Como organizar e utilizar o conteúdo do curso? • Decisões envolvem, simultaneamente, vários aspectos relevantes. Trataremos, no curso, alguns tópicos importantes, separadamente. • Exemplo: • ATLÂNTICA. Prédio luxo, vista mar. 190m2. Varanda, amplo salão, 4qtos, (suítes), copa-cozinha, dependencias, 3vagas. Mobiliado/ equipado. R$3.500,00 +taxas. • LAGOA (B.MEDEIROS) frente Piraquê, 220m2, salão, s.jantar, toillete, 4qtos, (2suítes), banh.soc., copa-coz, 2dependências, 2vagas, frente, alto. R$3.300,00 +taxas.

4. Elementos da decisão • 2 desafios da análise: • Eliminar características pouco importantes. • Comparar os atributos relevantes isoladamente, mantendo os demais constantes.

5. Seqüência dos cursos • Teoria dos Jogos: jogos estáticos e dinâmicos de informação completa. • Informação Assimétrica: jogos com informação incompleta. • Organização Industrial e Estratégia • Antitruste

6. Jogo Estático vs Dinâmico • Diferença não depende de aspectos temporais. • Jogos estáticos: • jogadores não observam decisões dos oponentes ao escolher. • Ex.: par ou ímpar. • Jogos dinâmicos: • escolhas são seqüenciais – ao menos algumas decisões. • Ex.: xadrez.

7. O que é um jogo estático? • Jogo estático, forma normal, ou forma reduzida. • Representação: • N jogadores; • para cada jogador i, temos: • Si – conjunto de estratégias possíveis; • Ui(si,s-i) – função de ganhos em cada resultado possível do jogo.

8. Exemplo • Caso Si seja finito, podemos representar um jogo através de uma matriz.

9. “Common Knowledge” • A hipótese de conhecimento comum será adotada durante toda a análise. • Cada participantes do jogo conhece a estrutura do jogo. • A racionalidade dos jogadores é também de conhecimento comum. • “Eu sou racional. Sei que meu oponente é racional. Sei que ele sabe que sou racional. Sei que ele sabe que eu sei que ele é racional. Etc.”

10. 1 2 Exemplo • 3 crianças numa roda. Há chapéus brancos e vermelhos. • Nenhuma delas observa a cor do próprio chapéu. 3

11. Exemplo (cont.) • A professora pergunta a cada uma a cor do próprio chapéu. • Criança 1: “não sei”. • Criança 2: “não sei”. • Criança 3: “não sei”. • A professora informa: há, pelo menos, um chapéu vermelho. Repete a pergunta. • Criança 1: “não sei”. • Criança 2: “não sei”. • Criança 3: “vermelho”. • Porque?

12. Solução • Resposta da criança 1: • Se 2 e 3 estivessem usando chapéus brancos, saberia que o seu era vermelho. • Conclusão: 2 ou 3 está usando vermelho. • Resposta da criança 2: • Se 3 estivesse com chapéu branco, saberia, pelo raciocínio anterior, que o seu chapéu era vermelho. • Conclusão: 3 está usando vermelho.

13. Solução • Note que, para o exemplo funcionar, é necessária não apenas a hipótese de racionalidade individual mas, principalmente, a hipótese de “common knowledge”. • A criança 3 é racional; sabe que 1 e 2 são racionais; e sabe que a 2 sabe que 1 é racional.

14. Resolvendo jogos (i) Eliminação de estratégias estritamente dominadas

15. Dilema dos prisioneiros • 2 prisioneiros são capturados e submetidos as interrogatório, em salas isoladas, sem comunicação. • Alternativas: • C - confessar e servir de testemunha contra o parceiro. • NC - não confessar e resistir. • Penas dependem da interação de ambos.

16. Eliminação de estratégias estritamente dominadas • Diante da hipótese de que a racionalidade é de conhecimento comum, podemos eliminar estratégias que são estritamente piores, independente da ação do oponente. • Definição: A estratégia si’ é estritamente dominada se existir si” tal que: Ui(si’,s-i) < Ui(si”,s-i), para todos-i. Desigualdade é estrita!

17. Resolvendo o dilema dos prisioneiros • NC é estritamente dominada por C, para ambos.

18. Características importantes do dilema dos prisioneiros • A situação (NC,NC) é melhor que (C,C) para ambos. • O comportamento estratégico, aliado aos interesses individuais, inviabiliza (NC,NC) como solução. • Esse exemplo simples ilustra a importância desse tipo de comportamento sobre as relações. • No caso de mercado competitivo, em que as ações não afetam o sistema, tal situação não é possível. (Primeiro Teorema de Bem-Estar)

19. Exemplo 2

20. Exemplo 3

21. Limitações • O processo de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas, em muitos casos, não produz previsões úteis sobre o resultado do jogo. • Consiste em uma noção muito fraca (no sentido que utiliza poucas restrições) de equilíbrio.

22. Resolvendo jogos (ii) Equilíbrio de Nash(estratégias puras)

23. Definição de equilíbrio de Nash - EN • Uma alocação/resultado é um equilíbrio de Nash se, a partir dela, nenhum jogador tem incentivo a desviar individualmente. • O EN apresenta uma noção de estabilidade estratégica. • Definição: O perfil (si*,s-i*) é um EN se, para cada jogador i, tem-se que: Ui (si*,s-i*) > Ui(si,s-i*), para todo si.

24. Definição alternativa • A função (ou correspondência) de melhor resposta atribui, a cada possível combinação de estratégias dos oponentes s-i, a(s) melhor(es) resposta(s) si(s-i). • EN é uma situação onde: si*=si(s-i*), para todo i. • Formalmente, torna a busca por equilíbrio um problema de “ponto fixo”.

