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UNIDAD No. 5 Series

UNIDAD No. 5 Series. Series y criterios de convergencia. SERIES. El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si {a n } es la sucesión a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n , ..., entonces la suma a 1 + a 2 + a 3 + … + a n + … se le llama serie infinita.

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UNIDAD No. 5 Series

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Presentation Transcript

  1. UNIDAD No. 5Series Series y criterios de convergencia

  2. SERIES • El concepto de serie está íntimamente relacionado con el concepto de sucesión. Si {an} es la sucesión a1, a2, a3,..., an, ..., entonces la suma a1+ a2+ a3+ … + an+ … se le llama serie infinita. • Los elementos ak, k = 1, 2, 3, . . . se llaman los términos de la serie; ak se denomina término general.Se presentará una serie infinita en forma compacta como:

  3. SUCESIÓN DE SUMAS PARCIALES • Para cada serie infinita existe una sucesión de sumas parciales {Sn}, definida como sigue:

  4. CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA • Se dice que una serie infinitaes convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es, • El número S es la suma de la serie.Si no existe, se dice que la serie es divergente.

  5. SERIES TELESCÓPICAS • Determine si la serie infinita:es convergente o divergente

  6. SERIES GEOMÉTRICAS • A una serie infinita de la forma:se le denomina serie geométrica.

  7. CONVERGENCIA DE SERIES GEOMÉTRICAS • Una serie geométrica converge apara |r|<1 y diverge para |r|>1. • Demuestre lo anterior. Para ello: • Determine Sn • Multiplique Sn por r • Efectúe la diferencia Sn-rSn

  8. PROBLEMA • Determine si la serie infinita es convergente o divergente. En caso de ser convergente, determine el valor de la suma.

  9. SERIES ARMÓNICA • Demuestre que la serie armónica es divergente.

  10. CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA DE UNA SERIE • TEOREMA:Si la serie es convergente, entonces:Si no existe o si el , entonces la serie diverge.

  11. PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE LA SUMA • Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente y an=f(n). Entonces, la serie es convergente si y solo si la integral impropia: es convergente.

  12. PROBLEMA • Determine si la serie: es convergente.Estime el valor de la suma. • Determine si la serie: es convergente.

  13. SERIE P • La serie p: converge si p>1 y diverge cuando p<1.

  14. PRUEBAS DE COMPARACIÓN • En las pruebas de comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie conocida que sabemos puede ser convergente o divergente y a partir de ello, llegar a alguna conclusión con respecto a la serie dada.

  15. TEOREMA • Suponga que y son series de términos positivos.Entonces: • Si converge y an<bn para toda n, entonces también converge. • Si diverge y an>bn para toda n, entonces también diverge.

  16. PROBLEMA • Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:

  17. PRUEBA DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE • Suponga que y son series con términos positivos. Si: donde c es un número finito y c>0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.

  18. PROBLEMA • Pruebe la convergencia o la divergencia de la serie: • Utilice la prueba de comparación en el límite considerando: y .

  19. SERIES ALTERNANTES • Una serie alternante es aquella cuyos términos son positivos y negativos (alternando signo). • Ejemplos:

  20. PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE • Si la serie alternante: bn>0 satisface las siguientes dos condiciones: • bn+1< bn para toda n. • entonces la serie converge.

  21. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ • La serie: es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos converge.

  22. PROBLEMA • Muestre que la serie: es absolutamente convergente.

  23. PRUEBA DE LA RAZÓN • Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y por lo tanto converge). • Si o , entonces la serie diverge.

  24. PROBLEMA • Pruebe la convergencia absoluta de la serie:

  25. PRUEBA DE LA RAÍZ • Si , entonces la serie es absolutamente convergente (y, en consecuencia, convergente). • Si o , entonces la serie es divergente.

  26. PROBLEMA • Compruebe la convergencia de la serie:

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