Genèse des nombres complexes :

1. Genèse des nombres complexes : XVIe Au siècle, les mathématiciens se sont aperçus que pour résoudre certains problèmes algébriques, ils étaient amenés à effectuer certaines « opérations interdites » sur les nombres réels. Pourtant, les méthodes en questions permettaient de trouver de manière efficace les solutions de certaines équations. Afin de « régulariser » cette situation, ils ont été amenés à créer un nouvel ensemble de nombres :

2. Le corps des nombres complexes

3. Le nombre imaginairej On définit les nombres j et – j vérifiant: j 2 = (- j2) = - 1

4. Forme algébrique des nombres complexes z = a + bj • a : partie réelle du nombre complexe z • b : partie imaginaire du nombre complexe z (a et b sont des nombres réels)

5. Le plan complexe M + Affixe du point M z = a + jb Ordonnée du point M: b a : Abscisse du point M

6. Module & Argument d’un nombre complexe M (z) + b ρ Module dez θ Argument de z a Notations: Module de z: |z| Argument de z: arg(z)

7. ρ 2 a 2 + b 2 = a = ρ cos (θ) b = ρ sin (θ)

8. Forme trigonométrique d’un nombre complexe z =ρ cos (θ) + j ρ sin (θ) z =[ρ;θ] Autre notation de la forme trigonométrique:

9. Conjugué d’un nombre complexe z =a+ jb z = a- jb

10. (-z ) (z ) (z) (-z)

11. |z| = |z| arg (z) = - arg (z) zz = (a + jb)(a – jb) = |z|2

12. Addition de deux nombres complexes z et z’ M’’(z’’ = z + z’ ) + b + b’ + M(z) b M’(z’) + b’ a a’ a + a’

13. z = a + jb z’ = a’ + jb’ z + z’ = (a + a) + j (b + b’)

14. Multiplication de deux nombres complexes z et z’ z=a+jb=[ρ;θ] z’=a’+jb’=[ρ’;θ’] zz’ = (aa’ – bb’) + j (ab’+ a’b) zz’ = [ ρρ’ ; θ + θ’]

15. P (zz’) + ρρ’ θ + θ’ M’ (z’) + ρ’ M (z) + θ’ θ ρ