25. Exemplo 1

26. Exemplo 2Dilema dos prisioneiros

27. Exemplo 3Batalha dos sexos

28. Exemplo 4Jogo de Coordenação

29. Exemplo 5Par ou Ímpar

30. Algumas características • Todo EN sobrevive à eliminação de estratégias estritamente dominadas. • Equilíbrios múltiplos podem ocorrer. • Os equilíbrios podem apresentar ineficiência, seja em relação a outro equilíbrio ou a outra alocação. • Nem sempre existem equilíbrios em “estratégias puras”, isto é, que não envolvem aleatoriedade.

31. Exemplo 6Metade da média • Cada aluno escolhe um inteiro entre 0 e 100, anota o número em um papel com o próprio nome, entregando-o ao professor. • Vencedor: aquele mais se aproximar da metade da média de todos os números.

32. Exemplo 6(Continuação) • Estratégias estritamente dominadas: • Equilíbrio de Nash:

33. Exemplo 6(Continuação) • Lições:

34. Resolvendo jogos (iii) Equilíbrio de Nash(estratégias mistas)

35. Definição • Em muitas situações, faz sentido estender o conjunto de estratégias, possibilitando aleatoriedade. • Para cada conjunto de estratégias Si, define-se a extensão em estratégias mistas DSi, como o conjunto de medidas de probabilidade que podem ser definidas sobre Si. • Um EN em estratégias mistas do jogo (N,Si,Ui) é um EN do jogo estendido (N, DSi,Ui).

36. Existência de equilíbrio • Teorema (Nash, 1950): Todo jogo finito tem, pelo menos, um EN, possivelmente envolvendo estratégias mistas. • O resultado acima pode ser estendido em várias direções.

37. ExemploPar ou Ímpar p 1-p q 1-q

38. Calculando o EN em estratégias mistas • Fixada a estratégia de 2 em q, temos as seguintes opções p/ 1: • Par: q(-1)+(1-q)=1-2q • Ímpar: q+(1-q)(-1)=2q-1 • Fixada a estratégia de 1 em p, temos as seguintes opções p/ 2: • Par: p+(1-p)(-1)=2p-1 • Ímpar: p(-1)+(1-p)=1-2p

39. 1 EN 2 Função de melhor resposta p 1 1/2 q 0 1/2 1

40. Evidência empírica • Levitt, S. P.A. Chiappori e T. Groseclose (2002) “A Test of Mixed Strategy Equilibria: Penalty Kicks in Soccer.” American Economic Review, 92: 1138-1151. • Utilizam dados das 459 disputas de pênalti dos campeonatos francês (1997-1999) e italiano (1997-2000). • Resultados são compatíveis com a adoção de estratégias mistas.

41. Revisão Principais conceitos e definições

42. Revisão • Jogo estático • “Common knowledge” • Eliminação de estratégias estritamente dominadas • Equilíbrio de Nash • Estratégias mistas

43. Aplicações Estrutura de mercado Formação de cartéis Modelo de Hotelling

44. Ambiente econômico • Curva de demanda: p(Q)=a-Q, onde Q=q1+...+qN. • Custo de produção: Ci(qi)=cqi, i=1,...,n. • Lucro: Pi(qi,q-i)=p(Q)qi-cqi=[p(Q)-c]qi • Hipótese: c<a (viabilidade econômica da tecnologia)

45. 2 casos polares • Competição perfeita com livre entrada: • Para simplificar, ci=c para todo i. • Firmas são tomadoras de preços. • Há entrada enquanto houver lucro positivo. • Equilíbrio: pC=c; QC=a-c; PC=0 • Monopólio: • Monopolista incorpora sua influência na demanda. • Problema: max [a-Q-c]Q • Equilíbrio: QM=½(a-c)<QC; pM=½(a+c)>pC; PM=(a-c)2/4

46. Estruturas de Oligopólio • Encontram-se entre os casos anteriores. • Diferentes formas de interação estão associadas a importantes diferenças nos preços, quantidades e lucros. • Serão consideradas situações onde há competição em: • quantidade (Cournot, 1838); • preço (Bertrand, 1883); • localização (Hotelling, 1929).

47. Competição em quantidade: o modelo de Cournot • Firmas se encontram apenas uma única vez no mercado, simultaneamente, decidindo sobre quantidade (capacidade instalada). • 2 firmas. • Equilíbrio de Nash: (q1*, q2*) tais que q1*=q1(q2*) e q2*=q2(q1*); onde qi(qj) é a melhor resposta de i à quantidade qj da adversária.

48. Equilíbrio de Nash • Função de melhor resposta: qi(qj)=argmax [a-qi-qj-c]qi=½(a-c-qj). • EN: qi*=(a-c)/3, i=1,2. • Q*=2(a-c)/3 • QM < Q* < QC • pM > p* > pC • P*=(a-c)2/9 < PM/2

49. Características do EN • O modelo de Cournot apresenta uma característica semelhante ao dilema dos prisioneiros. • As duas firmas estariam melhores caso praticassem quantidades iguais a qM/2, agindo como uma única firma – situação de cartel. • Entretanto, dado que a adversária pratica qj=qM/2, a melhor resposta é qi=qi(qM/2)>qM/2.

50. Extensão para n firmas • Função de melhor resposta: qi(q-i)=argmax [a-qi-Σj≠iqj-c]qi=½(a-c-Σj≠iqj). • EN: qi*=(a-c)/(n+1), i=1,...,n. • Q*=n(a-c)/(n+1) • QM < Q* < QC • pM > p* > pC • P*=(a-c)2/(n+1)2 < PM/n, n>1.