BENVENUTI A TUTTI

1. BENVENUTI A TUTTI

2. PRESENTAZIONE DEL CORSO I incontro • Ambito operativo della logica. Le proposizioni logiche. Logica degli enunciati e operatori logici; equivalenza di espressioni logiche. Tautologie, ragionamenti e dimostrazioni; ragionamenti validi e ragionamenti corretti; sintassi e semantica di un ragionamento.

3. PRESENTAZIONE DEL CORSO II incontro • La logica dei predicati. Predicati aperti e chiusi. Predicati unari e binari. Insieme di verità di un predicato semplice o composto. Connettivi logici e insiemi. • Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in due variabili come predicati semplici o composti. • Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con quantificatori. I sillogismi: da Aristotele alla classificazione attuale passando per le regole mnemoniche tardomedievali.

4. PRESENTAZIONE DEL CORSO III incontro • La relazioni l’equivalenza. Come comunicare il concetto di “BLU” a chi non parla la nostra lingua. I concetti astratti in matematica. • Alcuni esercizi di logica dati alle olimpiadi della matematica. Esempi di alfa-test dati nelle prove di accesso all’università.

5. PROPOSIZIONI LOGICHE UNA PROPOSIZIONI LOGICA È UN ENUNCIATO CHE È O VERO O FALSO

6. I incontro VARIABILE LOGICA È UNA VARIABILE LOGICA OGNI LETTERA UTILIZZATA AL POSTO DI UNA PROPOSIZIONE

7. I incontro PROPOSIZIONI SEMPLICI o ELEMENTARI o ATOMICHE MANGIO UNA MELA OGGI A SAN DONÀ PIOVE MI COMPRO UN’AUTOMOBILE (o come dicevano i futurusti “un automobile”)

8. I incontro CONNETTIVI LOGICI E (AND – ET) O (OR – VEL) NON (NOT) IMPLICA / SE… ALLORA (IF … THEN) SE E SOLO SE (IF AND ONLY IF…) XOR/AUT…AUT UNA PROPOSIZIONE ÈCOMPOSTA SE È FORMATA DA PIÙ PROPOSIZIONI LOGICHE LEGATE DA CONNETTIVI

9. I incontro LA NEGAZIONE NON

10. I incontro LA CONGIUNZIONE E

11. I incontro LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA O

12. LA DISGIUNZIONE ECLUSIVA XOR (AUT…AUT)

13. IMPLICAZIONE MATERIALE SE… ALLORA (IF…THEN)

14. LA DOPPIA IMPLICAZIONE SE E SOLO SE

15. I incontro ESPRESSIONI LOGICHE • not (A and B) • A and (not C) • if ((if A then B) and A) then B • if ((if A then B) and (not B)) then (not A) • if ((if A then B) and (if B then C)) then (if A then C)

16. I incontro TAUTOLOGIE UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA TAUTOLOGIA SE RISULTA SEMPRE VERA QUALUNQUE SIA IL VALORE DI VERITÀ DELLE PROPOSIZIONI CHE LA COMPONGONO

17. I incontro ESEMPI DI TAUTOLOGIE A o (non A) Principio del terzo escluso

18. I incontro ESEMPI DI TAUTOLOGIE Non (A e (non A)) Principio di non contraddizione

19. I incontro CONTRADDIZIONI UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA CONTRADDIZIONE SE RISULTA SEMPRE FALSA QUALUNQUE SIA IL VALORE DI VERITÀ DELLE PROPOSIZIONI CHE LA COMPONGONO

20. ESEMPI DI CONTRADDIZIONIA and (non A)

21. ESEMPI DI CONTRADDIZIONInon(A or (non A))

22. EQUIVALENZA DI ESPRESSIONI LOGICHE A = non (non A)

23. EQUIVALENZA DI ESPRESSIONI LOGICHE A  B = (non A) vel B

24. LEGGI DI DE MORGAN non (A e B) = (non A) o (non B) non (A o B) = (non A) e (non B)

25. ESEMPI CON LE LEGGI DI DE MORGAN non (VADO AL MARE o IN MONTAGNA) = (non VADO AL MARE) e (non VADO IN MONTAGNA) non (MANGIO UNA MELA e UNA PERA) = (non MANGIO UNA MELA) o (non MANGIO UNA PERA)

26. I incontro FORME DI RAGIONAMENTO P  C Se P allora C

27. I incontro ESEMPIO DI “RAGIONAMENTO” P  C [(AB) and (non A)]  (non B) Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Ma Alice non è colpevole. Dunque anche Bruno non lo è. (È ragionamento valido?)

28. FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Un ragionamento VALIDO ci assicura che da PREMESSE VERE giungiamo a una CONCLUSIONE VERA

29. FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il modus ponens [(AB) and A]  B Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Alice è colpevole. Dunque anche Bruno lo è.

