Guías Modulares de Estudio Matemáticas IV – Parte B

1. Guías Modulares de EstudioMatemáticas IV – Parte B

2. Semana 1 y 2 Funciones racionales

3. Funciones racionales • Objetivo: Resolver problemas sobre funciones racionales, teóricos o prácticos, mediante el análisis del dominio, el rango y la determinación de posibles asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión de análisis y razonamiento práctico, así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

4. Concepto de función racional Notación y caracterización • Una función racional se puede expresar como un cociente de dos funciones polinomiales. • Si R denota la función definida por: P(x) R (x) = . Q(x) donde P y Q son funciones polinomiales, entonces R es una función racional. • Esta función se caracteriza por lo siguiente • El polinomio del denominado no puede ser el polinomio nulo. • El dominio de R es el conjunto de los números reales, con excepción de aquellos para los cuales Q (x) = 0; es decir, se excluyen los ceros de Q (x). • El rango de R es un subconjunto de los números reales. • Los polinomios P(x) y Q(x) no tienen factores comunes.

5. Intersección con los ejes • Ejemplo: Determina los puntos de intersección de 2x + 3y = 6 con los ejes. • Solución La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x con cero en la ecuación. Si x = 0 2(0) + 3y = 6 De donde 3y = 6 Se despeja y y = 6/3 y = 2 Por tanto (0, 2) es el punto de intersección con el eje y. Si y = 0 2x + 3(0) = 6 De donde 2x = 6 Se despeja x x = 6/2 x = 3 Por tanto (3, 0) es el punto de intersección con el eje x.

6. Simetrías con respecto a los ejes • Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje x y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (x, – y); es decir, P1 y P2 tienen la misma abscisa y sus ordenadas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo. P1 (x, y) P2 (x, –y)

7. Simetrías con respecto a los ejes • Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje y y las coordenadas de P1 son (x, y) entonces las coordenadas de P2 serán (–x, y); es decir, P1 y P2 tienen la misma ordenada y sus abscisas tienen el mismo valor absoluto pero diferente signo. P2 (–x, y) P1 (x, y)

8. Simetrías con respecto al origen • Dos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se encuentran a la misma distancia de éste; dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio del segmento que determinan P1 y P2. En consecuencia, si P1 tiene por coordenadas (x, y), entonces a P2 corresponden las coordenadas (–x, –y). P1 (x, y) P1 (x, y) P2 (–x, –y) P2 (–x, –y)

9. Asíntotas • Para trazar la gráfica de una función racional, en ocasiones se utilizan ciertas rectas que no pertenecen a la gráfica pero que sirven de guía para su trazo. • Ejemplo: Traza la gráfica de x y – 2y – 1 = 0 • Solución: Si se despeja y en términos de x, se obtiene lo siguiente: x y – 2y – 1 = 0 Se suma 1 a los dos miembros de la igualdad x y – 2y = 1 Se factoriza el primer miembro y(x – 2) = 1 Se divide la igualdad entre x – 2 1 y = . x – 2 Para realizar el paso anterior se requiere que x 2, porque si x = 2 se estaría dividendo entre cero. Como y = f (x), la igualdad anterior se puede expresar así: 1 f(x) = . x – 2

10. Asíntotas • A continuación vamos a construir una tabla con valores cercanos a 2, sin que lleguen a ser iguales a 2. • Como se puede observar en la tabla, a medida que el valor de x se acerca a 2 por la derecha, el valor de y crece sin límite. Para indicar que x se aproxima o tiende a 2 por la derecha, se utiliza el signo + como superíndice de 2. x 2 + • En este caso f (x) + ∞ cuando x 2+ • Esta expresión indica que el valor de la función se aumenta o crece sin límite cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la derecha.

11. Asíntotas (continúa) • Ahora veamos qué ocurre cuando el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda. • En esta tabla vemos que a medida que el valor de x se aproxima a 2 por la izquierda, el valor de la función se vuelve más pequeño cada vez o disminuye sin límite. Para indicar que el valor de x se aproxima o tiende a 2 por la izquierda, se utiliza el signo – como superíndice de 2. x 2 - • En este caso f (x) + ∞ cuando x 2-

12. Asíntotas (continúa) • La gráfica de 1 f (x) = . x – 2 se representa en la figura. En ella se puede apreciar el comportamiento de la función que toma valores cada vez mayores, en valor absoluto, a medida que el valor de x se acerca al valor 2, tanto por la izquierda como por la derecha. La recta x = 2 es una asíntota vertical; es decir, una recta a la que se aproxima la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla. 20 10 -2 4 -10 -20

13. Intervalos • Con los intervalos determinados por el dominio, se puede conocer en qué regiones del plano está la gráfica y en cuales no. • En la ecuación x y – 2y – 1 = 0 al despejar y en términos de x se obtiene 1 y = . x – 2 • Cuya asíntota vertical es y = 2 • El dominio de la ecuación es Dy = R – {2} = [– ∞, 2] U [2, + ∞]

14. Intervalos • Con los intervalos determinados por el dominio se puede construir la tabla siguiente. • En esta tabla vemos que para cualquier valor de x < 2 el cociente es negativo. Esto significa que para cualquier valor de x < 2 la y < 0, por lo que la gráfica no está en la región x < 2 , y > 0. • También se observa que para cualquier valor de x > 2 el cociente es positivo; o sea que para x > 2, y > 0; por tanto la gráfica no está en la región x > 2, y < 0.

