Økonometri 1

1. Økonometri1 Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september 2006 Økonometri 1: F7

2. Dagens program • Opsamling af ”hjemmeopgaven” om Monte Carlo eksperimenter • Mere om hypotesetest: • Enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel • Generel lineær restriktion • Asymptotiske resultater for OLS (kap. 5): • Konsistens • Eksempel: Monte Carlo eksperiment (konsistent.sas) • Asymptotisk normalitet og efficiens • Eksempel: Monte Carlo eksperiment med uniformt fordelte fejlled (asynorm_uni.sas). Økonometri 1: F7

3. Generel lineær restriktion • Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: • Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). • Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast: Økonometri 1: F7

4. Generel lineær restriktion (fortsat) • Hypotesen er af formen: ”En linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”. • Estimere , men hvad med ? • Omparameterisere modellen: • OLS af • Hypotesen udtrykkes direkte som en restriktion på koefficienten til : Kald den fx • Test restriktionen vha. t-stat. på • Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt. Økonometri 1: F7

5. Eksakte versus asymptotiske egenskaber • Under antagelserne MLR.1-4 er OLS en middelret estimator. • Ved uafhængige trækninger af datasæt bestående af n observationer vil OLS–estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi, . • Gælder for enhver størrelse n af datasættet • Under CLM-antagelserne MLR.1-6 kender vi hele fordelingen eksakt: • t-test følger t-fordelingen • For enhver størrelse n af datasættet • MLR.6: Normalitet er restriktivt. • Nu: Drop MLR.6 og i stedet se på egenskaber for OLS når vi lader : Asymptotiske egenskaber Økonometri 1: F7

6. Konsistens: Generelt • Wooldridge appendix C.3 definerer konsistens af en estimator (se også TSØ kap. 8). • Siger at estimatoren konvergerer i sandsynlighed (mod den sande værdi): • Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt. • Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator. Økonometri 1: F7

7. Konsistens: Generelt (fortsat) • Store tals lov: i.i.d. følge med middelværdi . Så gælder • Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv. • Egenskaber ved plim: Økonometri 1: F7

8. Konsistens: Generelt (fortsat) • Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når • Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul når , så gælder at • Ex. i.i.d. følge med middelværdi og konstant varians : • Gennemsnittet af n observationer: • Gennemsnit af første og n’te observation: Økonometri 1: F7

9. Konsistens: Generelt (fortsat) Økonometri 1: F7

10. Konsistens: OLS • Teorem 5.1: Konsistens af OLS estimatoren: Under antagelserne: • MLR.1: Lineær model: • MLR.2: Tilfældigt udvalg af • MLR.3: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær. • MLR.4: Betinget middelværdi nul: Så er OLS-estimatoren konsistent for • Bevis: Tavlegennemgang. • Konsistens kan vises under svagere betingelse end MLR.4: Økonometri 1: F7

11. Konsistens: OLS • Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent: • Inkonsistensen (den ”asymptotiske bias”) i den simple lineære regressionsmodel er givet ved • Pr. konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population. • Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15. Økonometri 1: F7

12. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt • Konsistens af OLS i store datasæt under MLR.1-4: Minimumskrav opfyldt. • Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu: • MLR.5: Homoskedasticitet: • Men ikke MLR.6: Normalitet af ui • Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger: • Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse. • Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast. • Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers). Økonometri 1: F7

13. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt • Teorem 5.2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren • Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR.1-5. Økonometri 1: F7

14. Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis • Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelte: • Hvad er ”asymptotisk”? • Afhænger bl.a. af, hvor meget u’sfordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler. • N(0,1) >< tn-k-1: Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k). • “Hjemmeopgave”: Illustration af Teorem 5.2 ud fra simulationseksperiment med uniformt fejlled: Kør SAS-programmet asynorm_uni.sas for forskellige værdier af n. Økonometri 1: F7

15. Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl • OLS standardfejlen: Asymptotik: • Komponenter i formlen: • Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen går mod nul som Økonometri 1: F7

16. Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren • Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. • Teorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningerne • OLS: Økonometri 1: F7

17. Oversigt over OLS estimatorens egenskaber Økonometri 1: F7

18. NB’er fra denne forelæsning • Eksplicit om ingredienser i klassisk teststrategi. • Valg af alternativhypotese: Økonomisk teori. • Test af generel lineær restriktion: Omskrivning af modellen. • Konsistens-begrebet: Asymptotisk (stort antal observationer). • Konsistent contra middelret estimator. • Normalfordelingsantagelse på fejlleddet contra asymptotisk normalfordeling af OLS estimatorerne. Økonometri 1: F7

19. Hvad bliver det næste? • Mandag: • Mere om kapitel 5 om ”asymptotiske” resultater. • Test af flere hypoteser (eksakte og asymptotiske) • Funktionel form • Ugeseddel 4+5: Simulationseksperimenter. Økonometri 1: F7