30. Il modus ponens [(AB) and A]  B FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

31. FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE Il modus tollens [(AB) and (non B)]  (non A) Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Ma Bruno non è colpevole. Dunque neanche Alice lo è.

32. Il modus tollens [(AB) and (non B)]  (non A) FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

33. FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE La contronominale [(non T)(non I)]  (IT) Se dal fatto che Tamara non è colpevole segue che anche Irene non lo sia allora dal fatto che Irene sia colpevole segue che anche Tamara lo sia

34. La contronominale [(non T)(non I)]  (IT) FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

35. SE UN RAGIONAMENTO È VALIDO… (OSSIA SE…) ALLORA IL SIMBOLO “” VIENE SOSTITUITO DAL SIMBOLO

36. VALIDITÀ UN RAGIONAMENTO ÈVALIDO ANCHE SE NON SO COSA SIGNIFICHINO LE PROPOSIZIONI A, B, C, D … CHE COMPAIONO IN ESSO. LA VALIDITÀ ATTIENE/AFFERISCE ALLA SINTASSI DI UN’ESPRESSIONE “SEPELVIO SPANTA TULLIALLORATINCA FOLLI. MA POICHÉ NONTINCA FOLLIALLORA PELVIONONSPANTA TULLI” è un ragionamento valido (è un modus tollens)

37. CORRETTEZZA UN RAGIONAMENTO È CORRETTO SE È VALIDO (sintassi) E POSSO GARANTIRE LA VERITÀ DELLE PREMESSE (semantica) “SE UNO IN PARLAMENTO PENSA CHE RUBY SIA LA NIPOTE DI MUBARACK ALLORAÈ UN CITRULLO. MA POICHÉ NESSUNO È CITRULLO IN PARLAMENTO ALLORA NESSUNO HA PENSATO CHE RUBY FOSSE LA NIPOTE DI MUBARACK”.

38. FINE I INCONTRO ARRIVEDERCI A MARTEDÌ PROSSIMOper il secondo incontro

39. BENVENUTI A TUTTIal secondo incontro

40. Contenuti del II incontro • La logica dei predicati. Predicati aperti e chiusi. Predicati unari e binari. Insieme di verità di un predicato semplice o composto. Connettivi logici e insiemi. • Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in due variabili come predicati semplici o composti • Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con quantificatori. I sillogismi: da Aristotele alla trattazione attuale passando per le regole mnemoniche tardomedievali.

41. Enunciati aperti o predicati UN ENUNCIATO APERTOCONTIENE ALMENO UNA VARIABILE IL CUI VALORE DEVE ESSERE SCELTO IN UN INSIEME UNIVERSO “x è un numero negativo”

42. Enunciati aperti o predicati B(y) è un predicato unario, ovvero un enunciato riguardante y, aperto B(6) = “6 è un divisore di 6” è un enunciato chiuso (VERO) B(20) = “6 è un divisore di 20” è un enunciato chiuso (FALSO) B(y)= “6 è un divisore di y”

43. Predicati binari B(x;y) è un enunciato aperto B(x;8) è un enunciato aperto B(6;1) è un enunciato chiuso (VERO) B(5;5) = è un enunciato chiuso (FALSO) B(x;y)= “x + y = 7”

44. INSIEMI DI VERITÀ il nome del predicato P e il nome dell’insieme P da esso individuato spesso sono indicati con lo stesso simbolo, ma non bisogna confonderli Si chiama INSIEME DI VERITÀ di un enunciato aperto l’insieme di tutti i valori scelti in un universo U che, sostituiti alla variabile, trasformano l’enunciato in una proposizione vera Nell’insieme N consideriamo l’enunciato P(x) = “x è un numero primo” L’insieme di verità di P(x) è P = {2; 3; 5; 7; 11; 13; …}

45. CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI NEGAZIONE P = { xU tali che non P(x) } U P P

46. CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI UNIONE E DISGIUNZIONE P  Q = { xU tali che P(x)  Q(x)} U Q P

47. CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI INTERSEZIONE E CONGIUNZIONE P  Q = { xU tali che P(x)  Q(x)} U Q P

48. CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI complichiamo le cose P (Q  R) = = { xU tali che non P(x)  (Q(x)  R(x))} U P esempio: gli allievi del Liceo che non hanno letto Proust ma hanno letto Quenau o Rimbaud Q R

49. CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI esiste una corrispondenza precisa tra connettivi logici e connettivi insiemistici il mondo della LOGICA e il mondo degli INSIEMI hanno la stessa struttura. Le proprietà di un ambito sono traducibili in quelle dell’altro

50. DUE CARTE, UNA STRUTTURA LOGICAINSIEMISTICA A  A = A A  A = A A  F = A A  F = F A  V = V A  V = A A  A = V A  A = A A  A = A A   = A A   =  A  U = U A  U = A A  A = U ‘A SEMBRA ‘A TABÈA DE L’OCULISTA