15. Variación inversa Definición y constante de variación • La segunda Ley de Newton establece que f = m a, donde f es la fuerza que se aplica a una masa m para imprimirle una aceleración a. • De acuerdo con esta ley, para la misma fuerza si la masa aumenta, la aceleración disminuye; y a la inversa, si la masa disminuye, la aceleración aumenta. • De manera general se establece lo siguiente: Definición • Una variable y varía en relación inversa con una variable x, si y = k/x. donde k es una constante diferente de cero. • Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento (o disminución) de una corresponda una disminución (o aumento) de la otra. Cuando esto ocurre se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales. • Cantidades inversamente proporcionales son: • Para la misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla • Para la misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo empleado en recorrerla • A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones a que se someten.

16. Variación inversa • Ejemplo: Para terminar una construcción en 42 días, se emplean 23 obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para edificar una construcción igual en 7 días? • Solución: Como la variación es inversa, la proporción se puede establecer en alguna de las dos formas siguientes: De donde Por tanto x2 y1 = x1 y2 y2 x1 = y1 x2 o bien y2 42 = 23 7 7 23 = 42 x2 7y2 = 23(42) 7x2 = 42(23) y2 = 966/7 x2 = 966/7 y2 = 138 obreros x2 = 138 obreros

17. Semana 3 y 4 Funciones exponenciales

18. Funciones exponenciales • Objetivo: Resolver problemas con funciones exponenciales y logarítmicas, teóricos o prácticos, utilizando su relación como funciones inversas y sus propiedades algebraicas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión sobre la utilidad de estos conocimientos y el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

19. Concepto de función exponencial Notación • La función exponencial es una función real, no algebraica sino trascendente, cuya regla de correspondencia es: f : RR f (x) = ax • Con a, x E R, a > 0, a 1 • De acuerdo con la definición de esta función, la base siempre es un número real positivo, pues cuando la base se eleva a cualquier exponente real, la potencia es un número real positivo; además, es diferente de 1 porque la unidad elevada a cualquier potencia real es 1 y si la base fuera un número real negativo, no se podría afirmar nada de su potencia, pues ésta podría dar lugar a tres situaciones: ser positiva si el exponente es par, negativa si el exponente es impar o quedar indefinida en los números reales para ciertos exponentes fraccionarios como x = ½.

20. Función exponencial • Ejemplo: Si a E [1, ∞], por ejemplo, a = 2, la función se expresa: f (x) = 2x. Al calcular algunos valores de x se obtiene la tabla

21. Dominio y rango • La función exponencial tiene como dominio lo números reales y como rango los números reales positivos. • Esto es D f = R. R f = R+ • También se puede observar que la gráfica es creciente y que pasa por el punto de coordenadas (0, 1), pues 20 = 1

22. Número e Caracterización e importancia • Hasta ahora, los valores utilizados para la base de la función exponencial se han tomado de los intervalos definidos; sin embargo, tanto para fines teóricos como prácticos el número e se usa con mayor frecuencia. El número e se obtiene en cálculo como límite de (1 + 1/x)x cuando x → +∞. A medida que x aumenta sin límite, el valor de (1 + 1/x)x tiende a un valor finito que es el número irracional e, el cual es aproximadamente igual (≐) a 2.7182818 e≐ 2.7182818 • El valor aproximado de ex se puede obtener utilizando la expresión (1 + 1/n)nx para valores de n suficientemente grandes, por medio de tablas o una calculadora científica.

23. Función exponencial natural • La función exponencial que tiene como base al número e se llama función exponencial natural y está definida por: f (x) = ex • Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango el conjunto de los números reales positivos.

24. Función logarítmica La función logarítmica como inversa de la función exponencial • Sea f : R →R+ tal quef(x) = 2x. • Algunos de los pares ordenados que pertenecen a su gráfica aparecen en la tabla siguiente:

25. Función logarítmica (continúa) • Con y = f (x) en f (x) = 2x se tiene y = 2x • O bien: 2x = y. • Que significa: log2y = x. • De tal manera que al sustituir a y con los valores de la tabla anterior, se tiene: log2 1/8 = x ⇒ 2x = 1/8, 2x = 1/23, 2x = 2–3∴ x = –3 log2 1/4 = x ⇒ 2x = 1/4, 2x = 1/22, 2x = 2–2∴ x = –2 log2 1/2 = x ⇒ 2x = 1/2, 2x = 2–1∴ x = –1 log2 1 = x ⇒ 2x = 1, 2x = 2–0∴ x = 0 log2 2 = x ⇒ 2x = 2, 2x = 21∴ x = 1 log2 4 = x ⇒ 2x = 22, 2x = 22∴ x = 2 log2 8 = x ⇒ 2x = 8, 2x = 23∴ x = 3

26. Función logarítmica (continúa) • Entonces la tabla de log2 y = x queda así: • En las tablas de f (x) = 2x y y = log2x se observa que los componentes de los pares ordenados correspondientes están invertidos, hecho que se puede observar en la gráfica, donde las representaciones geométricas respectivas son simétricas respecto a la función identidad. En consecuencia, las funciones exponencial y logarítmica son inversas una de otra. f (x) = 2x f (x) = x y = log2x

27. Bibliografía • Francisco J. Ortíz Campos. Matemáticas IV. Editorial: Publicaciones cultural, 2006.